一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第１章 数学の準備）

石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版

の読後の行間補充メモ

（→正誤表）

（→事項索引）

Table of Contents[hide]

• 
  
• §１　ベクトル積 
• §２　微分の方程式 
• §３　３次元の座標変換 
• §４　スカラー場、ベクトル場のイメージ 
• §５　勾配 
• §６　発散 
• §７　回転 
• §８　勾配、発散、回転の公式  
• §９　ポテンシャル 
• §１０　スカラー場の線積分 
• §１１　ベクトル場の線積分 
• §１２　曲面の面積 
• §１３　ベクトル場の面積分 
• §１４　逆２乗法則についての計算 
• §１５　波動方程式 
• §１６　ポアソン方程式 
• §１７　変分法 
• §１８　アインシュタインの縮約記法 

---

§１　ベクトル積 

---

p21　$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}$

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}& =& \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}bc-cb\\ ca-ac\\ ab-ba\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

p21　直交性

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta$とすると、両ベクトルの内積が$0$のとき、

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& =& 0\\ |a||b|\cos \theta & =& 0\\ \cos \theta & =& 0\\ \theta & =& \frac{\pi }{2}\end{array}$$

p23　$\overrightarrow{e_x}\cdot \overrightarrow{c}$

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{e_x}\cdot \overrightarrow{c}& =& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{c}_x\\ c_y\\ c_z\end{array}\right)\\ & =& 1\times c_x+0\times c_y+0\times c_z\\ & =& c_x\end{array}$$

p23　$\overrightarrow{e_x}\times \overrightarrow{b}$

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{e_x}\cdot \overrightarrow{b}& =& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\times b_z-0\times b_y\\ 0\times b_x-1\times b_z\\ 1\times b_y-0\times b_x\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ -b_z\\ b_y\end{array}\right)\end{array}$$

---

§２　微分の方程式 

---

p26～p27　${(\overrightarrow{a(t)}\times \overrightarrow{b(t)})}^{\prime }$の$x$ 成分(１行目成分の趣旨)

$$\begin{array}{rcl}{(\overrightarrow{a(t)}\times \overrightarrow{b(t)})}^{\prime }& =& {(\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\alpha (t)\\ \beta (t)\\ \gamma (t)\end{array}\right))}^{\prime }\\ & =& {\left(\begin{array}{c}y(t)\gamma (t)-z(t)\beta (t)\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)}^{\prime }\\ & =& \left(\begin{array}{c}{(y(t)\gamma (t)-z(t)\beta (t))}^{\prime }\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{(y(t)\gamma (t))}^{\prime }-{(z(t)\beta (t))}^{\prime }\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\end{array}$$これは、同頁３行目のように、$\overrightarrow{a^{\prime }(t)}\times \overrightarrow{b(t)}+\overrightarrow{a(t)}\times \overrightarrow{b^{\prime }(t)}$ の１行目成分と一致する。

p28　${\cos }^{2}t\sin t+2\sin t$ の微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt}({\cos }^{2}t\sin t+2\sin t)& =& \frac{d}{dt}({\cos }^{2}t\sin t)+2\frac{d}{dt}\sin t\\ & =& \frac{d}{dt}({\cos }^{2}t)\sin t+{\cos }^{2}t\frac{d}{dt}\sin t+2\frac{d}{dt}\sin t\end{array}$$ここで、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt}{\cos }^{2}t& =& \frac{d}{dt}(\cos t\cos t)\\ & =& \frac{d}{dt}(\cos t)\cos t+\cos t\frac{d}{dt}\cos t\\ & =& 2\cos t\frac{d}{dt}\cos t\\ & =& 2\cos t(-\sin t)\end{array}$$なので、与式は、$$\begin{array}{rcl}& =& 2\cos t(-\sin t)\sin t+{\cos }^{2}t\cos t+2\cos t\end{array}$$となる。

---

§３　３次元の座標変換 

---

p31　$\overrightarrow{OP}$

$x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$座標における点$P$の座標値が$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ であるとき、$\overrightarrow{OP}$ を同座標で表わすと、

$$\overrightarrow{OP}=x^{\prime }\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+y^{\prime }\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+z^{\prime }\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

他方、$\overrightarrow{OP}$ を$(x,y,z)$座標で表わすと、

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{OP}& =& x^{\prime }\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+y^{\prime }\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)+z^{\prime }\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{a}_1{x}^{\prime }+b_1{y}^{\prime }+c_1{z}^{\prime }\\ a_2{x}^{\prime }+b_2{y}^{\prime }+c_2{z}^{\prime }\\ a_3{x}^{\prime }+b_3{y}^{\prime }+c_3{z}^{\prime }\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$$

p33　直交変換と内積保存

$\overrightarrow{a^{\prime }},\overrightarrow{b^{\prime }}$ の内積は、$$\left(\begin{array}{c}{a}_1^{\prime }\\ a_2^{\prime }\\ a_3^{\prime }\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1^{\prime }\\ b_2^{\prime }\\ b_3^{\prime }\end{array}\right)=a_1^{\prime }{b}_1^{\prime }+a_2^{\prime }{b}_2^{\prime }+a_3^{\prime }{b}_3^{\prime }$$$a^{\prime }$ の転置行列　${}^t\overrightarrow{a^{\prime }}$ と$\overrightarrow{b^{\prime }}$ の積は、$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^{\prime }& a_2^{\prime }& a_3^{\prime }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1^{\prime }\\ b_2^{\prime }\\ b_3^{\prime }\end{array}\right)=a_1^{\prime }{b}_1^{\prime }+a_2^{\prime }{b}_2^{\prime }+a_3^{\prime }{b}_3$$

p33　ベクトル$\overrightarrow{a}$ の大きさ

$\overrightarrow{a}$どうしのなす角度は０度であるから、$\overrightarrow{a}$どうしの内積は、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}& =& |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|\cos \theta \\ & =& |\overrightarrow{a}{|}^2\cos 0\\ & =& |\overrightarrow{a}{|}^2\end{array}$$よって、ベクトルの大きさは、$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}}$$として内積の平方根で表わされる。

---

§４　スカラー場、ベクトル場のイメージ 

---

p35　速度ベクトル

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{V}& =& \left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\\ V_z\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{V}_x(x,y,z)\\ V_y(x,y,z)\\ V_z(x,y,z)\end{array}\right)\end{array}$$

例えば、$V_x$ は、$x$ 軸方向の速さ $\left[\frac{m}{s}\right]$ を示す。

その値が、座標 （$x,y,z$ ）によって異なるので、$V_x$ は、３変数$x,y,z$ の関数である。

$y,z$ 軸の方向の速さ $V_y,V_z$ についても、同様。

---

§５　勾配 

---

p36　$f(x,y,z)=e^x\cos (yz)$ の勾配

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{grad}f& =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)\end{array}$$この行列の１行目は、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x}& =& \frac{\partial }{\partial x}{e}^x\cos (yz)\\ & =& \cos (yz)\frac{\partial }{\partial x}{e}^x\\ & =& \cos (yz)e^x\end{array}$$行列の２行目は、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial y}& =& \frac{\partial }{\partial y}{e}^x\cos (yz)\\ & =& e^x\frac{\partial }{\partial y}\cos (yz)\\ & =& e^x\frac{\partial }{\partial (yz)}\cos (yz)\frac{\partial }{\partial y}(yz)\\ & =& e^x(-\sin (yz))z\end{array}$$行列の３行目は、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial z}& =& \frac{\partial }{\partial z}{e}^x\cos (yz)\\ & =& e^x\frac{\partial }{\partial z}\cos (yz)\\ & =& e^x\frac{\partial }{\partial (yz)}\cos (yz)\frac{\partial }{\partial z}(yz)\\ & =& e^x(-\sin (yz))y\end{array}$$したがって、行列全体は、$$\begin{array}{rcl}\mathrm{grad}f& =& \left(\begin{array}{c}{e}^x\cos (yz)\\ -z{e}^x\sin (yz)\\ -y{e}^x\sin (yz)\end{array}\right)\end{array}$$

p40　$\mathrm{grad}$ の性質

与式を、２つのベクトル$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)$$及び

$$\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$

の内積と捉えて式変形をすると、両ベクトルのなす角は、$\theta -\alpha$であるから、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta & =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\\ & =& \left|\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\right|\left|\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\right|\cos (\theta -\alpha )\end{array}$$となる。ここで、p39 の式

$$\left|\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)\right|=1$$を用いると、与式は、

$$\begin{array}{rcl}& =& \left|\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\right|\cos (\theta -\alpha )\\ & =& |\mathrm{grad}f|\cos (\theta -\alpha )\end{array}$$となるので、$\theta -\alpha =0$ のときに最大値$|\mathrm{grad}f|$ をとる。

---

§６　発散 

---

p41　$\mathrm{div}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$

ナブラ $\mathrm{\nabla }$ を、以下のように捉えると、

$$\mathrm{\nabla }=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\\ \frac{\partial }{\partial y}\\ \frac{\partial }{\partial z}\end{array}\right)$$

発散は、ナブラ$\mathrm{\nabla }$ とベクトル$\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$ の内積として把握される。

---

§７　回転 

---

p55　転置行列

一般に、行列$A,B$に対して公式$${}^t(AB){=}^{t}B{}^{t}A$$が成り立つ。２行２列行列の場合として、$$\begin{array}{rcl}A& =& \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\\ B& =& \left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)\end{array}$$を考えると、公式の左辺は、$$\begin{array}{rcl}{}^t(AB)& =& {}^t\left(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)\right)\\ & =& {}^t\left(\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}ae+bg& ce+dg\\ af+bh& cf+dh\end{array}\right)\end{array}$$となり、公式の右辺は、$$\begin{array}{rcl}{}^{t}B{}^{t}A& =& {}^t\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right){}^t\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}e& g\\ f& h\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cc}ea+gb& ec+gd\\ fa+hb& fc+hd\end{array}\right)\end{array}$$となり、確かに、左辺と右辺が等しい。

ｐ55　${}^t{P}^{\prime }$

$$\begin{array}{rcl}{}^t(UP{}^{t}U)& =& {}^t{(}^{t}U){}^t(UP)\\ & =& {}^t{(}^{t}U){}^{t}P{}^{t}U\\ & =& U{}^{t}P{}^{t}U\end{array}$$

---

§８　勾配、発散、回転の公式  

---

p64　ラプラシアン

本書での記号は、$$\mathrm{\Delta }$$

他の表現としては、$${\mathrm{\nabla }}^2$$

---

§９　ポテンシャル 

---

p65　$\frac{\partial g(x,y,z)}{\partial x}$

$$g(x,y,z)={\int }_a^x{A}_x(t,y,z)dt+{\int }_b^y{A}_y(a,t,z)dt+{\int }_c^z{A}_z(a,b,t)dt$$は、第１項が$x$の関数となり、第２項及び第３項は$x$との関係では定数であるから、$A_x(t,y,z)$の原始関数を$A_t$とすると、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial g(x,y,z)}{\partial x}& =& \frac{\partial }{\partial x}{\int }_a^x{A}_x(t,y,z)dt\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}{\left[A_t\right]}_a^x\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}([A_t{]}^x-[A_t{]}_a)\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}[A_t{]}^x\\ & =& A_x(x,y,z)\end{array}$$

---

§１０　スカラー場の線積分 

---

p69　曲線の弧長

三平方の定理より、微小三角形の各辺$ds,dx,dy$について、$$\begin{array}{rcl}d{s}^2& =& d{x}^2+d{y}^2\\ ds& =& \sqrt{d{x}^2+d{y}^2}\\ \frac{ds}{dt}& =& \sqrt{\frac{d{x}^2+d{y}^2}{d{t}^2}}\\ & =& \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}\end{array}$$の関係が成立するから、この両辺を$t$で積分すると、$$\begin{array}{rcl}\int \left(\frac{ds}{dt}\right)dt& =& \int \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt\\ s& =& \int \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt\end{array}$$となり、パラメータ$t$を$\alpha$から$\beta$へと変化させた場合の曲線の弧長は、この定積分として、以下のようになる。$$\begin{array}{}& s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt\end{array}$$

p70　${\sin }^3\theta$の微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{d\theta }{\sin }^3\theta & =& \frac{d}{d\sin \theta }{\sin }^3\theta \frac{d}{d\theta }\sin \theta \\ & =& 3{\sin }^2\theta \cos \theta \end{array}$$

---

§１１　ベクトル場の線積分 

---

p71　曲線$C$

三次元上の曲線$$C=\left(\begin{array}{c}f\\ g\\ h\end{array}\right)$$を想定。

---

§１２　曲面の面積 

---

p79　$T(\theta ,\phi )$ の偏微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial \theta }T(\theta ,\phi )& =& \frac{\partial }{\partial \theta }\left(\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \phi \\ r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}r\cos \theta \cos \phi \\ r\cos \theta \sin \phi \\ -r\sin \theta \end{array}\right)\end{array}$$同様に、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial \phi }T(\theta ,\phi )& =& \frac{\partial }{\partial \phi }\left(\begin{array}{c}r\sin \theta \cos \phi \\ r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}-r\sin \theta \sin \phi \\ r\cos \theta \cos \phi \\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

p83 ３～４行目

$$\begin{array}{rcl}(\cos \theta \cos \phi )(\sin \theta \cos \phi )-(\sin \theta \sin \phi )(\cos \theta \sin \phi )& =& \cos \theta \sin \theta {\cos }^2\phi +\sin \theta \cos \theta {\sin }^2\phi \\ & =& \cos \theta \sin \theta ({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )\\ & =& \cos \theta \sin \theta \end{array}$$

p83　末尾行

$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

において、$\alpha =\beta =\theta$となる$\theta$を考えると、

$$\begin{array}{rcl}\sin 2\theta & =& 2\sin \theta \cos \theta \\ \frac{1}{2}\sin 2\theta & =& \sin \theta \cos \theta \end{array}$$なので、p83 末尾行の前半括弧部分は、$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \sin \theta d\theta & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\sin 2\theta d\theta \\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin 2\theta d\theta \end{array}$$となる。ここで、$\sin 2\theta$の原始関数を考えるに、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{d\theta }\cos 2\theta & =& \frac{d}{d(2\theta )}\cos 2\theta \times \frac{d}{d\theta }2\theta \\ & =& (-\sin 2\theta )\times 2\\ -\frac{1}{2}\cos 2\theta & =& \sin 2\theta \end{array}$$であるから、与式（p83 末尾行の前半括弧部分）は、以下のようになる。$$\begin{array}{rcl}& =& \frac{1}{2}{[-\frac{1}{2}\cos 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =& -\frac{1}{4}{[\cos 2\theta ]}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =& -\frac{1}{4}(\cos \pi -\cos 0)\\ & =& -\frac{1}{4}(-1-1)\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$

---

§１３　ベクトル場の面積分 

---

p84　ベクトル場の面積分

p86　１～２行目　${\sin }^{2}t$

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$において、$\alpha =\beta =t$となる$t$を考えると、$$\begin{array}{rcl}\cos 2t& =& {\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t\\ & =& {\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t-2{\sin }^{2}t\\ & =& 1-2{\sin }^{2}t\\ 2{\sin }^{2}t& =& 1-\cos 2t\\ {\sin }^{2}t& =& \frac{1}{2}(1-\cos 2t)\end{array}$$

p86　２～３行目　$\cos 2t$　の積分

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dt}\sin 2t& =& \frac{d}{d(2t)}\sin 2t\times \frac{d}{dt}2t\\ & =& \cos 2t\times 2\end{array}$$よって、$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }\cos 2t& =& {[\frac{1}{2}\sin 2t]}_0^{2\pi }\\ & =& \frac{1}{2}(\sin 4\pi -\sin 0)\\ & =& \frac{1}{2}(0-0)\\ & =& 0\end{array}$$

p86　$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{rot}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x})& =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial y}(y+z^2)-\frac{\partial }{\partial z}(xz)\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}1-x\\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\end{array}$$

p87　${\int }_0^{2\pi }\cos \phi d\phi =0$

$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }\cos \phi d\phi & =& {[\sin \phi ]}_0^{2\pi }\\ & =& \sin 2\pi -\sin 0\\ & =& 0-0\\ & =& 0\end{array}$$

p87　${\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi$

$$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$$において、$\alpha =\beta =t$となる$t$を考えると、$$\begin{array}{rcl}\cos 2t& =& {\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t\\ & =& {\cos }^{2}t-(1-{\cos }^{2}t)\\ & =& 2{\cos }^{2}t-1\\ \cos 2t+1& =& 2{\cos }^{2}t\\ \frac{1}{2}(\cos 2t+1)& =& {\cos }^{2}t\end{array}$$よって、$$\begin{array}{rcl}{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\phi d\phi & =& {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{2}(1+\cos 2\phi )d\phi \\ & =& \frac{1}{2}{[\phi +\frac{1}{2}\sin 2\phi ]}_0^{2\pi }\\ & =& \frac{1}{2}(2\pi +\frac{1}{2}\sin 4\pi -(0+\frac{1}{2}\sin 0))\\ & =& \frac{1}{2}(2\pi +0-(0+0))\\ & =& \pi \end{array}$$

p87　$\int {\int }_{S_2}\mathrm{rot}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n_2}dS$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\{-\pi {\sin }^2\theta +2\pi ({\cos }^2\theta -\cos \theta )\}\sin \theta d\theta$$において、$$\begin{array}{rcl}-\pi {\sin }^2\theta +2\pi ({\cos }^2\theta -\cos \theta )& =& -\pi {\sin }^2\theta +2\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta \\ & =& -\pi (1-{\cos }^2\theta )+2\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta \\ & =& -\pi +\pi {\cos }^2\theta +2\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta \\ & =& 3\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta -\pi \end{array}$$であるので、与式は、$$={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(3\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta -\pi )\sin \theta d\theta$$となる。ここで、置換積分をするため、$$t=\cos \theta$$とおくと、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{d\theta }t& =& \frac{d}{d\theta }\cos \theta \\ & =& -\sin \theta \\ -dt& =& \sin \theta d\theta \end{array}$$であり、また、$$\theta :0\to \frac{\pi }{2}$$のとき、$$t:1\to 0$$と変化するから、与式は、以下のように解を得られる。$$\begin{array}{rcl}& =& -{\int }_1^0(3\pi t^2-2\pi t-\pi )dt\\ & =& -\pi {\int }_1^0(3t^2-2t-1)dt\\ & =& -\pi {[t^3-t^2-t]}_1^0\\ & =& -\pi \{0-0-0-(1^3-1^2-1)\}\\ & =& -\pi \end{array}$$なお、明示の置換積分をしない場合でも、$$\sin \theta =-\frac{d\cos \theta }{d\theta }$$であることから、与式は、以下のように変形して、同じ解を得られる。$$\begin{array}{rcl}& =& -{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(3\pi {\cos }^2\theta -2\pi \cos \theta -\pi )\frac{d\cos \theta }{d\theta }d\theta \\ & =& -\pi {\int }_{\cos 0}^{\cos \frac{\pi }{2}}(3{\cos }^2\theta -2\cos \theta -1)d\cos \theta \\ & =& -\pi {[{\cos }^3\theta -{\cos }^2\theta -\cos \theta ]}_{\cos 0}^{\cos \frac{\pi }{2}}\\ & =& -\pi \{0^3-0^2-0-(1^3-1^2-1)\}\\ & =& -\pi \end{array}$$

p89　法線ベクトル

右手系の座標系において、直角三角形$C$ を反時計回りに回る場合を考えるので、法線ベクトルの定義より、$$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

p89　$\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{rot}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}& =& \left(\begin{array}{c}\cdots \\ \cdots \\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\\ & =& \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{array}$$

p90　三角形$EFG,EGH,EFH$

$$\begin{array}{rcl}{C}_1& =& \overrightarrow{EFG}\\ D_{+}& =& \overrightarrow{GE}\\ C_2& =& \overrightarrow{GHE}\\ D_{-}& =& \overrightarrow{EG}\end{array}$$

p91　面積分$dS$、体積分$dV$

$$\begin{array}{rcl}{\int }_S\cdots dS& =& \int \int \cdots dudv\\ {\int }_V\cdots dV& =& \int \int \int \cdots dxdydz\end{array}$$

p93　領域$V$の境界$S$

領域$S_1$の$y$軸方向から見た接線ベクトルは、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \overrightarrow{S_1}}{\partial x}& =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial x}\\ \frac{\partial y}{\partial x}\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_x\end{array}\right)\end{array}$$同様に、$x$軸方向から見た接線ベクトルは、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \overrightarrow{S_2}}{\partial y}& =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial y}\\ \frac{\partial y}{\partial y}\\ \frac{\partial g(x,y)}{\partial y}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_y\end{array}\right)\end{array}$$よって、両接線ベクトルの外積は、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial \overrightarrow{S_1}}{\partial x}\times \frac{\partial \overrightarrow{S_2}}{\partial y}& =& \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ f_x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ f_y\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}0\times f_y-f_x\times 1\\ f_x\times 0-1\times f_y\\ 1\times 1-0\times 0\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}-f_x\\ -f_y\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$となる。右手系の座標系において、この外積の方向は、p21 のとおり両接線ベクトルに直交し、かつ、右ねじの進む方向であるので、法線ベクトル$\overrightarrow{n_1}$ の方向と同じである。

p93　${\int }_T$

$x,y$ の二重積分を、$${\int }_T$$と表記している。

p94　$\mathrm{div}\overrightarrow{A}=0$のとき面積分は一定

$$\mathrm{div}\overrightarrow{A}=0$$のとき、これを閉空間で積算しても、$0$ であるから、$${\int }_V\mathrm{div}\overrightarrow{A}dV=0$$が成立する。ガウスの発散定理より、$${\int }_S\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}dS={\int }_V\mathrm{div}\overrightarrow{A}dV$$が成立するので、$$\begin{array}{rcl}{\int }_S\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n}dS& =& 0\end{array}$$となる。ここで、左辺を、閉曲線$C$で上下に分割すると、$$\begin{array}{rcl}{\int }_{S_1}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_1}dS+{\int }_{S_2}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_2^{\prime }}dS& =& 0\\ {\int }_{S_1}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_1}dS& =& -{\int }_{S_2}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_2^{\prime }}dS\\ {\int }_{S_1}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_1}dS& =& {\int }_{S_2}\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{n_2}dS\end{array}$$となり、上下の曲面にかかる面積分は、値が等しい。

---

§１４　逆２乗法則についての計算 

---

p95　$\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}$

ここで、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}& =& \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}x-a\\ y-b\\ z-c\end{array}\right)\end{array}$$

であるので、$$\begin{array}{rcl}|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}|& =& \sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}\\ & =& {\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$である。よって、

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}& =& \frac{\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}}{{|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}|}^3}\\ & =& \left(\begin{array}{c}\frac{x-a}{{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ \frac{y-b}{{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\\ \frac{z-c}{{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\end{array}\right)\end{array}$$となる。

p96　$A_x$の$x$による偏微分

$$h(x)\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$と置くと、$$\begin{array}{rcl}{A}_x& =& (x-a){\left(\frac{1}{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =& (x-a){\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$の微分$\frac{\partial A_x}{\partial x}$は、関数の積の微分公式（p26）$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$を用いて、以下のように変形できる。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_x}{\partial x}& =& \frac{\partial }{\partial x}((x-a){\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}})\\ & =& \frac{\partial (x-a)}{\partial x}{\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}+(x-a)\frac{\partial }{\partial x}{\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =& 1\cdot {\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}+(x-a)\frac{\partial }{\partial x}{\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$ここで、右辺第２項の偏微分の部分は、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x}{\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}& =& \frac{\partial }{\partial x}h(x)\times \frac{\partial }{\partial (h(x))}{\left(\frac{1}{h(x)}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}\times \frac{\partial }{\partial (h(x))}h(x{)}^{-\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}(x^2-2ax+\cdots )\times \frac{-3}{2}h(x{)}^{-\frac{3}{2}-1}\\ & =& (2x-2a)\times \frac{-3}{2}h(x{)}^{-\frac{5}{2}}\\ & =& 2(x-a)\times \frac{-3}{2}\frac{1}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}\\ & =& -\frac{3}{2}\frac{1}{h(x)\frac{5}{2}}2(x-a)\end{array}$$となるので、$\frac{\partial A_x}{\partial x}$は、以下のとおり整理できる。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_x}{\partial x}& =& 1\times \frac{1}{h(x{)}^{\frac{3}{2}}}+(x-a)(-\frac{3}{2})\frac{1}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}2(x-a)\\ & =& \frac{h(x)}{h(x)\times h(x{)}^{\frac{3}{2}}}-\frac{3(x-a{)}^2}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}\\ & =& \frac{h(x)}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a{)}^2}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}\end{array}$$

p96　$\mathrm{div}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}=0$

上述のとおり、$$h(x)\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$と置くと、$$\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{h(x)}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a{)}^2}{h(x{)}^{\frac{5}{2}}}$$と整理できる。$h(x)$は、$x-a,y-b,z-c$ に関して同じ形をしているので、$$H\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$と置くと、以下のように整理できる。

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_x}{\partial x}& =& \frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a{)}^2}{H^{\frac{5}{2}}}\\ \frac{\partial A_y}{\partial y}& =& \frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(y-b{)}^2}{H^{\frac{5}{2}}}\\ \frac{\partial A_z}{\partial z}& =& \frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(z-c{)}^2}{H^{\frac{5}{2}}}\end{array}$$これらの３式を合計すると、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}& =& 3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-3\frac{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}{H^{\frac{5}{2}}}\\ \mathrm{div}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}& =& 3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}\\ & =& 0\end{array}$$となる。

p96　$A_z$の$y$による偏微分

$$H\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$と置くと、$$\begin{array}{rcl}{A}_z& =& (z-c){\left(\frac{1}{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =& (z-c){\left(\frac{1}{H}\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$の微分$\frac{\partial A_z}{\partial y}$は、$(z-c)$ が $y$ との関係では定数であるから、以下のようになる。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_z}{\partial y}& =& \frac{\partial }{\partial y}((z-c){\left(\frac{1}{H}\right)}^{\frac{3}{2}})\\ & =& (z-c)\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{1}{H}\right)}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$ここで、偏微分の部分は、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial y}{\left(\frac{1}{H}\right)}^{\frac{3}{2}}& =& \frac{\partial }{\partial y}H\times \frac{\partial }{\partial H}{\left(\frac{1}{H}\right)}^{\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial y}\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}\times \frac{\partial }{\partial H}{H}^{-\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial y}(y^2-2by+\cdots )\times \frac{-3}{2}{H}^{-\frac{3}{2}-1}\\ & =& (2y-2b)\times \frac{-3}{2}{H}^{-\frac{5}{2}}\\ & =& 2(y-b)\times \frac{-3}{2}\frac{1}{H^{\frac{5}{2}}}\\ & =& -\frac{3}{2}\frac{1}{H^{\frac{5}{2}}}2(y-b)\\ & =& -\frac{3(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\end{array}$$となるので、$\frac{\partial A_z}{\partial y}$は、以下のとおり整理できる。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_z}{\partial y}& =& (z-c)\times \frac{-3(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\\ & =& -\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\end{array}$$

p96　$\mathrm{rot}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}=0$

$$H\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$は、$x-a,y-b,z-c$ に関して同じ形をしているので、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_z}{\partial y}& =& -\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\\ \frac{\partial A_y}{\partial z}& =& -\frac{3(y-b)(z-c)}{H^{\frac{5}{2}}}\end{array}$$上式から下式を引くと、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}& =& -\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}+\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\\ & =& 0\end{array}$$同様にして、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}& =& 0\\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}& =& 0\end{array}$$これら３式をまとめると、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\\ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{array}\right)& =& 0\\ \mathrm{rot}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}& =& 0\end{array}$$

p97　$\frac{\partial f}{\partial x}$

$$H\equiv (x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2$$とおくと、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x}& =& \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{1}{2}}}\right)\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}\frac{1}{H^{\frac{1}{2}}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}H\times \frac{\partial }{\partial H}\frac{1}{H^{\frac{1}{2}}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}\times \frac{\partial }{\partial H}{H}^{-\frac{1}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}(x^2-2ax+\cdots )\times (-\frac{1}{2})H^{-\frac{1}{2}-1}\\ & =& (2x-2a)\times (-\frac{1}{2})H^{-\frac{3}{2}}\\ & =& -(x-a)H^{-\frac{3}{2}}\\ & =& \frac{-(x-a)}{H^{\frac{3}{2}}}\\ & =& \frac{-(x-a)}{{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}^{\frac{3}{2}}}\end{array}$$と変形できる。

そして、$\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$ の $x$ 成分 $A_x$ は、$$A_x=\frac{x-a}{\{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2\}}$$なので、$$\frac{\partial f}{\partial x}=-A_x$$である。

p97　$\mathrm{grad}f(\overrightarrow{x})=-\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=-A_x$$と同様の計算で、$$\frac{\partial f}{\partial y}=-A_y$$ $$\frac{\partial f}{\partial z}=-A_z$$が言えるので、これら３式をまとめると、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}-A_x\\ -A_y\\ -A_z\end{array}\right)\\ \mathrm{grad}f(\overrightarrow{x})& =& -\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}\end{array}$$

p97　$\mathrm{\Delta }f(\overrightarrow{x})=0$

ラプラシアン $\mathrm{\Delta }$ の定義（p61）より、$$\mathrm{\Delta }f(\overrightarrow{x})=\mathrm{div}\mathrm{grad}f(\overrightarrow{x})$$ また、上述のとおり、$$\mathrm{grad}f(\overrightarrow{x})=-\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$$であるから、$$\mathrm{\Delta }f(\overrightarrow{x})=-\mathrm{div}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}$$となる。ここで、上述（p96）のとおり、$$\mathrm{div}\overrightarrow{A(\overrightarrow{x})}=0$$であるので、$$\mathrm{\Delta }f(\overrightarrow{x})=0$$が成立する。

p97　$\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}$ の面積分（$D$ が $\overrightarrow{a}$ を含むとき）

$S$ 上の $\overrightarrow{x}$ では、$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}|=r$ なので、$$\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}\cdot \overrightarrow{n(\overrightarrow{x})}=\frac{1}{r^2}$$

半径$r$の球の表面積は、$4\pi r^2$ なので、$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{r^2}{\int }_{S}dS& =& \frac{1}{r^2}\cdot 4\pi r^2\\ & =& 4\pi \end{array}$$

p98　$\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}$ の面積分（$D$ が $\overrightarrow{a}$ を含まないとき）

ガウスの発散定理（公式１．３３（９１頁））より、$${\int }_S\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}\cdot \overrightarrow{n(\overrightarrow{x})}dS={\int }_D\mathrm{div}\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}dV$$ここで、右辺の被積分部分は、公式１．３５（９５頁）より、$$\mathrm{div}\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}=0$$である。よって、その領域$D$ 内の体積分の値$${\int }_D\mathrm{div}\overrightarrow{F(\overrightarrow{x})}dV$$も、０である。

---

§１５　波動方程式 

---

p99　末尾２行目　二変数関数の偏微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial x}{\partial y}& =& \frac{\partial }{\partial y}\{\frac{1}{2}(y+z)\}\\ & =& \frac{1}{2}\end{array}$$同様に、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial t}{\partial y}& =& \frac{\partial }{\partial y}\{\frac{1}{2c}(y-z)\}\\ & =& \frac{1}{2c}\end{array}$$

p100～101　$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z}\varphi (x,t)=0$の積分

$$\varphi (x,t)=\int h(z)dz+f(y)$$を$z$ で偏微分すると、$f(y)$は、$z$との関係では定数であるから、$$\frac{\partial }{\partial z}\varphi (x,t)=h(z)$$これを更に$y$ で偏微分すると、$h(z)$は、$y$との関係では定数であるから、$$\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial }{\partial z}\varphi (x,t)=0$$となっている。同式を、$y$ で積分すると、右辺は定数とは限らず、$y$ との関係で定数となるような関数 $h(z)$ も含まれる。$h(z)$ の特殊形のひとつが定数であるので、一般に、$h(z)$ で積分後の右辺を表記できる。

p101　$y=g(x-ct)$

同式の$y$ は縦軸の趣旨。

p99 で変数変換をした $y$ とは無関係。

p102　$\varphi (\overrightarrow{x},t)$ の$x$ 二階微分

$$u=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha$$とおくと、

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\{C\sin (\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\}\\ & =& \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}(C\sin u)\\ & =& C\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial x}\sin u\\ & =& C\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial }{\partial x}u\times \frac{\partial }{\partial u}\sin u)\\ & =& C\frac{\partial }{\partial x}(\frac{\partial }{\partial x}u\times \cos u)\end{array}$$ここで、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x}u& =& \frac{\partial }{\partial x}(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x})\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}\{\left(\begin{array}{c}{k}_x\\ k_y\\ k_z\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x}(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)\\ & =& k_x\end{array}$$なので、与式は、$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& C\frac{\partial }{\partial x}(k_x\cos u)\\ & =& k_{x}C\frac{\partial }{\partial x}\cos u\\ & =& k_{x}C\frac{\partial }{\partial x}u\times \frac{\partial }{\partial u}\cos u\\ & =& k_{x}C\frac{\partial }{\partial x}u\times (-\sin u)\\ & =& k_{x}C{k}_x\times (-\sin u)\\ & =& -k_x^{2}C\sin u\\ & =& -k_x^{2}C\sin (\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\\ & =& -k_x^2\varphi (\overrightarrow{x},t)\end{array}$$となる。

同様に、$\varphi (\overrightarrow{x},t)$ の$y$ 二階微分、$\varphi (\overrightarrow{x},t)$ の$z$ 二階微分も、以下のようになる。$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& -k_y^2\varphi (\overrightarrow{x},t)\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& -k_z^2\varphi (\overrightarrow{x},t)\end{array}$$

p102　$\varphi (\overrightarrow{x},t)$ の$t$ 二階微分

$$u=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha$$とおくと、

$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\{C\sin (\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\}\\ & =& \frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(C\sin u)\\ & =& C\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial }{\partial t}\sin u\\ & =& C\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}u\times \frac{\partial }{\partial u}\sin u)\\ & =& C\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}u\times \cos u)\end{array}$$ここで、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial t}u& =& \frac{\partial }{\partial t}(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\\ & =& \frac{\partial }{\partial t}(-ct)\\ & =& -c\end{array}$$なので、与式は、$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (\overrightarrow{x},t)& =& C\frac{\partial }{\partial t}(-c\cos u)\\ & =& -cC\frac{\partial }{\partial t}\cos u\\ & =& -cC\frac{\partial }{\partial t}u\times \frac{\partial }{\partial u}\cos u\\ & =& -cC\frac{\partial }{\partial t}u\times (-\sin u)\\ & =& -cC(-c)\times (-\sin u)\\ & =& -c^{2}C\sin u\\ & =& -c^{2}C\sin (\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}-ct+\alpha )\\ & =& -c^2\varphi (\overrightarrow{x},t)\end{array}$$となる。

p102～p103　$\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}$

図形的には、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{x}& =& |\overrightarrow{k}||\overrightarrow{x}|\cos \theta \\ & =& 1|\overrightarrow{x}|\cos \theta \\ & =& |\overrightarrow{x}|\cos \theta \end{array}$$なので、$\overrightarrow{x}$ の$\overrightarrow{k}$ 軸への影。

---

§１６　ポアソン方程式 

---

ｐ104　$R^3$

実３次元数空間。

$R^2$ は平面であり、$R^3$は空間を指す。

p106　$\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}$ の $x_1$ 偏微分

$$u=|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|$$とおくと、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{1}{u^{1-\alpha }}\right)\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}{u}^{\alpha -1}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}u\times \frac{\partial }{\partial u}{u}^{\alpha -1}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|\times (\alpha -1)u^{\alpha -2}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\left|\left(\begin{array}{c}{y}_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\end{array}\right)\right|\times (\alpha -1)\frac{1}{u^{2-\alpha }}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}\times (\alpha -1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{2-\alpha }}\end{array}$$となるところ、このうち、前半部分（$x_1$ による偏微分の箇所）は、ルートの中を$v$ と置いて整理すると、以下のようになるので、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\sqrt{v}& =& \frac{\partial }{\partial x_1}v\times \frac{\partial }{\partial v}{v}^{\frac{1}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2\}\times \frac{1}{2}{v}^{-\frac{1}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}(y_1^2-2y_1{x}_1+x_1^2+\cdots )\times \frac{1}{2}\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}\\ & =& (-2y_1+2x_1)\times \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{v}}\\ & =& (-y_1+x_1)\frac{1}{\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}}\\ & =& (-y_1+x_1)\frac{1}{\left|\left(\begin{array}{c}{y}_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\end{array}\right)\right|}\\ & =& (-y_1+x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\end{array}$$与式は、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)& =& (-y_1+x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\times (\alpha -1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{2-\alpha }}\\ & =& (-y_1+x_1)(\alpha -1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\\ & =& (1-\alpha )(y_1-x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\end{array}$$となる。

p106　$\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}$ の $x_1$ ２階偏微分

１階偏微分の結果を用いると、$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\left\{\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)\right\}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\{(1-\alpha )(y_1-x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{\partial }{\partial x_1}\{(y_1-x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\}\end{array}$$である。ここで、$$u=|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|$$とおくと、上記式の$(1-\alpha )$より右側は、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\{(y_1-x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\}& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\{(y_1-x_1)\frac{1}{u^{3-\alpha }}\}\\ & =& (y_1-x_1)\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha }}+\frac{1}{u^{3-\alpha }}\frac{\partial }{\partial x_1}(y_1-x_1)\\ & =& (y_1-x_1)\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha }}+\frac{1}{u^{3-\alpha }}(-1)\end{array}$$となるところ、同式における$\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha }}$ 部分は、以下のようになるので、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha }}& =& \frac{\partial }{\partial x_1}u\times \frac{\partial }{\partial u}{u}^{\alpha -3}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|\times (\alpha -3)u^{\alpha -4}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}\times (\alpha -3)\frac{1}{u^{4-\alpha }}\\ & =& (-y_1+x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\times (\alpha -3)\frac{1}{u^{4-\alpha }}\\ & =& (-y_1+x_1)\frac{1}{u}\times (\alpha -3)\frac{1}{u^{4-\alpha }}\\ & =& (3-\alpha )(y_1-x_1)\frac{1}{u^{5-\alpha }}\end{array}$$結局、与式は、$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)& =& (1-\alpha )\{(y_1-x_1)(3-\alpha )(y_1-x_1)\frac{1}{u^{5-\alpha }}-\frac{1}{u^{3-\alpha }}\}\\ & =& (1-\alpha )\{(3-\alpha )(y_1-x_1{)}^2\frac{1}{u^{5-\alpha }}-\frac{u^2}{u^{5-\alpha }}\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{u^{5-\alpha }}\{(3-\alpha )(y_1-x_1{)}^2-u^2\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha )(y_1-x_1{)}^2-|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\end{array}$$となる。

p106　ラプラシアン$\mathrm{\Delta }$

ラプラシアン$\mathrm{\Delta }$ の定義（p58）より、

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)& =& \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha )(y_1-x_1{)}^2-|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & & +(1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha )(y_2-x_2{)}^2-|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & & +(1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha )(y_3-x_3{)}^2-|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\\ & & \{(3-\alpha )\{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2\}-3|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha ){\left|\left(\begin{array}{c}{y}_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\end{array}\right)\right|}^2-3|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}\{(3-\alpha ){|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}^2-3|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2\}\\ & =& (1-\alpha )\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{5-\alpha }}(3-\alpha -3)\\ & =& -\alpha (1-\alpha )\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\end{array}$$

p107　微小立体図形の体積

半径$r$ の微小変化を$dr$ と表現すると、$$AB=dr$$弧度法では半径$r$とラジアン角をかけたものが円弧の長さなので、角度$\theta$ の微小変化を$d\theta$と表現すると$$AC=rd\theta$$三角形$OAE$において、$$\begin{array}{rcl}AE& =& OA\sin \theta \\ & =& r\sin \theta \end{array}$$なので、半径$EA$ の円において微小角度$d\phi$ に対応する円弧$AD$ の長さは、$$\begin{array}{rcl}AD& =& AEd\phi \\ & =& r\sin \theta d\phi \end{array}$$となる。

よって、微小立体図形の体積は、これを直方体と考えて、$$\begin{array}{rcl}AB\times AC\times AD& =& dr\times rd\theta \times r\sin \theta d\phi \\ & =& r^2\sin \theta drd\theta d\phi \end{array}$$

ｐ107　球座標と直交座標

微小立体図形で$V_i$ 内の全領域を埋め尽くすことを考えると、球座標$(r,\theta ,\phi )$ を各々$$\begin{array}{rcl}r& :& 0\to \epsilon \\ \theta & & 0\to \pi \\ \phi & & 0\to 2\pi \end{array}$$の範囲内で動かして、微小立体図形の個別体積$$r^2\sin \theta drd\theta d\phi$$を足し上げていけば、$V_i$ の体積となる。すなわち、$V_i$ の体積は、球座標$r,\theta ,\phi$ を用いて、$$\begin{array}{rcl}{\int }_{V_i}{r}^2\sin \theta drd\theta d\phi & =& {\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\epsilon }{r}^2\sin \theta drd\theta d\phi \\ & =& \left({\int }_0^{\epsilon }{r}^{2}dr\right)({\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta )\left({\int }_0^{2\pi }1d\phi \right)\end{array}$$と表される（１行目［重積分］を２行目［１変数積分の積］のように変形し得ることにつき高校数学の美しい物語「重積分の計算方法と例題３題」参照）。

これは、直交座標$(y_1,y_2,y_3)$ による体積分$${\int }_{V_i}1d\overrightarrow{y}$$と等しい筈であるから、$${\int }_{V_i}1d\overrightarrow{y}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\epsilon }{r}^2\sin \theta drd\theta d\phi$$とし得る。

p107　$\mathrm{\Delta }\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}$ の符号

ｐ106 で求めたとおり、$$\mathrm{\Delta }\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}=-(1-\alpha )\alpha \frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}$$p105 のとおり、$\alpha$ は、$$\alpha >0$$であり、$$\alpha \to +0$$を考えるので、与式は、$$-(1-\alpha )\alpha \frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{3-\alpha }}\fallingdotseq -1(+0)\frac{1}{|\cdots {|}^3}$$となり、全体の符号は負となる。

ｐ107　左辺

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_i}M\mathrm{\Delta }\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}d\overrightarrow{y}& =& M\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_i}\mathrm{\Delta }\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}d\overrightarrow{y}\\ & =& M\{-(1-\alpha ){\epsilon }^{\alpha }\}\\ & =& -M(1-\alpha ){\epsilon }^{\alpha }\end{array}$$ここで、$\alpha \to +0$を考えると、与式は、$$\begin{array}{rcl}-M(1-\alpha ){\epsilon }^{\alpha }& \fallingdotseq & -M\times 1\times 1\\ & =& -M\end{array}$$

p107～108　$\epsilon \to 0$

p104 のとおり、$V_i$ は、$\overrightarrow{x}$ を中心とした半径$\epsilon$ の球であるから、$$\epsilon \to 0$$のとき、$$V_i:|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|\to 0$$となり、球体 $V_i$ は小さくなる。

このとき、$$\overrightarrow{y}\fallingdotseq \overrightarrow{x}$$となっているから、$$f(\overrightarrow{y})\fallingdotseq f(\overrightarrow{x})$$となる。

p107 のとおり、$V_i$ での$f(\overrightarrow{y})$ の最小値を$m$、最大値を$M$としているので、$$m\leqq f(\overrightarrow{y})\leqq M$$すなわち、$\epsilon \to 0$のとき、$$m\leqq f(\overrightarrow{x})\leqq M$$$$-M\leqq -f(\overrightarrow{x})\leqq -m$$が成立する。

この式とｐ107末尾２行目の式$$-M\leqq \underset{\alpha \to +0}{lim}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_i}f(\overrightarrow{y})\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)d\overrightarrow{y}\leqq -m$$とを比較すると、$\epsilon \to 0$のとき、$$-M\fallingdotseq -m$$となることから、$$\underset{\alpha \to +0}{lim}\frac{1}{4\pi }{\int }_{V_i}f(\overrightarrow{y})\mathrm{\Delta }\left(\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}\right)d\overrightarrow{y}=-f(\overrightarrow{x})$$が成立している。

p108　波動方程式

$$(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\varphi (\overrightarrow{x},t)=-f(\overrightarrow{x},t)$$の左辺にある演算子は、p203 のダランベルシアン$◻$$$\begin{array}{rcl}◻& =& \mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\end{array}$$

p109　$V_e$ 領域

領域$V$ の外側 $V_e$（$(f(\overrightarrow{x},t)=0$）では、

$$\overrightarrow{y}\ne \overrightarrow{x}$$

であるので、式１．１８の第２項の分母

$$|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|$$

は、０とならず、第２項は非積分関数が発散しない。

p109　$\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c}$ の$x_1$ 偏微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c}& =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}{\{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2\}}^{\frac{1}{2}}\\ & =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}u\times \frac{\partial }{\partial u}{u}^{\frac{1}{2}}\\ & =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}(y_1^2-2x_1{y}_1+x_1^2+\cdots )\times \frac{1}{2}{u}^{\frac{-1}{2}}\\ & =& \frac{1}{c}(-2y_1+2x_1)\times \frac{1}{2}\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}\\ & =& \frac{x_1-y_1}{c{u}^{\frac{1}{2}}}\\ & =& \frac{x_1-y_1}{c{\{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2\}}^{\frac{1}{2}}}\\ & =& \frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\end{array}$$

＊上付き文字$x^1,y^1$等は、下付き文字$x_1,y_1$等で表記した。

＊計算過程で、$u=(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2$とおいた。

＊$|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|=\left|\left(\begin{array}{c}{y}_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}=\sqrt{u}$ を用いた。

p109　式１．２０赤字注　$\frac{1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$ の$x_1$微分

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}& =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\\ & =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}u\times \frac{\partial }{\partial u}\frac{1}{\sqrt{u}}\\ & =& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}(y_1^2-2x_1{y}_1+x_1^2\cdots )\times \frac{\partial }{\partial u}{u}^{\frac{-1}{2}}\\ & =& \frac{1}{c}(-2y_1+2x_1)\times \frac{-1}{2}{u}^{\frac{-3}{2}}\\ & =& \frac{-1}{2}\frac{2}{c}\frac{x_1-y_1}{u^{\frac{3}{2}}}\\ & =& \frac{-1}{c}\frac{x_1-y_1}{{\sqrt{u}}^3}\\ & =& \frac{-1}{c}\frac{x_1-y_1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}\end{array}$$

p109　式１．２１　$t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c}$ の$x_1$ 微分

$t$ は、$x_1$ との関係では定数であること、及び式１．１９の結果から、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}(t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c})& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c}\right)\\ & =& \frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\end{array}$$

ｐ110　式１．２２　１～２行目

式１．２１の結果から、$$\begin{array}{rcl}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}f(\overrightarrow{y},t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c})& =& \frac{\partial }{\partial x_1}\left\{\frac{\partial }{\partial x_1}f(\overrightarrow{y},t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c})\right\}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\{\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\}\end{array}$$となり、これに、ｐ26の関数の積の微分$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$を適用すると、p110 の２行目の式となる。

ｐ110　式１．２２　２～３行目

２行目第１項は、以下のとおり変形し（微分の順序を入れ替えて、式１．２１の結果を適用）、３行目第１項となる。

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}(\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}& =& \frac{\partial }{\partial u}(\frac{\partial }{\partial x_1}f(\overrightarrow{y},u))\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\\ & =& \frac{\partial }{\partial u}\{\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\}\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\\ & =& \frac{\partial }{{\partial }^2{u}^2}f(\overrightarrow{y},u){\left(\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\right)}^2\end{array}$$

p110　$fg$ の２階微分

$$\begin{array}{rcl}(fg{)}^{″}& =& ((fg{)}^{\prime }{)}^{\prime }\\ & =& (f^{\prime }g+f{g}^{\prime }{)}^{\prime }\\ & =& (f^{\prime }g{)}^{\prime }+(f{g}^{\prime }{)}^{\prime }\\ & =& (f^{″}g+f^{\prime }{g}^{\prime })+(f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{″})\\ & =& f^{″}g+2f^{\prime }{g}^{\prime }+f{g}^{″}\end{array}$$

p110　赤字部分（公式１．３５の $\mathrm{grad}f$ を計算するときの要領）

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}& =& \frac{\partial }{\partial x_1}u\times \frac{\partial }{\partial u}\frac{1}{\sqrt{u}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}\{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2\}\times \frac{\partial }{\partial u}{u}^{\frac{-1}{2}}\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1}(y_1^2-2x_1{y}_1+x_1^2+\cdots )\times (-\frac{1}{2})u^{\frac{-3}{2}}\\ & =& (-2y_1+2x_1)\times \left(\frac{-1}{2}\right)\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\\ & =& (y_1-x_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{2\times \frac{3}{2}}}\\ & =& -(x_1-y_1)\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}\\ & =& -\frac{x_1-y_1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}\end{array}$$

＊$|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|=\left|\left(\begin{array}{c}{y}_1-x_1\\ y_2-x_2\\ y_3-x_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+(y_3-x_3{)}^2}=\sqrt{u}$ を用いた。

p110　最終行第２項への式変形

$$\begin{array}{rcl}& & \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}+2\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}(-\frac{x_1-y_1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3})\\ & =& \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}-2\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}\\ & =& \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-(x_1-y_1{)}^2-2(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}\\ & =& \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-3(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}\end{array}$$

p111　式１．１８の第２項

式１．１８の第２項の被積分関数$$(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\left(\frac{f(\overrightarrow{y},t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c})}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\right)$$について考える。109頁のとおり、$$u=t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c}$$と表記することにすると、与式は、ラプラシアン$\mathrm{\Delta }$の定義に従い、以下のような内容となる。$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\left(\frac{f(\overrightarrow{y},u)}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\right)& =& (\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\left(\frac{f(\overrightarrow{y},u)}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\right)\end{array}$$ここで、$\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}$ にかかる展開結果は、以下のとおりである（１１０頁の末尾）。

$$=\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}f(\overrightarrow{y},u)\frac{(x_1-y_1{)}^2}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}+\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-3(x_1-y_1{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}+f(\overrightarrow{y},u)\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$$同様に、$\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}$ にかかる展開結果は、$$=\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}f(\overrightarrow{y},u)\frac{(x_2-y_2{)}^2}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}+\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-3(x_2-y_2{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}+f(\overrightarrow{y},u)\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$$となり、同様に、$\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}$ にかかる展開結果は、$$=\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}f(\overrightarrow{y},u)\frac{(x_3-y_3{)}^2}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^3}+\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u)\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^2-3(x_3-y_3{)}^2}{c|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^4}+f(\overrightarrow{y},u)\frac{{\partial }^2}{\partial x_3^2}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$$となる。一方、$-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$にかかる展開結果は、以下のようになる。$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{f(\overrightarrow{y},u)}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}& =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}f(\overrightarrow{y},u)\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}u\times \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial t}(t+\frac{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}{c})\times \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial t}(1\times \frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial t}(\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}(\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial u}\cdot 1\cdot (\frac{\partial }{\partial u}f(\overrightarrow{y},u))\\ & =& -\frac{1}{c^2|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}\frac{\partial }{\partial u^2}f(\overrightarrow{y},u)\end{array}$$

p112　１～２行目

積分される $\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}{|}^{1-\alpha }}$ には、$t$ が含まれていないので、その定積分には、$-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}$ は反映されない（定積分の計算で、同じ値が＋と－されるため）。

波動方程式の特殊解（証明）の全体枠組み図解について、「ポアソン方程式（Poisson's equation）と波動方程式（wave equation）」２（２）

p112　３行目

定理１．３９と同じ論法＝p107～108 の最少値と最大値の挟み込みの無限収縮。

---

§１７　変分法 

---

p115　微分と積分の順序の交換

p19 のとおり、微分と積分の順序は常に交換可能とする前提。

p115　${\int }_0^T\cdots dx$

$${\int }_0^T\cdots dx$$内にある関数$$F(x,y,y^{\prime })$$は、３つの変数$$\{\begin{array}{}x\\ y=u(x)+\epsilon p(x)\\ y^{\prime }=u^{\prime }(x)+\epsilon p^{\prime }(x)\end{array}$$からなる３変数関数であるが、２変数 $y,y^{\prime }$ が $\epsilon$ の関数であることから、$\epsilon$ による$F(x,y,y^{\prime })$ の偏微分は、２変数関数の合成関数の微分の公式$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$を用いて（同公式の証明についてKIT数学ナビゲーション）、以下のようになる（$F$ の括弧内表記は省略）。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial \epsilon }F(x,y,y^{\prime })& =& \frac{d}{\partial \epsilon }F\\ & =& \frac{\partial y}{d\epsilon }\frac{\partial }{\partial y}F+\frac{\partial y^{\prime }}{\partial \epsilon }\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}F\end{array}$$ここで、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial y}{\partial \epsilon }& =& \frac{\partial }{\partial \epsilon }\{u(x)+\epsilon p(x)\}\\ & =& p(x)\end{array}$$であり、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial y^{\prime }}{\partial \epsilon }& =& \frac{\partial }{\partial \epsilon }\{u^{\prime }(x)+\epsilon p^{\prime }(x)\}\\ & =& p^{\prime }(x)\end{array}$$であるから、上記$F$ の$\epsilon$ による偏微分は、$$\frac{\partial }{\partial \epsilon }F=p(x)\frac{\partial }{\partial y}F+p^{\prime }(x)\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}F$$となる。

よって、これを $x=0\to T$ の範囲で定積分したものは、$$\begin{array}{rcl}& =& {\int }_0^T(p(x)\frac{\partial }{\partial y}F+p^{\prime }(x)\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}F)dx\\ & =& {\int }_0^T(\frac{\partial F}{\partial y}p(x)+\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}{p}^{\prime }(x))dx\end{array}$$である。

p115　部分積分

$$\begin{array}{rcl}(uv{)}^{\prime }& =& u{v}^{\prime }+u^{\prime }v\\ \int \{(uv{)}^{\prime }\}& =& \int (u{v}^{\prime })+\int (u^{\prime }v)\\ \left[uv\right]& =& \int (u{v}^{\prime })+\int (u^{\prime }v)\\ [uv]-\int (u{v}^{\prime })& =& \int (u^{\prime }v)\end{array}$$

ここでの部分積分は、$$\{\begin{array}{}u=p(x)\\ v=\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}\end{array}$$として式変形をしている。

ｐ116　汎関数$V(y)$ が極値を採るときの$y$

汎関数 $V$ が極値をとるときの $y$ を $u(x)$ と置いているので（ｐ114）、$V(y)$ は、$V(u(x))$ のときに$\epsilon$ に対する変化率$\frac{dV}{d\epsilon }$が $0$ となる。すなわち、p116 の第１行目 の右辺で $\epsilon =0$ としたものが、０となる。$p(x)$ は任意の式なので、${\int }_0^T$ の被積分関数に$\epsilon =0$ としたものが、０である必要がある。

p117　$\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}$

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}& =& \frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}F\\ & =& \frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial y^{\prime }}(12xy+(y^{\prime }{)}^2)\end{array}$$ここで、$12xy$ は、$y^{\prime }$ による偏微分との関係では定数であるので、与式は、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}{F}_{y^{\prime }}& =& \frac{d}{dx}(2y^{\prime })\\ & =& \frac{d^2}{d{x}^2}(2y)\\ & =& 2y^{″}\end{array}$$

ｐ117　$F_y$

$$\begin{array}{rcl}{F}_y& =& \frac{\partial }{\partial y}F\\ & =& \frac{\partial }{\partial y}(12xy+(y^{\prime }{)}^2)\end{array}$$ここで、$(y^{\prime }{)}^2$ は、$y$ による偏微分との関係では定数であるので、与式は、$$F_y=12x$$

---

§１８　アインシュタインの縮約記法 

---

p119　アインシュタインの縮約記法

• 走る添え字　…変化させたものを合計する（一つの式）。
• 止まっている添え字　…場合分けをする（複数の式）。

$$a_{ijk}{b}^j{c}_{mn}^k$$の場合、走る添え字（$j,k$）の組合せは、添え字の変化幅が、ｐ118のとおり２種類（１または２）の場合、以下の４（$=2^2$）通り。

止まっている添え字 $i,m,n$ の組合せは、添え字の変化幅が、ｐ118のとおり２種類（１または２）の場合、以下の８（$=2^3$）通り。

以上を踏まえると、$$\begin{array}{rcl}{a}_{ijk}{b}^j{c}_{mn}^k& =& a_{i1k}{b}^1{c}_{mn}^k+a_{i2k}{b}^2{c}_{mn}^k\\ & =& a_{i11}{b}^1{c}_{mn}^1+a_{i12}{b}^1{c}_{mn}^2+a_{i21}{b}^2{c}_{mn}^1+a_{i22}{b}^2{c}_{mn}^2\\ & =& \{\begin{array}{}{a}_{111}{b}^1{c}_{mn}^1+a_{112}{b}^1{c}_{mn}^2+a_{121}{b}^2{c}_{mn}^1+a_{122}{b}^2{c}_{mn}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{mn}^1+a_{212}{b}^1{c}_{mn}^2+a_{221}{b}^2{c}_{mn}^1+a_{222}{b}^2{c}_{mn}^2\end{array}\\ & =& \{\begin{array}{}{a}_{111}{b}^1{c}_{1n}^1+a_{112}{b}^1{c}_{1n}^2+a_{121}{b}^2{c}_{1n}^1+a_{122}{b}^2{c}_{1n}^2\\ a_{111}{b}^1{c}_{2n}^1+a_{112}{b}^1{c}_{2n}^2+a_{121}{b}^2{c}_{2n}^1+a_{122}{b}^2{c}_{2n}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{1n}^1+a_{212}{b}^1{c}_{1n}^2+a_{221}{b}^2{c}_{1n}^1+a_{222}{b}^2{c}_{1n}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{2n}^1+a_{212}{b}^1{c}_{2n}^2+a_{221}{b}^2{c}_{2n}^1+a_{222}{b}^2{c}_{2n}^2\end{array}\\ & =& \{\begin{array}{}{a}_{111}{b}^1{c}_{11}^1+a_{112}{b}^1{c}_{11}^2+a_{121}{b}^2{c}_{11}^1+a_{122}{b}^2{c}_{11}^2\\ a_{111}{b}^1{c}_{12}^1+a_{112}{b}^1{c}_{12}^2+a_{121}{b}^2{c}_{12}^1+a_{122}{b}^2{c}_{12}^2\\ a_{111}{b}^1{c}_{21}^1+a_{112}{b}^1{c}_{21}^2+a_{121}{b}^2{c}_{21}^1+a_{122}{b}^2{c}_{21}^2\\ a_{111}{b}^1{c}_{22}^1+a_{112}{b}^1{c}_{22}^2+a_{121}{b}^2{c}_{22}^1+a_{122}{b}^2{c}_{22}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{11}^1+a_{212}{b}^1{c}_{11}^2+a_{221}{b}^2{c}_{11}^1+a_{222}{b}^2{c}_{11}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{12}^1+a_{212}{b}^1{c}_{12}^2+a_{221}{b}^2{c}_{12}^1+a_{222}{b}^2{c}_{12}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{21}^1+a_{212}{b}^1{c}_{21}^2+a_{221}{b}^2{c}_{21}^1+a_{222}{b}^2{c}_{21}^2\\ a_{211}{b}^1{c}_{22}^1+a_{212}{b}^1{c}_{22}^2+a_{221}{b}^2{c}_{22}^1+a_{222}{b}^2{c}_{22}^2\end{array}\end{array}$$となる（走る添え字に関し１行目で$j$、２行目で$k$について場合わけをして合計。止まっている添え字に関し３行目で$i$、４行目で$m$、最終行で$n$について場合わけをして式を分けた）。

p120　縮約記法と行列

成分 $a_j^i$ は、行列の$i$ 行目の$j$ 列目の成分。すなわち、

$$a_{\mathrm{列}}^{\mathrm{行}}$$

p121　$(i,j)$ 成分（$i$行目の$j$列目の成分）が${\delta }_j^i$ である行列は単位行列

例えば、３行×３列の場合、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{}{\delta }_1^1& & {\delta }_2^1& & {\delta }_3^1\\ {\delta }_1^2& & {\delta }_2^2& & {\delta }_3^2\\ {\delta }_1^3& & {\delta }_2^3& & {\delta }_3^3\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{}1& & 0& & 0\\ 0& & 1& & 0\\ 0& & 0& & 1\end{array}\right)\\ & =& E\end{array}$$