一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第３章 テンソルと直線座標のテンソル場）§ 1～6

  石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版　の読後行間補充メモ

（→　正誤表）

（→　事項索引）

（→　第１章　数学の準備）

（→　第２章　物理の準備）

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• 
  
• §１　テンソル積
• §２　基底の取り換えと成分の書き換え
• §３
• §４　テンソルの縮約・縮合
• §５　成分の書き換え
• §６　成分の書き換えとテンソルの演算 

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§１　テンソル積

$T^r(V)$ とテンソル積 $\otimes$ 

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p208　$V$ の元 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$

２次元線形空間 $V$ 上のベクトル

p209　テンソル積 $S^{ij}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{a_j}$

添え字 $i,j$ は、いずれも走る添え字（場合分けして和をとる）

$S^{ij}$ は、行列$S$ の $i$ 行 $j$ 列目の数値を示す。$$S=\left(\begin{array}{ccc}{S}^{11}& & S^{12}\\ S^{21}& & S^{22}\end{array}\right)$$

演算 $\otimes$ の計算方法は、p210 に定義。

p210　線形空間 $V,W$ 上の元 $S,T$

元 $S$ が、線形空間 $V$ 上の基底$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を用いて、以下のように表されるとき、$$\overrightarrow{S}=2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$$元 $S$ は、線形空間 $V$ 上の元（ベクトル）である。

同様に、別の線形空間 $W$ 上の元 $T$ も観念できる。

この２つの元

• 線形空間 $V$ 上のベクトル $S$
• 線形空間 $W$ 上のベクトル $T$

について、テンソル積 $S\otimes T$ を考える。

 テンソル積  $S\otimes T$  は、４つの軸

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_2}$

を持つ４次元の線形空間 $V\otimes W$ 上の元（ベクトル）である（p210）。

（４次元の線形空間を、２次元図面上に図示することはできない。上記はイメージ図）

p211　$S\otimes T=\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_2}$ を満たす$S,T$ は存在しない

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_2}$

のうち、第２項（$\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_2}$）がない $S\otimes T$ が存在するためには、$\overrightarrow{e_1}$ または $\overrightarrow{a_2}$ のいずれかの係数が、０ である必要がある。

ここで、第１項が存在する以上、$\overrightarrow{e_1}$ の係数は 0 ではないので、$\overrightarrow{a_2}$ の係数が、０ である必要がある。

しかし、この場合、第４項が 0 となってしまう。

よって、$$S\otimes T=\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_2}$$を満たす$S,T$ は存在しない。

p212　線形空間$T^r(V)$

２次元線形空間 $V$ の基底を$e_1,e_2$ として、

• $T^1(V)$ は、基底が $e_i$ の２個（=$2^1$）のベクトル空間$V$
• $T^2(V)$ は、基底が $e_i\otimes e_j$ の４個（=$2^2$）の４次元空間
• $T^3(V)$ は、基底が $e_i\otimes e_j\otimes e_k$ の８個（=$2^3$）の８次元空間
• $T^4(V)$ は、基底が $e_i\otimes e_j\otimes e_k\otimes e_l$ の１６個（=$2^4$）の１６次元空間

＊$i,j,k,l$ は、１または２の値をとる止まった添え字。

$$\{\begin{array}{l}{e}_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\end{array}\end{array}\\ e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\\ \otimes e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$$

p212　$T^2(V)$ の元$S$

$$S=-3\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}+2\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$$

は、$T^2(V)$ の基底である

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$

のうち、第１項及び第４項の係数が 0 であるもの。

これを$T^1(V)$ の元とテンソル積をとると、p212 の末尾２行目のとおり、$T^3(V)$ の基底８個のうち４個のみが現れる（他の項は係数が０となるため）。

p213　$T^r(V)=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$ 

例えば、$V$ を $n=2$ 次元空間とし、その基底を、

• $\overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}$

とする。これらを組み合わせて作られる$r=3$ 階の反変テンソル空間を考えると、基底の個数は、$$\begin{array}{rcl}{n}^r& =& 2^3\\ & =& 8\end{array}$$個であり、具体的には、

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$

の８種類の基底となる（$r=3$ 個の $\overrightarrow{e_{◻}}$ から構成される）。

これは、$n^r=8$ 次元線形空間であり、$$T^3(V)=V\otimes V\otimes V$$と表される（$r=3$ 個の$V$から構成される）。

この線形空間、$T^3(V)$ の元（ベクトル）$S$ は、$$S=S^{ijk}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}\otimes \overrightarrow{e_k}$$と表される。

$$S^{ijk}$$はテンソルの成分であり、その数値は、三次元配列 $S^{ijk}$ の $n^r=8$ 個ある各成分のいずれか一つを指す。ここで、元 $S$ の $i,j,k$ は、いずれも走る添え字（全場合の和をとる）なので、元 $S$ は、具体的には、$$\begin{array}{rcl}S& =& S^{111}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{112}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{121}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{122}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{211}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{212}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{221}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{222}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\end{array}$$

という８次元線形空間におけるベクトルを示している。

p213　$T^r(V)$ のテンソル積

$$n=3$$のとき、$V$ の基底は、

• $e_1$
• $e_2$
• $e_3$

の３種類である。

このとき、$T^2(V)$ の元である $S$ は、$$S=S^{ij}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}$$と表され（添え字 $i,j$ は、各々、１、２、または３のいずれかの数値をとる）、その成分の個数は、以下の場合分けのとおり、$$\begin{array}{rcl}{n}^2& =& 3^2\\ & =& 9\end{array}$$個である。

$$\{\begin{array}{l}{e}_1\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\\ \otimes e_3\end{array}\\ e_2\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\\ \otimes e_3\end{array}\\ e_3\{\begin{array}{c}\otimes e_1\\ \otimes e_2\\ \otimes e_3\end{array}\end{array}$$

具体的には、

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}$

の９種類である。

すなわち、$S$ は、具体的には、以下のような９次元線形空間における元（ベクトル）である。

$$\begin{array}{rcl}S& =& S^{11}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{12}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{13}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +S^{21}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{22}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{23}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +S^{31}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\\ & & +S^{32}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\\ & & +S^{33}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\end{array}$$

また、$T^1(V)$ の元である$$T=T^k\overrightarrow{e_k}$$の成分の個数は、$$n^1=3$$個であり、具体的には、

• $\overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_3}$

の３種類である。

$T$ は、具体的には、以下のような３次元線形空間における元（ベクトル）である。$$T=T^1\overrightarrow{e_1}+T^2\overrightarrow{e_2}+T^3\overrightarrow{e_3}$$

これら元 $S$ と元 $T$ のテンソル積 $S\otimes T$ を $U$ とすると、$$\begin{array}{rcl}U& =& S\otimes T\\ & =& S^{ij}{T}^k\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}\otimes \overrightarrow{e_k}\\ & =& U^{ijk}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}\otimes \overrightarrow{e_k}\end{array}$$

である。

その成分の個数は、$$n^3=27$$個であり、具体的には、

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}$
• $\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2},\cdot \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}$

の２７種類である。

$S\otimes T$ は、具体的には、以下のような２７次元線形空間における元（ベクトル）である。

$$\begin{array}{rcl}S\otimes T& =& U^{111}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{112}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{113}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{121}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{122}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{123}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{131}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{132}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{133}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{211}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{212}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{213}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{221}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{222}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{223}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{231}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{232}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{233}\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{311}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{312}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{313}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{321}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{322}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{323}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_3}\\ & & +U^{331}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_1}+U^{332}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_2}+U^{333}\overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\otimes \overrightarrow{e_3}\end{array}$$

テンソルの成分$$U^{ijk}=S^{ij}{T}^k$$は、該当する$S^{ij}$ 成分と $T^k$ 成分の積を成分とする三次元配列である。

例えば、$$U^{213}=S^{21}{T}^3$$は、$U$ の２丁目１番３号の成分が、$S$ の２行１列目の成分と $T$ の３番目成分の積であることを指している。すなわち、$$\begin{array}{rcl}S& =& \{\begin{array}{c}1\mathrm{行}\mathrm{目}\\ 2\mathrm{行}\mathrm{目}\{\begin{array}{c}1\mathrm{列}\mathrm{目}\cdots \cdots 77\\ 2\mathrm{列}\mathrm{目}\\ 3\mathrm{列}\mathrm{目}\end{array}\\ 3\mathrm{行}\mathrm{目}\end{array}\\ T& =& \{\begin{array}{c}1\mathrm{番}\mathrm{目}\\ 2\mathrm{番}\mathrm{目}\\ 3\mathrm{番}\mathrm{目}\cdots \cdots 65\end{array}\end{array}$$の場合、$$U=\{\begin{array}{l}1\mathrm{丁}\mathrm{目}\\ 2\mathrm{丁}\mathrm{目}\{\begin{array}{c}1\mathrm{番}\{\begin{array}{c}1\mathrm{号}\\ 2\mathrm{号}\\ 3\mathrm{号}\cdots \cdots S^{21}\times T^3=77\times 65=5005\end{array}\\ 2\mathrm{番}\\ 3\mathrm{番}\end{array}\\ 3\mathrm{丁}\mathrm{目}\end{array}$$であることを指している。

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§２　基底の取り換えと成分の書き換え

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p218　基底の取り換え

$$\begin{array}{rcl}(\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }})& =& (\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\\ & =& (a_1^1\overrightarrow{e_1}+a_1^2\overrightarrow{e_2},a_2^1\overrightarrow{e_1}+a_2^2\overrightarrow{e_2})\end{array}$$要素どうしを比べると、

• $\overrightarrow{e_1^{\prime }}=a_1^1\overrightarrow{e_1}+a_1^2\overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2^{\prime }}=a_2^1\overrightarrow{e_1}+a_2^2\overrightarrow{e_2}$

である。

この２式は、止まっている添え字 $i$ （分ける）を用いて（$i$ は、１または２の数値をとる）、以下のように縮約記法で１式にまとめ表記できる。$$\overrightarrow{e_i^{\prime }}=a_i^1\overrightarrow{e_1}+a_i^2\overrightarrow{e_2}$$同式の右辺を走る添え字 $j$ （和をとる）を用いて縮約表記すると（$j$ は、１または２の数値をとる）、

$$\overrightarrow{e_i^{\prime }}=a_i^j\overrightarrow{e_j}$$と表記できる。

p218　成分の書き換え

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}{x}^{{}^{\prime }1}\\ x^{{}^{\prime }2}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{b}_1^1{b}^1+b_2^1{x}^2\\ b_1^2{x}^1+b_2^2{x}^2\end{array}\right)\end{array}$$要素同士を比べると、

• $x^{{}^{\prime }1}=b_1^1{x}^1+b_2^1{x}^2$
• $x^{{}^{\prime }2}=b_1^2{x}^1+b_2^2{x}^2$

である。

この２式は、止まっている添え字 $i$ （分ける）を用いて（$i$ は、１または２の数値をとる）、以下のように縮約記法で１式にまとめ表記できる。

$$x^{{}^{\prime }i}=b_1^i{x}^1+b_2^i{x}^2$$同式の右辺を走る添え字 $j$ （和をとる）を用いて縮約表記すると（$j$ は、１または２の数値をとる）、

$$x^{{}^{\prime }i}=b_j^i{x}^j$$と表記できる。

p218　$a_j^i{b}_k^j={\delta }_k^i$

$$a_j^i{b}_k^j={\delta }_k^i$$において、$j$ は走る添え字なので、与式は、$j=1,2$ の各場合を合算して、$$a_1^i{b}_k^1+a_2^i{b}_k^2={\delta }_k^i$$となる。

ここで、$i$ は止まった添え字なので、与式は、$i=1,2$ に応じて縦に場合分けをして、$$\left(\begin{array}{c}{a}_1^1{b}_k^1+a_2^1{b}_k^2\\ a_1^2{b}_k^1+a_2^2{b}_k^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\delta }_k^1\\ {\delta }_k^2\end{array}\right)$$となり、$k$ は止まった添え字なので、$k=1,2$ に応じて横に場合分けをして、$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1{b}_1^1+a_2^1{b}_1^2& & a_1^1{b}_2^1+a_2^1{b}_2^2\\ a_1^2{b}_1^1+a_2^2{b}_1^2& & a_1^2{b}_2^1+a_2^2{b}_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\delta }_1^1& & {\delta }_2^1\\ {\delta }_1^2& & {\delta }_2^2\end{array}\right)$$となる。

この左辺は、行列の積として、$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1{b}_1^1+a_2^1{b}_1^2& & a_1^1{b}_2^1+a_2^1{b}_2^2\\ a_1^2{b}_1^1+a_2^2{b}_1^2& & a_1^2{b}_2^1+a_2^2{b}_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)$$と変形できる。

他方で、右辺は、クロネッカーのデルタ $\delta$ の定義より（p121）、

$$\left(\begin{array}{ccc}{\delta }_1^1& & {\delta }_2^1\\ {\delta }_1^2& & {\delta }_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right)$$である。

よって、与式は、$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right)$$と同値である。

p219　（１）２～４行目

$$a_i^j{b}_k^i\overrightarrow{e_j}={\delta }_k^j\overrightarrow{e_j}$$の変形は、p121 のクロネッカーのデルタ $\delta$ の公式（逆行列の積は単位行列）を用いた。

また、$${\delta }_k^j\overrightarrow{e_j}$$は、$k=1$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_1^j\overrightarrow{e_j}& =& {\delta }_1^1\overrightarrow{e_1}+{\delta }_1^2\overrightarrow{e_2}\\ & =& 1\overrightarrow{e_1}+0\overrightarrow{e_2}\\ & =& \overrightarrow{e_1}\end{array}$$であり、他方で、$k=2$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_2^j\overrightarrow{e_j}& =& {\delta }_2^1\overrightarrow{e_1}+{\delta }_2^2\overrightarrow{e_2}\\ & =& 0\overrightarrow{e_1}+1\overrightarrow{e_2}\\ & =& \overrightarrow{e_2}\end{array}$$であるから、両方の場合をまとめると、$${\delta }_k^j\overrightarrow{e_j}=\overrightarrow{e_k}$$となる（$\delta$ との積をとると、走る添え字が、$\delta$ の止まっている文字と交換される。p121）。

p219　定理３．０５　基底の取り換え行列$A$ と成分の書き換え行列$B$

行列 $A$ を、$j$ 行・$i$ 列目の$a$要素 $a_i^j$ で表わすと、$$$$A=a_i^j=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)$$行列 $B$ を、$i$ 行・$j$ 列目の$b$要素 $b_j^i$ で表わすと、$$$$B=b_j^i=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)$$行列$A$ と行列$B$ とは互いに逆行列。

p220　$S=\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}+3\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$

元 $S$ は、$T^2(V)$ の元であるので、基底は以下の４つがあるが、

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$

このうち、$\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_1}$ と $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}$ の係数が、0 であるため、見かけ上、基底２つによる元となっている。

p221　途中式３．０５　$b_j^i\overrightarrow{e_i^{\prime }}=\overrightarrow{e_j}$

添え字を入れ替えて、$$b_i^k\overrightarrow{e_k^{\prime }}=\overrightarrow{e_i}$$や$$b_j^l\overrightarrow{e_l^{\prime }}=\overrightarrow{e_j}$$として式変形に用いている。

p221　$T^r(V)$ の基底の取り換えと成分の書き換え

$V$ の基底 $\overrightarrow{e_j}=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\cdots ,\overrightarrow{e_n})$ を $a_i^j$ で変換して、$\overrightarrow{e_i^{\prime }}=(\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }},\cdots \overrightarrow{e_n^{\prime }})$ とする。

$a_i^j$ の逆行列を$b_j^i$ とすると、$b_j^i$ は基底を基に戻す働きがある。

この基底の取り換えに伴い、これら基底のテンソル積から構成される反変テンソル空間$T^r(V)$ の元$S$ についても、基底が変換される。

$$\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{e_n}⟶\overrightarrow{e_1^{\prime }}\otimes \overrightarrow{e_2^{\prime }}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{e_n^{\prime }}$$

同時に、その成分$S^{i\cdots j}$ も成分$S^{{}^{\prime }k\cdots l}$ へと変換される。

成分の変換式は、以下のようになる。$$S^{{}^{\prime }k\cdots l}=b_i^k\cdots b_j^l{S}^{i\cdots j}$$例えば、元$S$ が３階反変テンソル空間 $T^3(V)$ の元である場合は（$r=3$）、$$S^{{}^{\prime }lmn}=b_i^l{b}_j^m{b}_k^n{S}^{ijk}$$となる（$S^{{}^{\prime }lmn},S^{ijk}$ は三次元配列）。

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§３

$T_s^r(V)$

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p222　相対空間 $V^{\ast }$、相対基底$f^i$

相対基底の取り換えルールは、$V$ の基底$$\overrightarrow{e_j}=(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$$を、取り換え行列$A$ で、ダッシュ付き基底 $$\overrightarrow{e_i^{\prime }}=(\overrightarrow{e_1^{\prime }},\overrightarrow{e_2^{\prime }})$$へと取り換える場合に、相対基底$$\overrightarrow{f^j}=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{f^2}\end{array}\right)$$を逆行例$A^{-1}$ でダッシュ付き相対基底 $$\overrightarrow{f^{\prime i}}=\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^{\prime 1}}\\ \overrightarrow{f^{\prime 2}}\end{array}\right)$$に取り換えるというもの。

• $V$ と $V^{\ast }$ とは別の線形空間のまま。
• $\overrightarrow{e_j}$ と $\overrightarrow{f^j}$ との間の変換法則ではない。

p222　$V$ の基底の取り換えと $V^{\ast }$ の基底の取り換え

$V^{\ast }$ の基底の取り換え$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^{{}^{\prime }1}}\\ \overrightarrow{f^{{}^{\prime }2}}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{f^2}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{b}_1^1\overrightarrow{f^1}+b_2^1\overrightarrow{f^2}\\ b_1^2\overrightarrow{f^1}+b_2^2\overrightarrow{f^2}\end{array}\right)\end{array}$$の右辺が、$V$ の基底の取り換えの右辺と順序が異なる（基底$\overrightarrow{f^j}$ が後ろ）のは、縦ベクトル$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{f^2}\end{array}\right)$ で行列を計算する都合による。

p223　混合テンソル空間 $T_s^r$

反変テンソル空間 $T^2(V)$は、$$\begin{array}{c}V\\ V\end{array}\}⟶V\otimes V$$

その基底は、$$\begin{array}{c}\overrightarrow{e_i}\\ \overrightarrow{e_j}\end{array}\}⟶\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}$$である（$i,j$ が１、２の値をとるとき、４個の基底＝４次元空間）。

他方で、混合テンソル空間 $T_1^1(V)$は、$$\begin{array}{c}V\\ V^{\ast }\end{array}\}⟶V\otimes V^{\ast }$$

その基底は、$$\begin{array}{c}\overrightarrow{e_i}\\ \overrightarrow{f^j}\end{array}\}⟶\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}$$であり、$i,j$ が１、２の値をとるとき、$$\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}=\{\begin{array}{c}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}\end{array}$$の４個の基底となる（４次元線形空間）。

この各基底は、

• $\overrightarrow{e_i}$ が１つあるので１階反変
• $\overrightarrow{f^j}$ が１つあるので１階共変

であり、混合テンソル空間 $T_1^1(V)$は、１階反変・１階共変。

p223　反変・共変

反変・共変の言葉の由来は、p234を参照。

$T$ の右上添え字が反変階数、右下添え字が共変階数

$$T_{\mathrm{共}}^{\mathrm{反}}$$

p224　１階反変・２階共変のテンソル空間 $T_2^1(V)=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }$

混合テンソル空間 $T_2^1(V)$は、$$\begin{array}{c}V\\ V^{\ast }\\ V^{\ast }\end{array}\}⟶V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }$$

その基底は、$$\begin{array}{c}\overrightarrow{e_i}\\ \overrightarrow{f^j}\\ \overrightarrow{f^k}\end{array}\}⟶\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^k}$$であり、$i,j,k$ が１、２の値をとるとき、$$\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^k}=\{\begin{array}{c}\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \overrightarrow{f^2}\\ \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}\otimes \overrightarrow{f^2}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \overrightarrow{f^2}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}\otimes \overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}\otimes \overrightarrow{f^2}\end{array}$$の８個の基底となる（８次元線形空間）。

この各基底は、

• $\overrightarrow{e_i}$ が１つあるので１階反変
• $\overrightarrow{f^{◻}}$ が２つあるので２階共変

であり、混合テンソル空間 $T_2^1(V)$は、１階反変・２階共変。

p224　問題３．０９

$V$ の基底が $(\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2})$、その相対基底が $\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{f^1}\\ \overrightarrow{f^2}\end{array}\right)$　のとき、$T_1^1(V)$ の元は、一般には、４つの基底

• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}$
• $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}$
• $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}$

から構成される。$$a\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}+b\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}+c\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}+d\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}$$

問題文の元$S$ は、各基底の係数が以下のものである。

• $a=1$
• $b=0$
• $c=0$
• $d=-2$

同様に、問題文の元$T$ は、各基底の係数が以下のものである。

• $a=3$
• $b=0$
• $c=0$
• $d=0$

$T_1(V)$ の元についても、同じように、一般には、２つの基底

• $\overrightarrow{f^1}$
• $\overrightarrow{f^2}$

から構成される。$$a\overrightarrow{f^1}+b\overrightarrow{f^2}$$問題文の元$W$ は、各基底の係数が以下のものである。

• $a=0$
• $b=3$

問題文の元$Z$ は、各基底の係数が以下のものである。

• $a=2$
• $b=-1$

p225　各種の $T_s^r(V)$

$r=0,s=0$ のとき、$T_0^0(V)$ は１次元配列であり、その元（要素）は、$$T^i$$というスカラー値である（配列$T$の$i$番目の要素）。

$r=1,s=0$ のとき、$T_0^1(V)=V$ の元（要素）は、$$T^i\overrightarrow{e_i}=T^1\overrightarrow{e_1}+T^2\overrightarrow{e_2}$$という２次元ベクトルである（２個の基底が１セットあるで $2^1=2$の基底）。

$r=0,s=1$ のとき、$T_1^0(V)=V^{\ast }$ の元（要素）は、$$T_i\overrightarrow{f^i}=T_1\overrightarrow{f^1}+T_2\overrightarrow{f^2}$$という２次元ベクトルである（２個の基底が１セットあるので $2^1=2$）。

$r=1,s=1$ のとき、$T_1^1(V)=V\otimes V^{\ast }$ の元（要素）は、$$T_j^i\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}=T_1^1\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}+T_2^1\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}+T_1^2\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}+T_2^2\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}$$という４次元ベクトルである（２個の基底が２（＝１＋１）セットあるので $2^{1+1}=4$）。

$r=r,s=s$ のとき、$T_s^r(V)=\stackrel{r\mathrm{個}}{\overbrace{V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}}\otimes \underset{s\mathrm{個}}{\underbrace{V^{\ast }\otimes \cdots \otimes V^{\ast }}}$ の元（要素）は、$$\begin{array}{rcl}{T}_{\underset{s\mathrm{個}}{\underbrace{k\cdots l}}}^{\stackrel{r\mathrm{個}}{\overbrace{i\cdots j}}}\stackrel{r\mathrm{個}}{\overbrace{\overrightarrow{e_i}\otimes \cdots \overrightarrow{e_j}}}\otimes \underset{s\mathrm{個}}{\underbrace{\overrightarrow{f^k}\otimes \cdots \overrightarrow{f^l}}}& =& T_{1\cdots 1}^{1\cdots 1}\overrightarrow{e_1}\otimes \cdots \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \cdots \overrightarrow{f^1}\\ & & +T_{1\cdots 2}^{1\cdots 1}\overrightarrow{e_1}\otimes \cdots \overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}\cdots \overrightarrow{f^2}\\ & & ⋮\\ & & ⋮\\ & & +T_{2\cdots 2}^{2\cdots 2}\overrightarrow{e_2}\otimes \cdots \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}\otimes \cdots \overrightarrow{f^2}\end{array}$$という右辺に $2^{r+s}$ 個の項が存在する $2^{r+s}$ 次元ベクトルである（２個の基底が（$r+s$）セットあるので $2^{r+s}$）。

p225　テンソルの成分　$T_{k\cdots l}^{i\cdots j}$

テンソルの成分 $T_{\underset{s\mathrm{個}}{\underbrace{k\cdots l}}}^{\stackrel{r\mathrm{個}}{\overbrace{i\cdots j}}}$ は、（$r+s$）次元配列である。

例えば、$T_{\underset{2\mathrm{個}}{\underbrace{lm}}}^{\stackrel{3\mathrm{個}}{\overbrace{ijk}}}$ であれば、５次元配列であり、５つの指標で指定される場所（$i,j,k,l,m$ が１または２の数値をとる場合、全部で$2^5=32$ の場所がある）に、特定の数値が格納されている。。

以下の例では $i\mathrm{国}j\mathrm{県}k\mathrm{町}l\mathrm{丁}\mathrm{目}m\mathrm{番}\mathrm{地}$ で特定される場所に、特定の数値（例：777）が格納されている。

$$\{\begin{array}{l}1\mathrm{国}\{\begin{array}{c}1\mathrm{県}\\ 2\mathrm{県}\{\begin{array}{c}1\mathrm{町}\\ 2\mathrm{町}\{\begin{array}{c}1\mathrm{丁}\mathrm{目}\{\begin{array}{c}1\mathrm{番}\mathrm{地}\\ 2\mathrm{番}\mathrm{地}\cdots \cdots 777\end{array}\\ 2\mathrm{丁}\mathrm{目}\end{array}\end{array}\end{array}\\ 2\mathrm{国}\end{array}$$この数値が、基底のベクトル積にかけられる係数であり、$$777\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}\otimes \overrightarrow{f^2}$$となる。

このような項（係数×基底ベクトル積）が、$T_2^3(V)=V\otimes V\otimes V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }$ 空間（３階反変・２階共変のテンソル空間）の元（ベクトル、要素）の場合、合計で、$2^5=32$ 項がベクトルの加算項目として存在する。

p226　$T_s^r(V)$ のテンソル積

$$S_j^i{T}_m^{kl}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_k}\otimes \overrightarrow{e_l}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^m}$$

• 反変部分…成分の上付添え字、基底の下付き添え字（$i,k,l$）
• 共変部分…成分の下付添え字、基底の上付き添え字（$j,m$）

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§４　テンソルの縮約・縮合

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p229　縮約

$$S_j^i{T}_k\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^k}$$を添え字$i,k$ で縮約する。

①　$i=k$ となる成分を抜き出して和をとると（＝添え字を$i,k$ を $i$ で統一）、

$$S_j^i{T}_i\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^i}$$

②　$\overrightarrow{e_i},\overrightarrow{f^i}$ を落とし、$$S_j^i{T}_i\overrightarrow{f^j}$$

p229　$S$ の成分の上添え字と$T$ の成分の下添え字の縮合

問題３．１５には、直接には添え字は数値しかないが、縮約記法を用いれば、

• $S=S_j^i\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}$
• $T=T_k\overrightarrow{f^k}$

と添え字部分を文字表記できるので、

• $S$ の成分の上添え字　…$i$
• $T$ の成分の下添え字　…$k$

と解釈できる。

よって、$i,k$ の縮約を求めればよい。

すなわち、$\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{f^j}\otimes \overrightarrow{f^k}$ のうち、

①　$i=k$ となる成分を抜き出して和をとり、

②　$\overrightarrow{e_i},\overrightarrow{f^k}$ を落とせば良い。

p231　テンソルの縮合による反変次数 $r$ と共変次数 $s$ の変化

２つのテンソルが以下の次数であるとき、

• $(r,s)$
• $(r^{\prime },s^{\prime })$

これらのテンソル積の次数は、p226の定義３．１１のとおり、$$(r+r^{\prime },s+s^{\prime })$$となる。

これを縮約すると、縮約時の選択対象の基底は、$\overrightarrow{e},\overrightarrow{f}$ であるので（p229）、反変次数と共変次数が共に減少し、$$(r+r^{\prime }-1,s+s^{\prime }-1)$$の次数のテンソルとなる。

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§５　成分の書き換え

　$T_s^r(V)$ の成分の書き換え

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p233　$a_i^j$ と $b_j^i$ とは逆行列

$i,j$ の位置関係が逆になっているのは、これら行列がかけられる対象の基底等 $\overrightarrow{e_j},{\overrightarrow{f}}^j$ の添え字$j$が、各々、下付き・上付きになっていることに対応するため。（行列$A$ の$j$ 行$i$ 列の要素は$a_i^j$ であり、同様に、行列$B$ の$i$ 行$j$ 列の要素は$b_j^i$ であることは縮約記法のとおり）

ここで、基底$\overrightarrow{e_j}$ をダッシュ付き基底$\overrightarrow{e_i^{\prime }}$ へと取り換える場合、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{e_i^{\prime }}& =& a_i^j\overrightarrow{e_j}\end{array}$$とあらわされるが（$\overrightarrow{e}$ の下付き添え字$j$ を$a$ の上付き添え字$j$ で消去し、$a$ の下付き添え字$i$ を $\overrightarrow{e}$ に新たに付加するイメージ）、この両辺に、$a_i^j$ の逆行例 ${\left(a_i^j\right)}^{-1}$ を左から乗ずると、$a_i^j$ と $b_j^i$ とは逆行列なので、$$\begin{array}{rcl}{\left(a_i^j\right)}^{-1}\overrightarrow{e_i^{\prime }}& =& {\left(a_i^j\right)}^{-1}{a}_i^j\overrightarrow{e_j}\\ b_j^i\overrightarrow{e_i^{\prime }}& =& \overrightarrow{e_j}\end{array}$$となり、ダッシュ付き基底$\overrightarrow{e_i^{\prime }}$ を基底$\overrightarrow{e_j}$ へと取り換える場合の式が得られる。すなわち、

• $\overrightarrow{e_i^{\prime }}=a_i^j\overrightarrow{e_j}$
• $b_j^i\overrightarrow{e_i^{\prime }}=\overrightarrow{e_j}$

同様にして、相対基底とダッシュ付き相対基底との取り換えについても、以下の式が成立する。

• $\overrightarrow{f^{\prime i}}=b_j^i\overrightarrow{f^j}$
• $a_i^j\overrightarrow{f^{\prime i}}=\overrightarrow{f^j}$

p234　$y_i^{\prime }=a_i^j{y}_j$

これ以降、相対基底の成分 $y_j,y_i^{\prime }$ は、$x$ に下付き添え字を用い、$$x_i^{\prime }=a_i^j{x}_j$$と表記されている（p237等）。

p234　成分の書き換え（基底、相対基底）

元（ベクトル）を変えないまま、基底を変えると（$\overrightarrow{e_j}\to \overrightarrow{e_i^{\prime }}$）、成分も変更を要する（$x^j\to x^{\prime i}$）。

相対基底の変更（$\overrightarrow{f^j}\to \overrightarrow{f^{\prime i}}$）についても同様である。（$y_j\to y_i^{\prime }$）

基底 $\overrightarrow{e_j}$ の取り換え行列 $a_i^j$ は、相対基底での成分 $y_j$ の取り換え行列 $a_i^j$ と同じである（赤色部分）。このため、相対基底での成分 $y_j$ を「共変成分」と呼ぶ。青色は「反変成分」である。

p236　６行目 $x_{12}^{\prime }$

$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}^{\prime }& & x_{12}^{\prime }\\ x_{21}^{\prime }& & x_{22}^{\prime }\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_1^2\\ a_2^1& & a_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_{11}& & x_{12}\\ x_{21}& & x_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1{x}_{11}+a_1^2{x}_{21}& & a_1^1{x}_{12}+a_1^2{x}_{22}\\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\cdots & & (a_1^1{x}_{11}+a_1^2{x}_{21})a_2^1+(a_1^1{x}_{12}+a_1^2{x}_{22})a_2^2\\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\cdots & & a_1^1{a}_2^1{x}_{11}+a_2^1{a}_1^2{x}_{21}+a_1^1{a}_2^2{x}_{12}+a_1^2{a}_2^2{x}_{22}\\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\cdots & & a_1^1{a}_2^1{x}_{11}+a_1^1{a}_2^2{x}_{12}+a_2^1{a}_1^2{x}_{21}+a_1^2{a}_2^2{x}_{22}\\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}\cdots & & a_1^1{a}_2^1{x}_{11}+a_1^1{a}_2^2{x}_{12}+a_1^2{a}_2^1{x}_{21}+a_1^2{a}_2^2{x}_{22}\\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\end{array}$$行列１行目２列は、確かに、式３．０６となっている。

他の行列要素も同様。

よって、$$\begin{array}{rcl}A& =& \left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\\ & =& a_i^j\end{array}$$と置くと（$j,i$ は、１または２の値を採る止まった添え字［場合分けして分割］）、８行目の式が成立する。

p236　$x_{12}^{\prime }=a_1^k{a}_2^l{x}_{kl}$

$k,l$ は、走る添え字なので、場合分けについて和をとり、$$\begin{array}{rcl}{x}_{12}^{\prime }& =& a_1^k{a}_2^l{x}_{kl}\\ & =& a_1^1{a}_2^l{x}_{1l}+a_1^2{a}_2^l{x}_{2l}\\ & =& a_1^1{a}_2^1{x}_{11}+a_1^2{a}_2^1{x}_{21}+a_1^1{a}_2^2{x}_{12}+a_1^2{a}_2^2{x}_{22}\\ & =& a_1^1{a}_2^1{x}_{11}+a_1^1{a}_2^2{x}_{12}+a_1^2{a}_2^1{x}_{21}+a_1^2{a}_2^2{x}_{22}\end{array}$$となり、確かに、式３．０６と一致する。

他の行列要素も同様。

よって、$i,j$ を止まった添え字［分割］、$k,l$ を走る添え字［和をとる］として、$$x_{ij}^{\prime }=a_i^k{a}_j^l{x}_{kl}$$と縮約表記でまとめることができる。

同式を、$i,j$ について展開すると、$$x_{ij}^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^k{a}_1^l{x}_{kl}& & a_1^k{a}_2^l{x}_{kl}\\ a_2^k{a}_1^l{x}_{kl}& & a_2^k{a}_2^l{x}_{kl}\end{array}\right)$$である。

p237　問題３．２０　$T_1^1(V)$ の成分の書き換え

基底の取り換えを、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{e_i^{\prime }}& =& a_i^j\overrightarrow{e_j}\\ & =& a_i^k\overrightarrow{e_k}\end{array}$$と表記変えすると（$j\to k$）、基底変更・相対基底変更・テンソル積基底変更に伴う成分変更は、以下の比較表のとおり。

なお、$a_i^k=a_j^l$ であり、$b_l^j=b_k^i$ である（$i,j,k,l$ は、いずれも１または２の値をとる縮約記法の止まった添え字。掛ける相手＝$\overrightarrow{e_k},\overrightarrow{f^l},x^k,x_l$ の添え字に対応した文字列を使用したため、$a,b$ の添え字が変更されたに過ぎない）。

p238　$T_s^r(V)$ の成分の書き換え

線形空間$V$ の基底$e_i$ を、ダッシュ付き基底$e_i^{\prime }$ に取り換えると、以下の変更も同時に行われる

• 相対空間$V^{\ast }$ の基底$f^i$を、ダッシュ付き基底$f^{\prime i}$ に取り換え
• テンソル空間$T_s^r(V)$ の基底$\overrightarrow{e_i}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{e_j}\otimes \overrightarrow{f^k}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{f^l}$ を、ダッシュ付き基底 $\overrightarrow{e_i^{\prime }}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{e_j^{\prime }}\otimes \overrightarrow{f^{\prime k}}\otimes \cdots \otimes \overrightarrow{f^{\prime l}}$に取り換え
• $T_s^r(V)$ の成分 $S_{k\cdots l}^{i\cdots j}$ を、ダッシュ付き成分  $S_{k\cdots l}^{\prime i\cdots j}$ へと書き換え

添え字を、全体で合わせた比較表は、以下のとおりである。

p238　成分$S_{k\cdots l}^{i\cdots j}$

$S_{k\cdots l}^{i\cdots j}$ は、添え字の個数分の次元からなる配列である。

例えば、$S$ の添え字が以下の $i,j$ の２つである場合には、$$\begin{array}{rcl}{S}_j^i& =& \left(\begin{array}{ccc}{x}_1^1& & x_2^1\\ x_1^2& & x_2^2\end{array}\right)\\ & =& x_j^i\end{array}$$２次元配列にかかる４つの要素を指す。

これのダッシュ付き基底変換後の成分$S_j^{\prime i}$ は、$$\begin{array}{rcl}{S}_j^{\prime i}& =& b_k^i{a}_j^l{S}_l^k\end{array}$$である。

$S$の添え字が$i,j$ から$k,l$ へと変更されているのは、同じ式に属する $S^{\prime }$ の添え字と区別し、かつ、$b,a$ の各添え字に対応させたためである。$S$ 自体は同じ（$2^2=$）４要素からなる配列 $S_j^i=S_l^k$ である。

添え字$i,j$ は止まった添え字［分割］、添え字$k,l$ は走る添え字［和をとる］なので、$S_j^i$ は、実際には以下のような数値要素で構成されている。

$$\begin{array}{rcl}{S}_j^{\prime i}& =& \left(\begin{array}{ccc}{b}_k^1{a}_1^l{S}_l^k& & b_k^1{a}_2^l{S}_l^k\\ b_k^2{a}_1^l{S}_l^k& & b_k^2{a}_2^l{S}_l^k\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1{a}_1^1{S}_1^1+b_1^1{a}_1^2{S}_2^1+b_2^1{a}_1^1{S}_1^2+b_2^1{a}_1^2{S}_2^2& & \cdots \\ \cdots & & \cdots \end{array}\right)\end{array}$$

添え字が以下の $i,j,k$ の３つである場合には、行列（２次元）では表記できないが、３次元配列であり、$$\begin{array}{rcl}{S}_{jk}^i& =& x_{jk}^i\\ & =& \left(\begin{array}{c}{x}_{jk}^1\\ x_{jk}^2\end{array}\right)\\ & =& \{\begin{array}{c}{x}_{11}^1\\ x_{12}^1\\ x_{21}^1\\ x_{22}^1\\ x_{11}^2\\ x_{12}^2\\ x_{21}^2\\ x_{22}^2\end{array}\end{array}$$を表している（$2^3=$ ８要素）。

これのダッシュ付き基底変換後の成分$S_{jk}^{\prime i}$ は、$$\begin{array}{rcl}{S}_{jk}^{\prime i}& =& b_l^i{a}_j^m{a}_k^n{S}_{mn}^l\end{array}$$である（$S$の添え字が$i,j,k$ から$l,m,n$ へと変更されているのは、同じ式に属する $S^{\prime }$ の添え字と区別し、かつ、$b,a$ の各添え字に対応させたためである。$S$ 自体は同じ（$2^3=$）８要素からなる配列 $S_{jk}^i=S_{mn}^l$ である）。

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§６　成分の書き換えとテンソルの演算 

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p240　テンソルの演算

• 和：　$S+T$
• スカラー積：　$\lambda S$
• テンソル積：　$S\otimes T$
• 縮約：　$S_k^{ij}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{e_j}\otimes \overrightarrow{f^k}⟶S_j^{ij}\overrightarrow{e_i}$
• 縮合：　$S\otimes T⟶$　縮約

p241　$S_n^{\prime lm}=b_i^l{b}_j^m{a}_n^k{S}_k^{ij}$

定理３．２１より。

p241　末尾９～８行目

基底$\overrightarrow{e_i}$と相対基底$\overrightarrow{e_j^{\prime }}$の関係（p238）より

$$\overrightarrow{e_i}=b_i^j\overrightarrow{e_j^{\prime }}$$

同じ添え字は、一括して他の添え字に代えても構わないので、

• $\overrightarrow{e_i}=b_i^l\overrightarrow{e_l^{\prime }}$
• $\overrightarrow{e_j}=b_j^m\overrightarrow{e_m^{\prime }}$

としたうえ、式変形に用いている。

p242　問題３．２３　$T_1^1(V)$ の元 $S$

$T_1^1(V)$ の元は、一般には、４つの基底から構成される。$$a\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1}+b\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2}+c\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}+d\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}$$

問題文の元$S$ は、基底の係数 $b=1$ で、他の係数が、 $a,c,d=0$ のものである。

p242　６行目　中略箇所

同箇所の第１項を展開すると（ベクトルの上矢印を省略）、$$\begin{array}{rcl}(2e_1^{\prime }-e_2^{\prime })\otimes (f^{\prime 1}+2f^{\prime 2})\otimes (2f^{\prime 1}+3f^{\prime 2})& =& 2e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 2f^{\prime 1}+2e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 3f^{\prime 2}\\ & & +2e_1^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 2f^{\prime 1}+2e_1^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 3f^{\prime 2}\\ & & -e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 2f^{\prime 1}-e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 3f^{\prime 2}\\ & & -e_2^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 2f^{\prime 1}-e_2^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 3f^{\prime 2}\end{array}$$

また、同箇所の第２項を展開すると、$$\begin{array}{rcl}-2(2e_1^{\prime }-e_2^{\prime })\otimes (f^{\prime 1}+2f^{\prime 2})\otimes (f^{\prime 1}+2f^{\prime 2})& =& -4e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes f^{\prime 1}-4e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 2f^{\prime 2}\\ & & -4e_1^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes f^{\prime 1}-4e_1^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 2f^{\prime 2}\\ & & +2e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes f^{\prime 1}+2e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes 2f^{\prime 2}\\ & & +2e_2^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes f^{\prime 1}+2e_2^{\prime }\otimes 2f^{\prime 2}\otimes 2f^{\prime 2}\end{array}$$

両項を合計すると、以下の成分の係数は、いずれも０となるので、

• $e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes f^{\prime 1}$
• $e_1^{\prime }\otimes f^{\prime 2}\otimes f^{\prime 1}$
• $e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 1}\otimes f^{\prime 1}$
• $e_2^{\prime }\otimes f^{\prime 2}\otimes f^{\prime 1}$

残余の成分をまとめることで、７行目の式が得られる。

p248　６行目

$$b_j^m{a}_m^k={\delta }_j^k$$の変形箇所は、変換行列$A,B$ が互いに逆行列であるため、p121の $a_k^i{b}_j^k={\delta }_j^i$ を用いた。

また、$${\delta }_j^k{S}_k^{ij}=S_j^{ij}$$の変形箇所は、以下の通り、場合分けをした検討結果による。

すなわち、$j=1$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_1^k{S}_k^{i1}& =& {\delta }_1^1{S}_1^{i1}+{\delta }_1^2{S}_2^{i1}\\ & =& 1S_1^{i1}+0S_2^{i1}\\ & =& S_1^{i1}\end{array}$$他方で、$j=2$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_2^k{S}_k^{i2}& =& {\delta }_2^1{S}_1^{i2}+{\delta }_2^2{S}_2^{i2}\\ & =& 0S_1^{i2}+1S_2^{i2}\\ & =& S_2^{i2}\end{array}$$よって、両場合をまとめると、$${\delta }_j^k{S}_k^{ij}=S_j^{ij}$$が確認できた。

p248　$A=(a_j^i)$ が直交行列のときは、${}^{t}AA=E$

未証明。

p248　「この本では、直交基底でない場合の変換則を考える」

後述の p295 では、正規直交基底の場合の、${}^{t}AA=E$ を前提とする説明あり。

p249　相対性原理

異なる観測者（相対的）であっても、テンソル方程式による物理法則は同じ記述式となる。