一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第３章　テンソルと直線座標のテンソル場）§ 1～6

石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版　の読後行間補充メモ

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（→　事項索引）

（→　第１章　数学の準備）

（→　第２章　物理の準備）

§１　テンソル積

\(T^r(V)\) とテンソル積 \(\otimes \)

p208　\(V\) の元 \(\vec{e_1},~\vec{e_2}\)

２次元線形空間 \(V\) 上のベクトル

p209　テンソル積 \(S^{ij}\vec{e_i}\otimes\vec{a_j}\)

添え字 \(i,~j\) は、いずれも走る添え字（場合分けして和をとる）

\(S^{ij}\) は、行列\(S\) の \(i\) 行 \(j\) 列目の数値を示す。\[S=\left(\begin{array}{c}S^{11}&&S^{12}\\S^{21}&&S^{22}\end{array}\right)\]

演算 \(\otimes\) の計算方法は、p210 に定義。

p210　線形空間 \(V,~W\) 上の元 \(S,~T\)

元 \(S\) が、線形空間 \(V\) 上の基底\(\vec{e_1},~\vec{e_2}\) を用いて、以下のように表されるとき、\[\vec{S}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\]元 \(S\) は、線形空間 \(V\) 上の元（ベクトル）である。

同様に、別の線形空間 \(W\) 上の元 \(T\) も観念できる。

この２つの元

線形空間 \(V\) 上のベクトル \(S\)
線形空間 \(W\) 上のベクトル \(T\)

について、テンソル積 \(S\otimes T\) を考える。

テンソル積 \(S\otimes T\) は、４つの軸

\(\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{a_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{a_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\)

を持つ４次元の線形空間 \(V\otimes W\) 上の元（ベクトル）である（p210）。

（４次元の線形空間を、２次元図面上に図示することはできない。上記はイメージ図）

p211　\(S\otimes T=\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}+\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\) を満たす\(S,~T\) は存在しない

\(\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{a_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{a_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\)

のうち、第２項（\(\vec{e_1}\otimes \vec{a_2}\)）がない \(S\otimes T\) が存在するためには、\(\vec{e_1}\) または \(\vec{a_2}\) のいずれかの係数が、０である必要がある。

ここで、第１項が存在する以上、\(\vec{e_1}\) の係数は 0 ではないので、\(\vec{a_2}\) の係数が、０である必要がある。

しかし、この場合、第４項が 0 となってしまう。

よって、\[S\otimes T=\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}+\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\]を満たす\(S,~T\) は存在しない。

p212　線形空間\(T^r(V)\)

２次元線形空間 \(V\) の基底を\(e_1,~e_2\) として、

\(T^1(V)\) は、基底が \(e_i\) の２個（=\(2^1\)）のベクトル空間\(V\)
\(T^2(V)\) は、基底が \(e_i\otimes e_j\) の４個（=\(2^2\)）の４次元空間
\(T^3(V)\) は、基底が \(e_i\otimes e_j\otimes e_k\) の８個（=\(2^3\)）の８次元空間
\(T^4(V)\) は、基底が \(e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l\) の１６個（=\(2^4\)）の１６次元空間

＊\(i,j,k,l\) は、１または２の値をとる止まった添え字。

\[\left\{\begin{array}{l}e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\\e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\\ \otimes e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\]

p212　\(T^2(V)\) の元\(S\)

\[S=-3\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}+2\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\]

は、\(T^2(V)\) の基底である

\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\)

のうち、第１項及び第４項の係数が 0 であるもの。

これを\(T^1(V)\) の元とテンソル積をとると、p212 の末尾２行目のとおり、\(T^3(V)\) の基底８個のうち４個のみが現れる（他の項は係数が０となるため）。

p213　\(T^r(V)=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V\)

例えば、\(V\) を \(n=2\) 次元空間とし、その基底を、

\(\vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\)

とする。これらを組み合わせて作られる\(r=3\) 階の反変テンソル空間を考えると、基底の個数は、\begin{eqnarray}n^r&=&2^3\nonumber\\&=&8\nonumber\end{eqnarray}個であり、具体的には、

\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\)

の８種類の基底となる（\(r=3\) 個の \(\vec{e_{\square}}\) から構成される）。

これは、\(n^r=8\) 次元線形空間であり、\[T^3(V)=V\otimes V \otimes V\]と表される（\(r=3\) 個の\(V\)から構成される）。

この線形空間、\(T^3(V)\) の元（ベクトル）\(S\) は、\[S=S^{ijk}~\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\otimes \vec{e_k}\]と表される。

\[S^{ijk}\]はテンソルの成分であり、その数値は、三次元配列 \(S^{ijk}\) の \(n^r=8\) 個ある各成分のいずれか一つを指す。ここで、元 \(S\) の \(i,~j,~k\) は、いずれも走る添え字（全場合の和をとる）なので、元 \(S\) は、具体的には、\begin{eqnarray}S&=&~~S^{111}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{112}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{121}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{122}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{211}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{212}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{221}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{222}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\nonumber\end{eqnarray}

という８次元線形空間におけるベクトルを示している。

p213　\(T^r(V)\) のテンソル積

\[n=3\]のとき、\(V\) の基底は、

\(e_1\)
\(e_2\)
\(e_3\)

の３種類である。

このとき、\(T^2(V)\) の元である \(S\) は、\[S=S^{ij}~\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\]と表され（添え字 \(i,~j\) は、各々、１、２、または３のいずれかの数値をとる）、その成分の個数は、以下の場合分けのとおり、\begin{eqnarray}n^2&=&3^2\nonumber\\&=&9\nonumber\end{eqnarray}個である。

\[\left\{\begin{array}{l}e_1\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2 \\ \otimes e_3\end{array}\right.\\e_2\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2 \\ \otimes e_3\end{array}\right.\\e_3\left\{\begin{array}{l}\otimes e_1\\ \otimes e_2 \\ \otimes e_3\end{array}\right.\end{array}\right.\]

具体的には、

\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\)

の９種類である。

すなわち、\(S\) は、具体的には、以下のような９次元線形空間における元（ベクトル）である。

\begin{eqnarray}S&=&~~S^{11}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{12}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{13}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\nonumber\\&&+S^{21}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{22}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{23}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\nonumber\\&&+S^{31}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\nonumber\\&&+S^{32}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\nonumber\\&&+S^{33}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\nonumber\end{eqnarray}

また、\(T^1(V)\) の元である\[T=T^k~\vec{e_k}\]の成分の個数は、\[n^1=3\]個であり、具体的には、

\(\vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\)
\(\vec{e_3}\)

の３種類である。

\(T\) は、具体的には、以下のような３次元線形空間における元（ベクトル）である。\[T=T^1~\vec{e_1}+T^2~\vec{e_2}+T^3~\vec{e_3}\]

これら元 \(S\) と元 \(T\) のテンソル積 \(S\otimes T\) を \(U\) とすると、\begin{eqnarray}U&=&S\otimes T \nonumber\\&=&S^{ij}T^k~\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\otimes \vec{e_k}\nonumber\\&=&U^{ijk}~\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\otimes \vec{e_k}\nonumber\end{eqnarray}

である。

その成分の個数は、\[n^3=27\]個であり、具体的には、

\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\)
\(\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_1},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_2},~~~~\cdot\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\)

の２７種類である。

\(S\otimes T\) は、具体的には、以下のような２７次元線形空間における元（ベクトル）である。

\begin{eqnarray}S\otimes T&=&~~U^{111}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}+U^{112}~\vec{e_1}\otimes\vec{e_1}\otimes\vec{e_2}+U^{113}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{121}~\vec{e_1}\otimes\vec{e_2}\otimes\vec{e_1}+U^{122}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_2}+U^{123}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{131}~\vec{e_1}\otimes\vec{e_3}\otimes\vec{e_1}+U^{132}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\otimes \vec{e_2}+U^{133}~\vec{e_1}\otimes \vec{e_3}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{211}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes \vec{e_1}+U^{212}~\vec{e_2}\otimes\vec{e_1}\otimes\vec{e_2}+U^{213}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{221}~\vec{e_2}\otimes\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}+U^{222}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes\vec{e_2}+U^{223}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{231}~\vec{e_2}\otimes\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}+U^{232}~\vec{e_2}\otimes\vec{e_3}\otimes\vec{e_2}+U^{233}~\vec{e_2}\otimes \vec{e_3}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{311}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}+U^{312}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_1}\otimes\vec{e_2}+U^{313}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{321}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}+U^{322}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_2}\otimes\vec{e_2}+U^{323}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_2}\otimes\vec{e_3}\nonumber\\&&+U^{331}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_3}\otimes \vec{e_1}+U^{332}~\vec{e_3}\otimes\vec{e_3}\otimes\vec{e_2}+U^{333}~\vec{e_3}\otimes \vec{e_3}\otimes\vec{e_3}\nonumber\end{eqnarray}

テンソルの成分\[U^{ijk}=S^{ij}T^k\]は、該当する\(S^{ij}\) 成分と \(T^k\) 成分の積を成分とする三次元配列である。

例えば、\[U^{213}=S^{21}T^3\]は、\(U\) の２丁目１番３号の成分が、\(S\) の２行１列目の成分と \(T\) の３番目成分の積であることを指している。すなわち、\begin{eqnarray}S&=&\left\{\begin{array}{l}1行目\\2行目\left\{\begin{array}{l}1列目\cdots \cdots 77\\2列目\\3列目\end{array}\right.\\3行目\end{array}\right.\nonumber\\ T&=&\left\{\begin{array}{l}1番目\\2番目\\3番目\cdots \cdots 65\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}の場合、\[U=\left\{\begin{array}{l}1丁目\\2丁目\left\{\begin{array}{l}1番\left\{\begin{array}{l}1号\\2号\\3号\cdots \cdots S^{21}\times T^3=77\times 65=5005\end{array}\right.\\2番\\3番\end{array}\right.\\3丁目\end{array}\right.\]であることを指している。

§２　基底の取り換えと成分の書き換え

p218　基底の取り換え

\begin{eqnarray}\left(\vec{e_1'},~\vec{e_2'}\right)&=&\left(\vec{e_1},~\vec{e_2}\right)\left(\begin{array}{c}a_1^1&&a_2^1\\a_1^2&&a_2^2\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(a^1_1\vec{e_1}+a^2_1\vec{e_2},~a^1_2\vec{e_1}+a^2_2\vec{e_2}\right)\nonumber\end{eqnarray}要素どうしを比べると、

\(\vec{e_1'}=a^1_1\vec{e_1}+a^2_1\vec{e_2}\)
\(\vec{e_2'}=a^1_2\vec{e_1}+a^2_2\vec{e_2}\)

である。

この２式は、止まっている添え字 \(i\) （分ける）を用いて（\(i\) は、１または２の数値をとる）、以下のように縮約記法で１式にまとめ表記できる。\[\vec{e_i'}=a_i^1\vec{e_1}+a_i^2\vec{e_2}\]同式の右辺を走る添え字 \(j\) （和をとる）を用いて縮約表記すると（\(j\) は、１または２の数値をとる）、

\[ \vec{e_i'}=a^j_i\vec{e_j}\]と表記できる。

p218　成分の書き換え

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}x^{'1}\\x^{'2}\end{array}\right) &=&\left(\begin{array}{c}b^1_1&&b^1_2\\b^2_1&&b^2_2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x^1\\x^2\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}b^1_1b^1+b^1_2x^2\\b^2_1x^1+b^2_2x^2\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}要素同士を比べると、

\(x^{'1}=b^1_1x^1+b^1_2x^2\)
\(x^{'2}=b^2_1x^1+b^2_2x^2\)

である。

この２式は、止まっている添え字 \(i\) （分ける）を用いて（\(i\) は、１または２の数値をとる）、以下のように縮約記法で１式にまとめ表記できる。

\[x^{'i}=b^i_1x^1+b^i_2x^2\]同式の右辺を走る添え字 \(j\) （和をとる）を用いて縮約表記すると（\(j\) は、１または２の数値をとる）、

\[x^{'i}=b^i_jx^j\]と表記できる。

p218　\(a^i_jb^j_k=\delta^i_k\)

\[a^i_jb^j_k=\delta^i_k\]において、\(j\) は走る添え字なので、与式は、\(j=1,~2\) の各場合を合算して、\[a^i_1b^1_k+a^i_2b^2_k=\delta^i_k\]となる。

ここで、\(i\) は止まった添え字なので、与式は、\(i=1,~2\) に応じて縦に場合分けをして、\[\left(\begin{array}{c}a^1_1b^1_k+a^1_2b^2_k\\a^2_1b^1_k+a^2_2b^2_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\delta^1_k\\ \delta^2_k\end{array}\right)\]となり、\(k\) は止まった添え字なので、\(k=1,~2\) に応じて横に場合分けをして、\[\left(\begin{array}{c}a^1_1b^1_1+a^1_2b^2_1&&a^1_1b^1_2+a^1_2b^2_2\\a^2_1b^1_1+a^2_2b^2_1&&a^2_1b^1_2+a^2_2b^2_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\delta^1_1&&\delta^1_2\\ \delta^2_1&&\delta^2_2\end{array}\right)\]となる。

この左辺は、行列の積として、\[\left(\begin{array}{c}a^1_1b^1_1+a^1_2b^2_1&&a^1_1b^1_2+a^1_2b^2_2\\a^2_1b^1_1+a^2_2b^2_1&&a^2_1b^1_2+a^2_2b^2_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a^1_1&&a^1_2\\a^2_1&&a^2_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b^1_1&&b^1_2\\b^2_1&&b^2_2\end{array}\right)\]と変形できる。

他方で、右辺は、クロネッカーのデルタ \(\delta\) の定義より（p121）、

\[\left(\begin{array}{c}\delta^1_1&&\delta^1_2\\ \delta^2_1&&\delta^2_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&&0\\ 0&&1\end{array}\right)\]である。

よって、与式は、\[\left(\begin{array}{c}a^1_1&&a^1_2\\a^2_1&&a^2_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b^1_1&&b^1_2\\b^2_1&&b^2_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&&0\\ 0&&1\end{array}\right)\]と同値である。

p219　（１）２～４行目

\[a^j_ib^i_k\vec{e_j}=\delta^j_k\vec{e_j}\]の変形は、p121 のクロネッカーのデルタ \(\delta\) の公式（逆行列の積は単位行列）を用いた。

また、\[\delta^j_k\vec{e_j}\]は、\(k=1\) のときは、\begin{eqnarray}\delta ^j_1\vec{e_j}&=&\delta^1_1\vec{e_1}+\delta^2_1\vec{e_2}\nonumber\\&=&1\vec{e_1}+0\vec{e_2}\nonumber\\&=&\vec{e_1}\nonumber\end{eqnarray}であり、他方で、\(k=2\) のときは、\begin{eqnarray}\delta ^j_2\vec{e_j}&=&\delta^1_2\vec{e_1}+\delta^2_2\vec{e_2}\nonumber\\&=&0\vec{e_1}+1\vec{e_2}\nonumber\\&=&\vec{e_2}\nonumber\end{eqnarray}であるから、両方の場合をまとめると、\[\delta^j_k\vec{e_j}=\vec{e_k}\]となる（\(\delta\) との積をとると、走る添え字が、\(\delta\) の止まっている文字と交換される。p121）。

p219　定理３．０５　基底の取り換え行列\(A\) と成分の書き換え行列\(B\)

行列 \(A\) を、\(j\) 行・\(i\) 列目の\(a\)要素 \(a^j_i\) で表わすと、\(\)\[A=a^j_i=\left(\begin{array}{c}a^1_1&&a^1_2\\a^2_1&&a^2_2\end{array}\right)\]行列 \(B\) を、\(i\) 行・\(j\) 列目の\(b\)要素 \(b^i_j\) で表わすと、\(\)\[B=b^i_j=\left(\begin{array}{c}b^1_1&&b^1_2\\b^2_1&&b^2_2\end{array}\right)\]行列\(A\) と行列\(B\) とは互いに逆行列。

p220　\(S=\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}+3\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)

元 \(S\) は、\(T^2(V)\) の元であるので、基底は以下の４つがあるが、

\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\)

このうち、\(\vec{e_1}\otimes \vec{e_1}\) と \(\vec{e_2}\otimes \vec{e_2}\) の係数が、0 であるため、見かけ上、基底２つによる元となっている。

p221　途中式３．０５　\(b^i_j\vec{e_i'}=\vec{e_j}\)

添え字を入れ替えて、\[b^k_i\vec{e_k'}=\vec{e_i}\]や\[b^l_j\vec{e_l'}=\vec{e_j}\]として式変形に用いている。

p221　\(T^r(V)\) の基底の取り換えと成分の書き換え

\(V\) の基底 \(\vec{e_j}=\left(\vec{e_1},~\vec{e_2},~\cdots , \vec{e_n}\right)\) を \(a^j_i\) で変換して、\(\vec{e_i'}=\left(\vec{e_1'},~\vec{e_2'},~\cdots~\vec{e_n'}\right)\) とする。

\(a^j_i\) の逆行列を\(b^i_j\) とすると、\(b^i_j\) は基底を基に戻す働きがある。

この基底の取り換えに伴い、これら基底のテンソル積から構成される反変テンソル空間\(T^r(V)\) の元\(S\) についても、基底が変換される。

\[\vec{e_1}\otimes \vec{e_2}\otimes \cdots \otimes \vec{e_n}~~\longrightarrow~~\vec{e_1'}\otimes \vec{e_2'}\otimes \cdots \otimes \vec{e_n'}\]

同時に、その成分\(S^{i\cdots j}\) も成分\(S^{'k\cdots l}\) へと変換される。

成分の変換式は、以下のようになる。\[S^{'k\cdots l}=b^k_i\cdots b^l_j~S^{i\cdots j}\]例えば、元\(S\) が３階反変テンソル空間 \(T^3(V)\) の元である場合は（\(r=3\)）、\[S^{'lmn}=b^l_i~b^m_j~b^n_k~S^{ijk}\]となる（\(S^{'lmn},~S^{ijk}\) は三次元配列）。

§３

\(T^r_s(V)\)

p222　相対空間 \(V^*\)、相対基底\(f^i\)

相対基底の取り換えルールは、\(V\) の基底\[\vec{e_j}=\left(\vec{e_1},~\vec{e_2}\right)\]を、取り換え行列\(A\) で、ダッシュ付き基底 \[\vec{e'_i}=\left(\vec{e_1'},~\vec{e_2'}\right)\]へと取り換える場合に、相対基底\[\vec{f^j}=\left(\begin{array}{c}\vec{f^1}\\ \vec{f^2}\end{array}\right)\]を逆行例\(A^{-1}\) でダッシュ付き相対基底 \[\vec{f'^i}=\left(\begin{array}{c}\vec{f'^1}\\ \vec{f'^2}\end{array}\right)\]に取り換えるというもの。

\(V\) と \(V^*\) とは別の線形空間のまま。
\(\vec{e_j}\) と \(\vec{f^j}\) との間の変換法則ではない。

p222　\(V\) の基底の取り換えと \(V^*\) の基底の取り換え

\(V^*\) の基底の取り換え\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\vec{f^{'1}}\\ \vec{f^{'2}}\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}b^1_1&&b^1_2\\b^2_1&&b^2_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\vec{f^1}\\ \vec{f^2}\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}b^1_1\vec{f^1}+b^1_2\vec{f^2}\\b^2_1\vec{f^1}+b^2_2\vec{f^2}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}の右辺が、\(V\) の基底の取り換えの右辺と順序が異なる（基底\(\vec{f^j}\) が後ろ）のは、縦ベクトル\(\left(\begin{array}{c}\vec{f^1}\\ \vec{f^2}\end{array}\right)\) で行列を計算する都合による。

p223　混合テンソル空間 \(T^r_s\)

反変テンソル空間 \(T^2(V)\)は、\[\left.\begin{array}{c}V\\V\end{array}\right\}\longrightarrow~~V\otimes V\]

その基底は、\[\left.\begin{array}{c}\vec{e_i}\\ \vec{e_j}\end{array}\right\}\longrightarrow~~\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\]である（\(i,~j\) が１、２の値をとるとき、４個の基底＝４次元空間）。

他方で、混合テンソル空間 \(T^1_1(V)\)は、\[\left.\begin{array}{c}V\\V^*\end{array}\right\}\longrightarrow~~V\otimes V^*\]

その基底は、\[\left.\begin{array}{c}\vec{e_i}\\ \vec{f^j}\end{array}\right\}\longrightarrow~~\vec{e_i}\otimes \vec{f^j}\]であり、\(i,~j\) が１、２の値をとるとき、\[\vec{e_i}\otimes \vec{f^j}=\left\{\begin{array}{c}\vec{e_1}\otimes \vec{f^1}\\\vec{e_1}\otimes \vec{f^2}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\end{array}\right.\]の４個の基底となる（４次元線形空間）。

この各基底は、

\(\vec{e_i}\) が１つあるので１階反変
\(\vec{f^j}\) が１つあるので１階共変

であり、混合テンソル空間 \(T^1_1(V)\)は、１階反変・１階共変。

p223　反変・共変

反変・共変の言葉の由来は、p234を参照。

\(T\) の右上添え字が反変階数、右下添え字が共変階数

\[T^反_共\]

p224　１階反変・２階共変のテンソル空間 \(T^1_2(V)=V\otimes V^*\otimes V^*\)

混合テンソル空間 \(T^1_2(V)\)は、\[\left.\begin{array}{c}V\\V^*\\V^*\end{array}\right\}\longrightarrow~~V\otimes V^*\otimes V^*\]

その基底は、\[\left.\begin{array}{c}\vec{e_i}\\ \vec{f^j}\\ \vec{f^k}\end{array}\right\}\longrightarrow~~\vec{e_i}\otimes \vec{f^j}\otimes \vec{f^k}\]であり、\(i,~j,~k\) が１、２の値をとるとき、\[\vec{e_i}\otimes \vec{f^j}\otimes \vec{f^k}=\left\{\begin{array}{c}\vec{e_1}\otimes \vec{f^1} \otimes \vec{f^1}\\\vec{e_1}\otimes \vec{f^1}\otimes \vec{f^2}\\\vec{e_1}\otimes \vec{f^2} \otimes \vec{f^1}\\ \vec{e_1}\otimes \vec{f^2} \otimes \vec{f^2}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}\otimes \vec{f^1}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}\otimes \vec{f^2}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\otimes \vec{f^1}\\\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\otimes \vec{f^2}\end{array}\right.\]の８個の基底となる（８次元線形空間）。

この各基底は、

\(\vec{e_i}\) が１つあるので１階反変
\(\vec{f^{\square}}\) が２つあるので２階共変

であり、混合テンソル空間 \(T^1_2(V)\)は、１階反変・２階共変。

p224　問題３．０９

\(V\) の基底が \(\left(\vec{e_1},~\vec{e_2}\right)\)、その相対基底が \(\left(\begin{array}{c}\vec{f^1}\\ \vec{f^2}\end{array}\right)\)　のとき、\(T^1_1(V)\) の元は、一般には、４つの基底

\(\vec{e_1}\otimes \vec{f^1}\)
\(\vec{e_1}\otimes \vec{f^2}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}\)
\(\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\)

から構成される。\[a~\vec{e_1}\otimes \vec{f^1}+b~\vec{e_1}\otimes \vec{f^2}+c~\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}+d~\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\]

問題文の元\(S\) は、各基底の係数が以下のものである。

\(a=1\)
\(b=0\)
\(c=0\)
\(d=-2\)

同様に、問題文の元\(T\) は、各基底の係数が以下のものである。

\(a=3\)
\(b=0\)
\(c=0\)
\(d=0\)

\(T_1(V)\) の元についても、同じように、一般には、２つの基底

\(\vec{f^1}\)
\(\vec{f^2}\)

から構成される。\[a~\vec{f^1}+b~\vec{f^2}\]問題文の元\(W\) は、各基底の係数が以下のものである。

\(a=0\)
\(b=3\)

問題文の元\(Z\) は、各基底の係数が以下のものである。

\(a=2\)
\(b=-1\)

p225　各種の \(T^r_s(V)\)

\(r=0,~s=0\) のとき、\(T^0_0(V)\) は１次元配列であり、その元（要素）は、\[T^i\]というスカラー値である（配列\(T\)の\(i\)番目の要素）。

\(r=1,~s=0\) のとき、\(T^1_0(V)=V\) の元（要素）は、\[T^i~\vec{e_i}=T^1~\vec{e_1}+T^2~\vec{e_2}\]という２次元ベクトルである（２個の基底が１セットあるで \(2^1=2\)の基底）。

\(r=0,~s=1\) のとき、\(T^0_1(V)=V^*\) の元（要素）は、\[T_i~\vec{f^i}=T_1~\vec{f^1}+T_2~\vec{f^2}\]という２次元ベクトルである（２個の基底が１セットあるので \(2^1=2\)）。

\(r=1,~s=1\) のとき、\(T^1_1(V)=V\otimes V^*\) の元（要素）は、\[T^i_j~\vec{e_i}\otimes\vec{f^j}=T^1_1~\vec{e_1}\otimes\vec{f^1}+T^1_2~\vec{e_1}\otimes\vec{f^2}+T^2_1~\vec{e_2}\otimes\vec{f^1}+T^2_2~\vec{e_2}\otimes\vec{f^2}\]という４次元ベクトルである（２個の基底が２（＝１＋１）セットあるので \(2^{1+1}=4\)）。

\(r=r,~s=s\) のとき、\(T^r_s(V)=\overbrace{V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}^{r個} \otimes \underbrace{V^*\otimes \cdots \otimes V^*}_{s個}\) の元（要素）は、\begin{eqnarray}T^{\overbrace{i~\cdots~j}^{r個}}_{~~~~\underbrace{k~\cdots~l}_{s個}}~\overbrace{\vec{e_i}\otimes\cdots\vec{e_j}}^{r個}\otimes\underbrace{\vec{f^k}\otimes\cdots\vec{f^l}}_{s個}&=&T^{1\cdots 1}_{1\cdots 1}~\vec{e_1}\otimes\cdots \vec{e_1}\otimes\vec{f^1}\otimes \cdots \vec{f^1}\nonumber\\&&+T^{1\cdots 1}_{1\cdots 2}~\vec{e_1}\otimes\cdots\vec{e_1}\otimes\vec{f^1}\cdots\vec{f^2}\nonumber\\&&~~~~~~~~\vdots\nonumber\\&&~~~~~~~~\vdots\nonumber\\&&+T^{2\cdots 2}_{2\cdots 2}~\vec{e_2}\otimes\cdots\vec{e_2}\otimes\vec{f^2}\otimes\cdots\vec{f^2}\nonumber\end{eqnarray}という右辺に \(2^{r+s}\) 個の項が存在する \(2^{r+s}\) 次元ベクトルである（２個の基底が（\(r+s\)）セットあるので \(2^{r+s}\)）。

p225　テンソルの成分　\(T^{i~\cdots~ j}_{~~~~k~\cdots~l}\)

テンソルの成分 \(T^{\overbrace{i~\cdots~j}^{r個}}_{~~~~\underbrace{k~\cdots~l}_{s個}}\) は、（\(r+s\)）次元配列である。

例えば、\(T^{\overbrace{ijk}^{3個}}_{~~~~\underbrace{lm}_{2個}}\) であれば、５次元配列であり、５つの指標で指定される場所（\(i,j,k,l,m\) が１または２の数値をとる場合、全部で\(2^5=32\) の場所がある）に、特定の数値が格納されている。。

以下の例では \(i国~j県~k町~l丁目~m番地\) で特定される場所に、特定の数値（例：777）が格納されている。

\[\left\{\begin{array}{l}1国\left\{\begin{array}{l}1県\\2県\left\{\begin{array}{l}1町\\2町\left\{\begin{array}{l}1丁目\left\{\begin{array}{l}1番地\\2番地\cdots\cdots 777\end{array}\right.\\2丁目\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\\2国\end{array}\right.\]この数値が、基底のベクトル積にかけられる係数であり、\[777~\vec{e_1}\otimes\vec{e_2}\otimes\vec{e_2}\otimes\vec{f^1}\otimes\vec{f^2}\]となる。

このような項（係数×基底ベクトル積）が、\(T^3_2(V)=V\otimes V\otimes V\otimes V^*\otimes V^*\) 空間（３階反変・２階共変のテンソル空間）の元（ベクトル、要素）の場合、合計で、\(2^5=32\) 項がベクトルの加算項目として存在する。

p226　\(T^r_{~~s}(V)\) のテンソル積

\[S^i_{~j}T^{kl}_{~~m}~\vec{e_i}\otimes\vec{e_k}\otimes\vec{e_l}\otimes\vec{f^j}\otimes\vec{f^m}\]

反変部分…成分の上付添え字、基底の下付き添え字（\(i,~k,~l\)）
共変部分…成分の下付添え字、基底の上付き添え字（\(j,~m\)）

§４　テンソルの縮約・縮合

p229　縮約

\[S^i_{~j}T_k\vec{e_i}\otimes\vec{f^j}\otimes\vec{f^k}\]を添え字\(i,~k\) で縮約する。

①　\(i=k\) となる成分を抜き出して和をとると（＝添え字を\(i,~k\) を \(i\) で統一）、

\[S^i_{~j}T_i\vec{e_i}\otimes\vec{f^j}\otimes\vec{f^i}\]

②　\(\vec{e_i},~\vec{f^i}\) を落とし、\[S^i_{~j}T_i\vec{f^j}\]

p229　\(S\) の成分の上添え字と\(T\) の成分の下添え字の縮合

問題３．１５には、直接には添え字は数値しかないが、縮約記法を用いれば、

\(S=S^i_{~j}\vec{e_i}\otimes\vec{f^j}\)
\(T=T_k\vec{f^k}\)

と添え字部分を文字表記できるので、

\(S\) の成分の上添え字　…\(i\)
\(T\) の成分の下添え字　…\(k\)

と解釈できる。

よって、\(i,~k\) の縮約を求めればよい。

すなわち、\(\vec{e_i}\otimes\vec{f^j}\otimes\vec{f^k}\) のうち、

①　\(i=k\) となる成分を抜き出して和をとり、

②　\(\vec{e_i},~\vec{f^k}\) を落とせば良い。

p231　テンソルの縮合による反変次数 \(r\) と共変次数 \(s\) の変化

２つのテンソルが以下の次数であるとき、

\((r,~s)\)
\((r',~s')\)

これらのテンソル積の次数は、p226の定義３．１１のとおり、\[(r+r',~s+s')\]となる。

これを縮約すると、縮約時の選択対象の基底は、\(\vec{e},~\vec{f}\) であるので（p229）、反変次数と共変次数が共に減少し、\[(r+r'-1,~s+s'-1)\]の次数のテンソルとなる。

§５　成分の書き換え

　\(T^r_{~s}(V)\) の成分の書き換え

p233　\(a^j_{~i}\) と \(b^i_{~j}\) とは逆行列

\(i,~j\) の位置関係が逆になっているのは、これら行列がかけられる対象の基底等 \(\vec{e_j},~\vec{f}^j\) の添え字\(j\)が、各々、下付き・上付きになっていることに対応するため。（行列\(A\) の\(j\) 行\(i\) 列の要素は\(a^j_{~i}\) であり、同様に、行列\(B\) の\(i\) 行\(j\) 列の要素は\(b^i_{~j}\) であることは縮約記法のとおり）

ここで、基底\(\vec{e_j}\) をダッシュ付き基底\(\vec{e_i'}\) へと取り換える場合、\begin{eqnarray}\vec{e_i'}&=&a^j_{~i}\vec{e_j}\nonumber\end{eqnarray}とあらわされるが（\(\vec{e}\) の下付き添え字\(j\) を\(a\) の上付き添え字\(j\) で消去し、\(a\) の下付き添え字\(i\) を \(\vec{e}\) に新たに付加するイメージ）、この両辺に、\(a^j_{~i}\) の逆行例 \(\left(a^j_{~i}\right)^{-1}\) を左から乗ずると、\(a^j_{~i}\) と \(b^i_{~j}\) とは逆行列なので、\begin{eqnarray}\left(a^j_{~i}\right)^{-1}\vec{e_i'}&=&\left(a^j_{~i}\right)^{-1}a^j_{~i}\vec{e_j}\nonumber\\b^i_{~j}\vec{e_i'}&=&\vec{e_j}\nonumber\end{eqnarray}となり、ダッシュ付き基底\(\vec{e_i'}\) を基底\(\vec{e_j}\) へと取り換える場合の式が得られる。すなわち、

\(\vec{e_i'}=a^j_{~i}\vec{e_j}\)
\(b^i_{~j}\vec{e_i'}=\vec{e_j}\)

同様にして、相対基底とダッシュ付き相対基底との取り換えについても、以下の式が成立する。

\(\vec{f'^i}=b^i_{~j}\vec{f^j}\)
\(a^j_{~i}\vec{f'^i}=\vec{f^j}\)

p234　\(y'_i=a^j_{~i}y_j\)

これ以降、相対基底の成分 \(y_j,~y'_i\) は、\(x\) に下付き添え字を用い、\[x'_i=a^j_{~i}x_j\]と表記されている（p237等）。

p234　成分の書き換え（基底、相対基底）

元（ベクトル）を変えないまま、基底を変えると（\(\vec{e_j}\rightarrow\vec{e'_i}\)）、成分も変更を要する（\(x^j\rightarrow x'^i\)）。

相対基底の変更（\(\vec{f^j}\rightarrow\vec{f'^i}\)）についても同様である。（\(y_j\rightarrow y'_i\)）

基底 \(\vec{e_j}\) の取り換え行列 \(a^j_{~i}\) は、相対基底での成分 \(y_j\) の取り換え行列 \(a^j_{~i}\) と同じである（赤色部分）。このため、相対基底での成分 \(y_j\) を「共変成分」と呼ぶ。青色は「反変成分」である。

p236　６行目 \(x'_{12}\)

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}x'_{11}&&x'_{12}\\x'_{21}&&x'_{22}\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}&&a^2_{~1}\\a^1_{~2}&&a^2_{~2}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_{11}&&x_{12}\\x_{21}&&x_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}&&a^1_{~2}\\a^2_{~1}&&a^2_{~2}\end{array}\right) \nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}x_{11}+a^2_{~1}x_{21}&&a^1_{~1}x_{12}+a^2_{~1}x_{22}\\ \cdots && \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}&&a^1_{~2}\\a^2_{~1}&&a^2_{~2}\end{array}\right) \nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\cdots&& \left(a^1_{~1}x_{11}+a^2_{~1}x_{21}\right)a^1_{~2} +\left(a^1_{~1}x_{12}+a^2_{~1}x_{22}\right)a^2_{~2}\\ \cdots &&\cdots\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\cdots&& a^1_{~1}a^1_{~2}x_{11}+a^1_{~2}a^2_{~1}x_{21} +a^1_{~1}a^2_{~2}x_{12}+a^2_{~1}a^2_{~2}x_{22}\\ \cdots &&\cdots\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\cdots&& a^1_{~1}a^1_{~2}x_{11}+a^1_{~1}a^2_{~2}x_{12} +a^1_{~2}a^2_{~1}x_{21}+a^2_{~1}a^2_{~2}x_{22}\\ \cdots &&\cdots\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\cdots&& a^1_{~1}a^1_{~2}x_{11}+a^1_{~1}a^2_{~2}x_{12} +a^2_{~1}a^1_{~2}x_{21}+a^2_{~1}a^2_{~2}x_{22}\\ \cdots &&\cdots\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}行列１行目２列は、確かに、式３．０６となっている。

他の行列要素も同様。

よって、\begin{eqnarray}A&=&\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}&&a^1_{~2}\\a^2_{~1}&&a^2_{~2}\end{array}\right)\nonumber\\&=&a^j_{~i}\nonumber\end{eqnarray}と置くと（\(j,~i\) は、１または２の値を採る止まった添え字［場合分けして分割］）、８行目の式が成立する。

p236　\(x'_{12}=a^k_{~1}a^l_{2}x_{kl}\)

\(k,~l\) は、走る添え字なので、場合分けについて和をとり、\begin{eqnarray}x'_{12}&=&a^k_{~1}a^l_{2}x_{kl}\nonumber\\&=&a^1_{~1}a^l_{2}x_{1l}+a^2_{~1}a^l_{2}x_{2l}\nonumber\\&=&a^1_{~1}a^1_{2}x_{11}+a^2_{~1}a^1_{2}x_{21}+a^1_{~1}a^2_{2}x_{12}+a^2_{~1}a^2_{2}x_{22}\nonumber\\&=&a^1_{~1}a^1_{2}x_{11}+a^1_{~1}a^2_{2}x_{12}+a^2_{~1}a^1_{2}x_{21}+a^2_{~1}a^2_{2}x_{22}\nonumber\end{eqnarray}となり、確かに、式３．０６と一致する。

他の行列要素も同様。

よって、\(i,~j\) を止まった添え字［分割］、\(k,~l\) を走る添え字［和をとる］として、\[x'_{ij}=a^k_{~i}a^l_{~j}x_{kl}\]と縮約表記でまとめることができる。

同式を、\(i,~j\) について展開すると、\[x'_{ij}=\left(\begin{array}{c}a^k_{~1}a^l_{~1}x_{kl}&& a^k_{~1}a^l_{~2}x_{kl}\\a^k_{~2}a^l_{~1}x_{kl}&& a^k_{~2}a^l_{~2}x_{kl}\end{array}\right)\]である。

p237　問題３．２０　\(T^1_{~1}(V)\) の成分の書き換え

基底の取り換えを、\begin{eqnarray}\vec{e'_i}&=&a^j_{~i}\vec{e_j}\nonumber\\&=&a^k_{~i}\vec{e_k}\nonumber\end{eqnarray}と表記変えすると（\(j\rightarrow k\)）、基底変更・相対基底変更・テンソル積基底変更に伴う成分変更は、以下の比較表のとおり。

なお、\(a^k_{~i}=a^l_{~j}\) であり、\(b^j_{~l}=b^i_{~k}\) である（\(i,j,k,l\) は、いずれも１または２の値をとる縮約記法の止まった添え字。掛ける相手＝\(\vec{e_k},\vec{f^l},x^k,x_l\) の添え字に対応した文字列を使用したため、\(a,b\) の添え字が変更されたに過ぎない）。

p238　\(T^r_{~s}(V)\) の成分の書き換え

線形空間\(V\) の基底\(e_i\) を、ダッシュ付き基底\(e'_i\) に取り換えると、以下の変更も同時に行われる

相対空間\(V^*\) の基底\(f^i\)を、ダッシュ付き基底\(f'^i\) に取り換え
テンソル空間\(T^r_{~s}(V)\) の基底\(\vec{e_i}\otimes \cdots \otimes \vec{e_j}\otimes \vec{f^k}\otimes \cdots \otimes \vec{f^l}\) を、ダッシュ付き基底 \(\vec{e'_i}\otimes \cdots \otimes \vec{e'_j}\otimes \vec{f'^k}\otimes \cdots \otimes \vec{f'^l}\)に取り換え
\(T^r_{~s}(V)\) の成分 \(S^{i~\cdots~j}_{~~k~\cdots~l}\) を、ダッシュ付き成分 \(S'^{~i~\cdots~j}_{~~~k~\cdots~l}\) へと書き換え

添え字を、全体で合わせた比較表は、以下のとおりである。

p238　成分\(S^{i~\cdots~j}_{~~k~\cdots~l}\)

\(S^{i~\cdots~j}_{~~k~\cdots~l}\) は、添え字の個数分の次元からなる配列である。

例えば、\(S\) の添え字が以下の \(i,j\) の２つである場合には、\begin{eqnarray}S^{i}_{~~j}&=&\left(\begin{array}{c}x^1_{~1}&&x^1_{~2}\\x^2_{~1}&&x^2_{~2}\end{array}\right)\nonumber\\&=&x^i_{~j}\nonumber\end{eqnarray}２次元配列にかかる４つの要素を指す。

これのダッシュ付き基底変換後の成分\(S'^{~i}_{~~j}\) は、\begin{eqnarray}S'^{~i}_{~~j}&=&b^i_{
~k}a^l_{~j}S^k_{~l}\nonumber\end{eqnarray}である。

\(S\)の添え字が\(i,j\) から\(k,l\) へと変更されているのは、同じ式に属する \(S'\) の添え字と区別し、かつ、\(b,a\) の各添え字に対応させたためである。\(S\) 自体は同じ（\(2^2=\)）４要素からなる配列 \(S^i_{~j}=S^k_{~l}\) である。

添え字\(i,j\) は止まった添え字［分割］、添え字\(k,l\) は走る添え字［和をとる］なので、\(S^i_{~j}\) は、実際には以下のような数値要素で構成されている。

\begin{eqnarray}S'^{i}_{~~j}&=&\left(\begin{array}{c}b^1_{~k}a^l_{~1}S^k_l&&b^1_{~k}a^l_{~2}S^k_l\\b^2_{~k}a^l_{~1}S^k_l&&b^2_{~k}a^l_{~2}S^k_l\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}b^1_{~1}a^1_{1}S^1_{~1}+b^1_{~1}a^2_{1}S^1_{~2}+b^1_{~2}a^1_{1}S^2_{~1}+b^1_{~2}a^2_{1}S^2_{~2}&&\cdots\\ \cdots && \cdots \end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}

添え字が以下の \(i,j,k\) の３つである場合には、行列（２次元）では表記できないが、３次元配列であり、\begin{eqnarray}S^{i}_{~~jk}&=&x^i_{~jk}\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}x^1_{jk}\\x^2_{jk}\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{l}x^1_{11}\\x^1_{12}\\x^1_{21}\\x^1_{22}\\x^2_{11}\\x^2_{12}\\x^2_{21}\\x^2_{22}\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}を表している（\(2^3=\) ８要素）。

これのダッシュ付き基底変換後の成分\(S'^{~i}_{~~jk}\) は、\begin{eqnarray}S'^{~i}_{~~jk}&=&b^i_{
~l}a^m_{~j}a^n_{~k}S^l_{~mn}\nonumber\end{eqnarray}である（\(S\)の添え字が\(i,j,k\) から\(l,m,n\) へと変更されているのは、同じ式に属する \(S'\) の添え字と区別し、かつ、\(b,a\) の各添え字に対応させたためである。\(S\) 自体は同じ（\(2^3=\)）８要素からなる配列 \(S^i_{~jk}=S^l_{~mn}\) である）。

§６　成分の書き換えとテンソルの演算

p240　テンソルの演算

和：　\(S+T\)
スカラー積：　\(\lambda S\)
テンソル積：　\(S\otimes T\)
縮約：　\(S^{ij}_{~k}\vec{e_i}\otimes \vec{e_j}\otimes \vec{f^k}\longrightarrow S^{ij}_{~j}\vec{e_i}\)
縮合：　\(S\otimes T \longrightarrow \)　縮約

p241　\(S'^{lm}_{~n}=b^l_{~i}b^m_{~j}a^k_{n}S^{ij}_{~k}\)

定理３．２１より。

p241　末尾９～８行目

基底\(\vec{e_i}\)と相対基底\(\vec{e'_j}\)の関係（p238）より

\[\vec{e_i}=b^j_{~i}\vec{e'_j}\]

同じ添え字は、一括して他の添え字に代えても構わないので、

\(\vec{e_i}=b^l_{~i}\vec{e'_l}\)
\(\vec{e_j}=b^m_{~j}\vec{e'_m}\)

としたうえ、式変形に用いている。

p242　問題３．２３　\(T^1_{~1} (V)\) の元 \(S\)

\(T^1_{~1}(V)\) の元は、一般には、４つの基底から構成される。\[a~\vec{e_1}\otimes \vec{f^1}+b~\vec{e_1}\otimes \vec{f^2}+c~\vec{e_2}\otimes \vec{f^1}+d~\vec{e_2}\otimes \vec{f^2}\]

問題文の元\(S\) は、基底の係数 \(b=1\) で、他の係数が、 \(a,c,d=0\) のものである。

p242　６行目　中略箇所

同箇所の第１項を展開すると（ベクトルの上矢印を省略）、\begin{eqnarray}(2e'_1-e'_2)\otimes(f'^1+2f'^2)\otimes(2f'^1+3f'^2)&=&~~2e'_1\otimes f'^1\otimes2f'^1+2e'_1\otimes f'^1\otimes3f'^2\nonumber\\&&+2e'_1\otimes 2f'^2\otimes2f'^1+2e'_1\otimes 2f'^2\otimes3f'^2\nonumber\\&&-e'_2\otimes f'^1\otimes2f'^1-e'_2\otimes f'^1\otimes3f'^2\nonumber\\&&-e'_2\otimes 2f'^2\otimes2f'^1-e'_2\otimes 2f'^2\otimes3f'^2\nonumber\end{eqnarray}

また、同箇所の第２項を展開すると、\begin{eqnarray}-2(2e'_1-e'_2)\otimes(f'^1+2f'^2)\otimes(f'^1+2f'^2)&=&-4e'_1\otimes f'^1\otimes f'^1-4e'_1\otimes f'^1\otimes 2f'^2\nonumber\\&&-4e'_1\otimes 2f'^2\otimes f'^1-4e'_1\otimes 2f'^2\otimes 2f'^2\nonumber\\&&+2e'_2\otimes f'^1\otimes f'^1+2e'_2\otimes f'^1\otimes 2f'^2\nonumber\\&&+2e'_2\otimes 2f'^2\otimes f'^1+2e'_2\otimes 2f'^2\otimes 2f'^2\nonumber\end{eqnarray}

両項を合計すると、以下の成分の係数は、いずれも０となるので、

\(e'_1\otimes f'^1\otimes f'^1\)
\(e'_1\otimes f'^2\otimes f'^1\)
\(e'_2\otimes f'^1\otimes f'^1\)
\(e'_2\otimes f'^2\otimes f'^1\)

残余の成分をまとめることで、７行目の式が得られる。

p248　６行目

\[b^m_{~j}a^k_{~m}=\delta^k_{~j}\]の変形箇所は、変換行列\(A, B\) が互いに逆行列であるため、p121の \(a^i_{~k}b^k_{~j}=\delta^i_{~j}\) を用いた。

また、\[\delta^k_{~j}S^{ij}_{~~k}=S^{ij}_{~~j}\]の変形箇所は、以下の通り、場合分けをした検討結果による。

すなわち、\(j=1\) のときは、\begin{eqnarray}\delta^k_{~1}S^{i1}_{~~k}&=&\delta^1_{~1}S^{i1}_{~~1}+\delta^2_{~1}S^{i1}_{~~2}\nonumber\\&=&1S^{i1}_{~~1}+0S^{i1}_{~~2}\nonumber\\&=&S^{i1}_{~~1}\nonumber\end{eqnarray}他方で、\(j=2\) のときは、\begin{eqnarray}\delta^k_{~2}S^{i2}_{~~k}&=&\delta^1_{~2}S^{i2}_{~~1}+\delta^2_{~2}S^{i2}_{~~2}\nonumber\\&=&0S^{i2}_{~~1}+1S^{i2}_{~~2}\nonumber\\&=&S^{i2}_{~~2}\nonumber\end{eqnarray}よって、両場合をまとめると、\[\delta^k_{~j}S^{ij}_{~~k}=S^{ij}_{~~j}\]が確認できた。

p248　\(A=(a^i_{~j})\) が直交行列のときは、\(^tAA=E\)

未証明。

p248　「この本では、直交基底でない場合の変換則を考える」

後述の p295 では、正規直交基底の場合の、\(^tAA=E\) を前提とする説明あり。

p249　相対性原理

異なる観測者（相対的）であっても、テンソル方程式による物理法則は同じ記述式となる。

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