一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（目次_詳細版）
石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 の読後行間補充メモ
（→ 正誤表）
（→ 事項索引）
はじめに
- この本を読むために必要な物理・数学のレベル (5)
- この本における一般相対論攻略の道筋 (7)
- 相対性原理 (12)
- 定義1.01 ベクトル積 \(a\times b\) (20)
- 定義1.02 ベクトル積の性質 (21)
- 公式1.03 \(a,b,c\) が３次元ベクトルのとき (22)
- 公式1.04 \(a,b,c,d\) が４次元ベクトルのとき (23)
\(\S2\) 微分の公式 (26)
- ライプニッツ則 (26)
- 連鎖律 (26)
- ベクトル値関数 (26)
- 問題1.05 (27)
- 偏微分 (27)
- 問題1.06 (28)
- 定理1.07 連鎖律 (29)
\(\S3\) ３次元の座標変換 (30)
- 定理1.08 直交座標の成分変換は直交行列で (30)
- 定理1.09 直交変換は内積 \(a\cdot a\)を保存 (33)
\(\S4\) スカラー場，ベクトル場のイメージ (34)
- スカラー場 (34)
- ベクトル場 (35)
\(\S5\) 勾配 (36)
- 定義1.10 勾配（gradient）\(grad f(x)\) (36)
- 問題1.11 (36)
- 定理1.12 \(grad f\) の性質 (38)
\(\S6\) 発散 (41)
- 定義1.13 発散（divergence）\(div A(x)\) (41)
- 定理1.14 \(div\) は直交座標のとり方によらない (44)
- トレース\(tr\) の性質（対角成分の和） (49)
\(\S7\) 回転 (51)
- 定義1.15 回転（rotation）\(rot A(x)\) (51)
- 定理1.16 回転は座標のとり方に依らない (55)
- 定義1.17 ラプラシアン（Laplacian） (58)
\(\S8\) 勾配，発散，回転の公式 (60)
- 公式1.18 (61)
- 公式1.19 (61)
- 公式1.20 (62)
- 公式1.21 (63)
- 公式1.22 (63)
\(\S9\) ポテンシャル (64)
- 定理1.23 スカラー・ポテンシャル \(f(x)\) (64)
- 定理1.24 ベクトル・ポテンシャル \(B(x)\) (66)
\(\S10\) スカラー場の線積分 (67)
- 比較 普通の積分、線積分 (68)
- 弧長パラメータ (68)
- 曲線の弧長を求める公式 (69)
- 一般のパラメータでの線積分 (69)
- 問題1.25 (70)
\(\S11\) ベクトル場の線積分 (71)
- 曲線の接線ベクトル (71)
- 問題1.26 (73)
- 問題1.27 (74)
- 定理1.28 (76)
- 定理1.29 (77)
\(\S12\) 曲面の面積 (78)
- 図解 球面上の点 \(P\) の座標 (78)
- 図解 接ベクトル (81)
- 問題1.30 (82)
\(\S13\) ベクトル場の面積分 (84)
- 問題1.31 (85)
- 定理1.32 ストークスの定理 (87)
- 定理1.33 ガウスの発散定理 (91)
- 定理1.34 (94)
\(\S14\) 逆２乗法則についての計算 (95)
- 公式1.35 (95)
- 公式1.36 (97)
\(\S15\) 波動方程式 (99)
- 定理1.37 波動方程式（１次） (99)
- 定理1.38 波動方程式（３次） (102)
\(\S16\) ポアソン方程式 (104)
- 定理1.39 ポアソン方程式 (104)
- 球座標での積分の公式 (107)
- 定理1.40 波動方程式（特殊解） (108)
\(\S17\) 変分法 (113)
- 汎関数 (113)
- 変分法 (113)
- 問題1.41 (114)
- 公式1.42 オイラー・ラグランジュの方程式 (116)
- 問題1.43 (117)
\(\S18\) アインシュタインの縮約記法 (118)
- 同じ文字は数字を代入して総和をとる (118)
- 走る添え字 （119）
- 止まっている添え字 （119）
- クロネッカーのデルタ （121）
\(\S1\) ニュートンの重力場方程式 (124)
- 重ね合わせ (125)
- 法則2.01 ニュートンの重力場方程式 (127)
- ニュートンの重力ポテンシャル (127)
\(\S2\) 応力テンソル (128)
- 連続体 (128)
- 応力 (129)
- 引張応力、圧縮応力、せん断力 (130)
- 定義2.02 応力テンソル (135)
- 問題2.03 (136)
- 対称行列 (137)
- 面積力 (138)
- 体積当たりの力 (138)
\(\S3\) 流体の基礎方程式 (139)
- 法則2.04 質量保存の法則 (141)
- 質量密度 (141)
- 単位法線ベクトル (141)
- 運動量流速テンソル (143)
- 応力の体積積分表現 (143)
- 運動量保存を表す式 (144)
- 法則2.05 完全流体の方程式 (146)
- 定義2.06 完全流体のストレス・運動量テンソル (149)
\(\S4\) クーロンの法則の書き換え (150)
- クーロンの法則、アンペールの法則、ファラデーの法則、ローレンツ力 (150)
- クーロンの法則の書き換え (152)
- 電場ベクトル \(E(x)\) (153)
- 電束密度ベクトル \(D(x)\) (155)
- ガウスの法則（積分形） (156)
- ガウスの法則（微分形） (157)
- 静電ポテンシャル \(\phi (x)\) (157)
- 電場のガウスの法則（微分形） (159)
\(\S5\) 静電場のエネルギー (161)
- 静電場 (161)
- 問題2.08 (163)
- 問題2.09 (164)
- 法則2.10 静電場のエネルギー密度 (167)
\(\S6\) アンペールの法則の書き換え (168)
- 磁場ベクトル \(H\) (168)
- 右ねじの法則 (169)
- 法則2.11 アンペール・マクスウェルの法則 (172)
- ビオ・サバールの法則 (173)
- 問題2.12 (173)
- 問題2.13 ソレノイド (174)
- 問題2.14 (176)
- 法則2.15 磁場のガウスの法則 (177)
\(\S7\) ファラデーの電磁誘導の法則の書き換え (178)
- 法則2.16 ファラデーの法則（場の方程式） (179)
- 法則2.17 マックスウェルの電磁方程式 (180)
\(\S8\) 電磁波 (183)
- マックスウェルの電磁方程式（真空、電流と電荷なし） (183)
- 振幅の方向 (186)
- 法則2.18 電磁場の波動方程式 (187)
\(\S9\) 静磁場エネルギー (188)
- 静電場と静磁場 (188)
- ソレノイド (188)
- 法則2.19 静磁場（真空）のエネルギー密度 (190)
- ジュール熱の場の方程式 (190)
\(\S10\) マックスウェルの応力テンソル (192)
- 定義2.20 静電場の応力テンソル (192)
- 定義2.21 静磁場の応力テンソル (194)
- 定義2.22 電磁場の応力テンソル (196)
- ポインティング・ベクトル（電磁場エネルギー流面積密度）\(E(x,t)\times H(x,t)\) (198)
\(\S11\) マックスウェルの方程式をポテンシャルで書き換え (199)
- 問題2.23 (199)
- ゲージ条件 (201)
- ローレンツ・ゲージ (201)
- ベクトル・ポテンシャル \(A(x,t)\) (202)
- スカラー・ポテンシャル \(\phi(x,t)\) (202)
- ダランベルシアン（ダランベリアン）\(\square\) (203)
- 問題2.25 （204）
第３章 テンソルと直線座標のテンソル場 §１～６
第３章 テンソルと直線座標のテンソル場 §７～１２
\(\S1\) \(T^r (V)\) とテンソル積 (208)
- ２次元実数ベクトル空間 \(V=R^2\) (208)
- ２次元線形空間 \(V\) と \(W\) のテンソル積 \(V\otimes W\) (209)
- テンソル積の演算 (210)
- ２階の反変テンソル空間 \(T^2(V)\) (211)
- 定義3.01 (213)
- 定義3.02 (213)
\(\S2\) 基底の取り換えと成分の書き換え (215)
- 成分（１次結合の係数） (215)
- 問題3.03 基底の取り換え行列 (216)
- 基底の取り換え、成分の書き換え (217)
- 問題3.04 (219)
- 定理3.05 基底の取換行列と成分の書換行列とは互いに逆行列 (219)
- 問題3.06 (220)
- 定理3.07 \(T^r (V)\) の基底の取り換えと成分の書き換え (221)
\(\S3\) \(T^r _s (V)\) (222)
- 図解 基底の取り換え (222)
- 定義3.08 双対空間 \(V^*\)、双対基底 \(f^i\) (222)
- 混合テンソル空間 (223)
- １階反変・１階共変のテンソル空間 \(T^1_1(V)\) (223)
- １階反変・２階共変のテンソル空間 \(T^1_2(V)\) (224)
- 問題3.09 (224)
- 定義3.10 (225)
- 反変次数 \(r\) 、共変次数 \(s\) (225)
- 反変ベクトル (225)
- 共変ベクトル (225)
- \(r\) 階反変・\(s\) 階共変テンソル (225)
- 定義3.11 \(T^r _s (V)\) のテンソル積 (226)
\(\S4\) テンソルの縮約・縮合 (227)
- 縮約（contraction） (227)
- アインシュタインの縮約記法（convention） (227)
- 問題3.12 (228)
- 問題3.13 (228)
- 定義3.14 テンソルの縮約 (229)
- テンソルの縮合（テンソル積＋縮約） (229)
- 問題3.15 (229)
- 問題3.16 (230)
\(\S5\) \(T^r _s (V)\) の成分の書き換え (232)
- 問題3.17 (232)
- 共変成分、反変成分 (234)
- 問題3.18 (235)
- 問題3.19 (236)
- 問題3.20 (237)
- 定理3.21 \(T^r _s (V)\) の基底の取り換えと成分の書き換え (238)
\(\S6\) 成分の書き換えとテンソルの演算 (239)
- テンソル計算と基底の取り換えの可換 (240)
- 問題3.22 (241)
- 問題3.23 (242)
- 問題3.24 (243)
- 問題3.25 (244)
- ダッシュ系表現と係数の和 (240)
- 問題3.26 (247)
- テンソル方程式による記述は、基底（観測者）によらない (249)
\(\S7\) 物理流のテンソルの定義 (250)
- 物理流（初めに成分の書き換え則を与える） (250)
- 定義3.27 テンソル（まだ数学寄り） (252)
- 定義3.28 テンソル（物理流） (252)
- 定理3.29 １次結合は座標によらない (253)
- 定理3.30 テンソル積は座標によらない (254)
- 定理3.31 縮約は座標によらない (255)
- 定理3.32 テンソルの商法則 (255)
- 定理3.33 ０テンソル (257)
- 定理3.34 テンソルの式は座標によらない (257)
\(\S8\) テンソルの添え字の上げ下げ (258)
- 定理3.35 単位テンソル \(\delta^i_j e_i \otimes f^j\) (258)
- 問題3.36 (258)
- 対称テンソル \(g_{ij}=g_{ji}\)
- 問題3.37 (265)
\(\S9\) テンソル場のことはじめ (266)
- テンソル場 \(\tau\)（空間の各点に応力テンソル \(\tau_x\) が付与） (266)
- 定義3.38 \(T^r _s (V)\) テンソル場 (270)
- \((r,s)\) テンソル場 (270)
- 反変次数\(r\) (270)
- 共変次数\(s\) (270)
- 問題3.39 (271)
- 問題3.40 (272)
- 図解 １次変換\(f\) の表現行列 \(P'=A^{-1}PA\) (274)
\(\S10\) スカラー場の微分 (276)
- スカラー場の値 (276)
- スカラー場の微分係数 (277)
- スカラー場\(f\) の\(A\) での\((η,ξ)\)方向の方向微分 (278)
- スカラー場\(f\) の\((x^1,x^2)\) での微分 (279)
- ベクトル場\(X(x^1,x^2)\) に沿ったスカラー場\(f\)の微分係数 (279)
- 問題3.41 (282)
\(\S11\) テンソル場の変換則 (285)
- 問題3.42 (285)
- 線形代数のトレースに関する公式 (286)
- 問題3.43 (286)
- ベクトル場のベクトル場に沿った微分の変換則 (288)
- ベクトル場\(Y\) をベクトル場\(X\) に沿って微分 (290)
- 問題3.44 (290)
\(\S12\) テンソル場の変換則 まとめ (291)
- 変換則のまとめ (291)
- 定理3.45 テンソル場の微分、ベクトル場に沿った微分 (293)
- 定理3.46 交代テンソル (294)
- 定理3.47 ラプラシアン \(\Delta\) (295)
第４章 特殊相対性理論 §１～６
\(\S1\) 方程式の共変性 (298)
- ニュートンの運動方程式は、２次元の座標変換（回転）に関して共変性あり (299)
- 観測者によらない普遍的な物理法則の表現（ベクトル） (300)
\(\S2\) 特殊相対論の課題 (301)
- ニュートンの第１法則（慣性の法則） (301)
- ニュートンの第２法則（運動方程式） (302)
- 慣性系に対して等速直線運動をしている座標系 (303)
- ガリレイ変換 \(x'= x-tV\) (304)
- ニュートンの運動方程式はガリレイ変換に関して共変性あり (305)
- ニュートンの重力場方程式はガリレイ変換に関して共変性あり (306)
- マックスウェルの波動方程式はガリレイ変換で同じ形にならない (307)
\(\S3\) ローレンツ変換とダランベルシアン \(\square\) (308)
- 比較 ガリレイ変換とローレンツ変換 (309)
- 問題4.01 (310)
- ダランベルシアン \(\square\) は \(x\)軸方向のローレンツ変換で共変 (311)
- 特殊相対論（マックスウェルの波動方程式が共変になるようなローレンツ変換に合わせて、力学の方程式［重量場方程式は除く］を共変になるように書き換えた理論） (311)
\(\S4\) ローレンツ変換の導出 (312)
- アインシュタインの仮定（全慣性系が同等。光速度は光源運動によらず一定） (312)
- イベント（４次元空間の点）\(P(ct_1,x_1)\) (315)
- 物体\(M\)の世界線（４次元空間中の軌跡）\(l_1\) (315)
- 観測される物の長さ（同時刻に存在するイベントの距離） (320)
- 図解 ローレンツ収縮 (322)
- 公式4.02 \(x\) 方向のローレンツ収縮 (324)
\(\S5\) ローレンツ収縮の対等性 (326)
- 慣性系\(S\) から見た慣性系\(S'\) の時間 (326)
- 慣性系\(S'\) から見た慣性系\(S\) の時間 (327)
\(\S6\) 一般の速度のローレンツ変換 (329)
- 一般の慣性系速度\(V\) (329)
- 公式4.03 一般のローレンツ変換（座標軸が平行である場合） (332)
\(\S7\) ミンコフスキー空間 (333)
- 問題4.04 距離は座標変換に対して不変な量 (333)
- 定理4.04 ローレンツ変換の不変量 (334)
- 図表 座標の取替行列と不変量 (337)
- ミンコフスキー空間 (337)
- ミンコフスキー計量 \(\eta_{ij}\) (337)
- 図表 時間的領域、空間的領域、世界線 (339)
- 線素 \(ds^2\) (341)
- 定義4.06 ミンコフスキー距離 \(s\) ・線素 \(ds^2\) (342)
\(\S8\) 速度・加速度の変換則 (343)
- 問題4.07 (343)
- 公式4.08 \(S\) 系と\(S'\) 系の速度の変換則 (344)
- 問題4.09 (346)
- 公式4.10 \(S\) 系と\(S'\) 系の加速度の変換則 (347)
\(\S9\) 速度の４元化 (348)
- ４元化（ローレンツ変換で共変になるように物理法則を書換え） (348)
- 問題4.11 (349)
- 問題4.12 (351)
- 定義4.13 ４元ベクトル \(h^i\) (352)
- 定義4.14 ４元速度 \(u\) (352)
\(\S10\) 固有時 (355)
- 固有時間 \(d\tau\) （ミンコフスキー空間上の時間間隔） (358)
- 固有時 \(\tau\) (358)
- 問題4.16 (358)
- ４元速度 \(\frac{dx}{d\tau}\) (360)
- 問題4.17 (361)
- 定義4.18 固有時 (362)
\(\S11\) ４元加速度，４元力 (363)
- ４元加速度\(a=(a^j)\) (363)
- ４元運動量\(P\) (365)
- 定義4.19 速度、加速度、運動量の４元化 (366)
- 相対論の運動方程式 (367)
- 物体の持つ全エネルギー \(E\fallingdotseq mc^2+\frac{1}{2}m|v|^2\) (368)
- 質量とエネルギーの等価（\(|v|=0\)のとき） \(E=mc^2\) (369)
- 定義4.20 ４元力 \(F\) (370)
- 問題4.21 \(F^i=ma^i\) （４元ベクトル） (370)
- 法則4.22 特殊相対論の運動方程式 (371)
- 問題4.23 (371)
\(\S12\) 力学的なエネルギー・運動量テンソル (372)
- 完全流体のストレス・運動量テンソル\(T\) (372)
- 定義4.24 力学的なエネルギー・運動量テンソル (373)
- 図解 エネルギー密度、運動量密度 (376)
- 問題4.25 エネルギー・運動量テンソル\(T\) は、発散が０ (377)
- 問題4.26 エネルギー・運動量テンソル\(T\) のローレンツ変換 (378)
\(\S13\) マックスウェルの方程式の４元化 (382)
- ４元電流 \(j(x,t)\) (383)
- 問題4.27 ４元ポテンシャル \(A^i\) (386)
- 定義4.28 電磁場テンソル \(f_{ij}\) (387)
- 問題4.29 (388)
- 問題4.20 (390)
- 法則4.31 マックスウェルの方程式 (391)
- 問題4.32 (393)
- 問題4.33 (394)
- 一般のローレンツ変換での電磁場テンソルの変換 (398)
\(\S14\) ローレンツ力の共変性 (400)
- ローレンツ力のベクトル積表現 \(F=q(E+v\times B)\) (400)
- 問題4.34 (401)
- 定義4.35 ローレンツ力
\(\S15\) 電磁場のエネルギー・運動量テンソル (404)
- 電場のエネルギーと磁場のエネルギーの和 \(T^{00}\) (405)
- 定義4.36 電磁場のエネルギー・運動量テンソル \(T^{ij}\) (406)
- \(T^{ij}\) の発散 \(\frac{\partial T^{ij}}{\partial x^j}=0\) (407)
- 電荷・電流がないとき (407)
- 電荷・電流があるとき (408)
第５章 曲線座標のテンソル場
\(\S1\) 曲線座標 (412)
- 極座標 (412)
- 球座標 (414)
- 問題5.01 (415)
- 問題5.02 (416)
- 定理5.03 (419)
\(\S2\) 曲線座標におけるベクトル場の表現 (420)
- 図解 直線座標と曲線座標 (420)
- 両座標の基底の関係式 (422)
- 両座標でのベクトル場成分の関係式 (422)
- スカラー場の微分についての変換則 (423)
- 曲線座標における\(f\) のベクトル場\(X\) に沿った微分 (423)
\(\S3\) テンソル場の定義 (424)
- 図解 直線座標と曲線座標の変換則
- 定義5.04 テンソル場 \(T\) (425)
- 基底・双対基底の表現 (425)
\(\S4\) 曲線座標の接続係数 (430)
- 接続係数 \(\Gamma^i_{jk}\) (431)
- 接続係数の対称性 (431)
- 問題5.05 (432)
- 問題5.06 (432)
- 問題5.07 (434)
\(\S5\) ベクトル場の微分 (435)
- 問題5.08 (437)
- 定理5.09 接続係数の変換則 (439)
\(\S6\) テンソル場の微分 (441)
- 直線座標の成分で偏微分した共変ベクトル場の曲線座標での書換え (441)
- 問題5.10 直線座標の成分で偏微分した一般のテンソル場の曲線座標での書換え (443)
\(\S7\) テンソル場の微分 まとめ (447)
- テンソルの変換則まとめ (447)
- 共変微分 (448)
- 定理5.11 共変微分のライプニッツ則 (450)
- ベクトル場\(X\) に沿った共変微分 (451)
- 問題5.12 (452)
- 定理5.13 ベクトル場の曲線に沿った微分 (452)
\(\S8\) テンソル場としての計量テンソル (453)
- 直交座標が入っている平面上での曲線の長さ (453)
- 直線座標と曲線座標が入っている２次元平面での曲線の長さ (453)
- 計量テンソル \(g_{ij} du^i\otimes du^j\) (455)
- 対称性 \(g_{ij}=g_{ji}\) (455)
- 問題5.14 曲線座標での計量テンソル (456)
- 問題5.15 球座標での計量テンソル (457)
- 図表 計量テンソルと線素 (458)
\(\S9\) 計量テンソルについての公式 (460)
- 公式5.16 計量テンソルで接続係数を表す (461)
- 定理5.17 共変微分と計量テンソル (461)
- 公式5.18 計量テンソルで表わす (462)
\(\S10\) 曲面のテンソル場 (464)
- 曲線座標と曲面座標 (465)
- スカラー場の変換則 (467)
- ベクトル場の変換則 (467)
- ベクトル場の微分の変換則 (468)
- 問題5.19 (468)
- 局面のベクトル場の微分 (470)
- 問題5.20 (471)
- 問題5.21 (472)
\(\S11\) 曲面のテンソル場の変換則 (475)
- 問題5.22 (475)
- 接続係数と共変微分の計算 (477)
- 図解 \(R^3\) と曲面 (478)
第６章 曲率
\(\S1\) 平面上の曲線の曲率 (482)
- 曲率 \(\kappa\) （482）
- 曲率半径\(\frac{1}{\kappa}\) （483）
- 問題6.01 (484)
- 定義6.02 平面曲線の曲率 (486)
- 問題6.03 (486)
- 問題6.04 (487)
- 問題6.05 (487)
- 問題6.06 (489)
- 曲率の言い換え (490)
- 問題6.07 (491)
- 曲率（単位法線ベクトルの微分と接線ベクトルとの大きさの比） (492)
\(\S2\) 曲面の曲率 (494)
- ユークリッド空間 \(R^3\) に置かれている曲面 (494)
- 問題6.08 （494）
- ２葉双曲面 (494)
- 問題6.09 (497)
- 図解 曲線の曲率、曲面の曲率 (499)
- 定義6.10 曲面の曲率（ガウス曲率、全曲率） (499)
- 定理6.10 曲面の曲率（ガウス曲率、全曲率） (500)
- 問題6.12 ２葉双曲面 (501)
- 球面のガウス曲率 (503)
- 問題6.13 曲面座標のとり方によらず曲面の曲率が定まる (504)
\(\S3\) 驚きの定理［Theorema Egregium］ (506)
- \(R^3\) 中の曲面の曲率を\(g_{ij}\) で表わす (506)
- 曲線の長さ (506)
- 問題6.14 (506)
- 単位法線ベクトル\(n\)
- リーマンの曲率テンソル\(R^i_{jkl}\) (510)
- 驚きの定理（曲面人も計量テンソル\(g_{ij}\) からガウス曲率\(\kappa(u^1,u^2)\) を計算できる） (512)
- リーマン曲率の図形的解釈 (516)
\(\S4\) \(R^i_{jkl}\) (519)
- 問題6.15 (519)
- 問題6.16 (519)
- 定義6.17 リーマンの曲率テンソル \(R^i_{jkl}\) (521)
- 問題6.18 (523)
- \(R_{ijkl}\) と\(R^i_{jkl}\) の関係式 (524)
- 問題6.19 (524)
- 公式6.20 \(R_{ijkl}\) の交代性 (526)
- 問題6.21 ヤコビの恒等式 (527)
- 公式6.22 (528)
- 定義6.23 リッチ曲率 \(R_{ij}\)、スカラー曲率 \(R\) (530)
\(\S5\) 曲率の計算 (531)
- 線素\(g_{ij}\) からリーマン曲率テンソルを\(R^i_{jil}\) を求める (531)
- 問題6.24 弧長計算式のオイラー・ラグランジュ方程式 (532)
- 測地線 (534)
- 定理6.25 測地線の極小性 (534)
- 曲率を具体的に計算 (535)
- 問題6.26 (535)
- 問題6.27 (537)
\(\S6\) 平行移動による曲率の説明 (539)
- 図解 赤道、経線、緯線 (539)
- 定義6.28 \(C\)に沿って平行なベクトル線 (541)
- 定義6.29 平行移動による計算の不変 (543)
- 定義6.30 測地線 (545)
- 問題6.31 (546)
- 曲面の測地線を求める (547)
- 問題6.32 (548)
- 経線と緯線を用いた平行移動 (550)
- 問題6.33 (551)
- 共変微分の説明 (553)
- 問題6.34 (555)
- 曲面上の平行移動と \(R^3\) の平行移動 (556)
第７章 一般相対性理論
\(\S1\) 等価原理 (560)
- 慣性質量\(m_I\) と重力質量\(m_G\)
- 図解 エレベーター (562)
- 弱い等価原理（\(m_I=m_G\) 。重力と慣性力は区別できない） (562)
- 図解 重力の方向と反対方向の加速度を持つ座標系 (563)
- 局所慣性系 (564)
- 強い等価原理（局所慣性系の物理法則を一般座標で書換＝一般座標系の物理法則） (564)
\(\S2\) 等価原理で線素を求める (565)
- 定重力場系（簡易版） (566)
- 回転運動系 (568)
- 定重力場系（リンドラー座標） (570)
- 公式7.01 定重力場系と慣性系の変換則（リンドラー変換） (578)
\(\S3\) 局所ローレンツ系 (580)
- 定義7.02 局所ローレンツ系 (580)
- 定理7.03 計量テンソル\(g\) の１階微分を０にできる (583)
- 定理7.04 (585)
- 等価原理を用いる（正規直交な座標での方程式を曲線座標に書き換える） (587)
\(\S4\) 一般座標系での固有時 (588)
- 一般座標系での固有時の表現 (588)
- 速度による変化 (589)
- 重力ポテンシャルによる変化 (589)
- 問題7.05 地球上で静止している時計の時間\(\tau_E\) と人工衛星の時計\(\tau_S\) の進み方 (590)
- 双子のパラドックス (592)
- 問題7.06 (594)
\(\S5\) 一般座標系に書き換える (598)
- 特殊相対論の運動方程式 (598)
- 法則7.07 一般座標系での運動方程式 (599)
- 書き換えのテクニック (602)
- 図表 局所慣性系、曲がった空間 (602)
- マックスウェルの方程式を一般座標系で（604）
- \(g_{00}\) と重力ポテンシャル (605)
- 法則7.08 \(g_{00}\) と\(\phi\) の関係 (608)
\(\S6\) 潮汐力と曲率 (609)
- 図解 潮の干満 (609)
- 図解 ２本の測地線（慣性系、重力場） (610)
- 相対加速度 (611)
- ニュートン力学の場合 (611)
- 一般相対論の場合 (613)
- 法則7.09 一般相対論の測地線偏差の方程式 (614)
\(\S7\) アインシュタインの重力場方程式 (617)
- 法則7.10 アインシュタインの重力場方程式 (617)
- アインシュタイン・テンソル \(G_{ij}\) (617)
- 問題7.11 (618)
- ニュートンの重力場方程式を導く (619)
- 発散（４次元の \(div\)）が０ (621)
- 問題7.12 (622)
\(\S8\) 重力場方程式の左辺を絞り込む (623)
- 定理7.13 (624)
- 問題7.14 (627)
- 問題7.15 (627)
- 問題7.16 (628)
- 問題7.17 (631)
- アインシュタインの宇宙項 \(\Lambda g_{ij}\) (633)
- 宇宙定数 \(\Lambda\) (633)
\(\S9\) シュワルツシルト解 (634)
- シュワルツシルト解（原点に１つの質点が置かれた場合の重力方程式の解） (634)
- 問題7.18 (635)
- 問題7.19 (636)
- 問題7.20 (639)
- 問題7.21 (642)
- 公式7.22 シュワルツシルト解 (643)
- ブラックホール (644)
\(\S10\) 一般相対論の検証 (646)
- 重力による赤方偏移 (646)
- 水星の近日点移動 (647)
- 重力による光の湾曲 (655)
\(\S11\) 重力波の方程式 (662)
- 問題7.23 (662)
- 弱重力場近似の仮定 (665)
- 法則7.24 重力場の方程式 (667)
おわりに
- テンソル (669)
- 特殊相対性理論の運動方程式 (669)
- 重力場方程式の左辺が\(R_{ij}\) でなく\(G_{ij}\) となる理由 (669)
- 参考文献 [1] ～ [14] (671)