一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第１章 数学の準備）
石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版
p86 １～２行目 \(\sin^2t\)
の読後の行間補充メモ
（→正誤表）
（→事項索引）
§１ ベクトル積
p21 \(\vec{a}\times\vec{a}\)
\begin{eqnarray}\vec{a}\times\vec{a}&=& \left( \begin{array}{c}a\\ b \\ c \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}a\nonumber \\ b \\ c \end{array} \right)\nonumber\\ &=& \left( \begin{array} {c}bc-cb \\ ca-ac \\ ab-ba \end{array} \right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}0\\0\\0 \end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
p21 直交性
\(\vec{a}, \vec{b}\)のなす角度を\(\theta\)とすると、両ベクトルの内積が\(0\)のとき、
\begin{eqnarray}\vec{a}\cdot \vec{b}&=&0 \nonumber \\ |a||b|\cos \theta &=& 0 \nonumber \\ \cos\theta &=& 0 \nonumber\\ \theta &=& \frac{\pi}{2}\nonumber \end{eqnarray}
p23 \(\vec{e_x}\cdot\vec{c}\)
\begin{eqnarray}\vec{e_x}\cdot\vec{c}&=& \left( \begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c}c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right)\nonumber\\ &=& 1\times c_x+0\times c_y +0\times c_z\nonumber\ \\&=& c_x \nonumber \end{eqnarray}
p23 \(\vec{e_x}\times \vec{b}\)
\begin{eqnarray}\vec{e_x}\cdot\vec{b}&=& \left( \begin{array}{c}1\\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right)\nonumber\\ &=&\left( \begin{array}{c}0\times b_z-0\times b_y\\ 0\times b_x-1\times b_z \\ 1\times b_y-0\times b_x \end{array} \right) \nonumber\\ &=& \left( \begin{array}{c}0\\ -b_z \\ b_y \end{array} \right) \nonumber \end{eqnarray}
§２ 微分の方程式
p26～p27 \( \left(\vec{a(t)}\times \vec{b(t)} \right)' \)の\(x\) 成分(１行目成分の趣旨)
\begin{eqnarray}\left(\vec{a(t)}\times \vec{b(t)}\right)'&=&\left( \left( \begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\\ z(t)\end{array}\right)\times \left( \begin{array}{c} \alpha(t)\\ \beta(t)\\ \gamma(t)\end{array}\right)\right)'\nonumber\\ &=& \left( \begin{array}{c} y(t)\gamma(t)-z(t)\beta(t) \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)' \nonumber \\ &=& \left( \begin{array}{c} \left( y(t)\gamma(t)-z(t)\beta(t) \right)' \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right) \nonumber \\ &=& \left( \begin{array}{c} \left( y(t)\gamma(t)\right)'-\left(z(t)\beta(t) \right)' \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right) \nonumber \end{eqnarray}これは、同頁３行目のように、\(\vec{a'(t)}\times \vec{b(t)}+\vec{a(t)}\times \vec{b'(t)}\) の１行目成分と一致する。
p28 \(\cos^2t~\sin t+2\sin t\) の微分
\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\left(\cos^2t~\sin t+2\sin t \right)&=& \frac{d}{dt} \left(\cos^2t~\sin t \right)+2\frac{d}{dt}\sin t \nonumber\\&=& \frac{d}{dt}\left(\cos^2 t \right) \sin t +\cos^2 t\frac{d}{dt}\sin t +2\frac{d}{dt}\sin t \nonumber \end{eqnarray}ここで、\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\cos^2 t&=& \frac{d}{dt}\left(\cos t \cos t \right)\nonumber\\ &=& \frac{d}{dt}(\cos t)\cos t+\cos t\frac{d}{dt}\cos t \nonumber \\ &=& 2\cos t\frac{d}{dt}\cos t\nonumber\\ &=& 2\cos t(-\sin t)\nonumber \end{eqnarray}なので、与式は、\begin{eqnarray}&=& 2\cos t(-\sin t)\sin t +\cos^2t~\cos t+2\cos t\nonumber\\ \end{eqnarray}となる。
§３ ３次元の座標変換
p31 \(\vec{OP}\)
\(x'y'z'\)座標における点\(P\)の座標値が\((x',y',z')\) であるとき、\(\vec{OP}\) を同座標で表わすと、
\[\vec{OP}=x'\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)+y'\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+z'\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\]
他方、\(\vec{OP}\) を\((x,y,z)\)座標で表わすと、
\begin{eqnarray}\vec{OP}&=& x'\left(\begin{array}{c}a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)+y'\left(\begin{array}{c}b_1\\b_2\\b_3\end{array}\right)+z'\left(\begin{array}{c}c_1\\c_2\\c_3\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}a_1x'+b_1y'+c_1z'\\a_2x'+b_2y'+c_2z'\\a_3x'+b_3y'+c_3z'\end{array}\right)\nonumber\\&=& \left( \begin{array}{ccc}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right)\nonumber \end{eqnarray}
p33 直交変換と内積保存
\(\vec{a'},~\vec{b'}\) の内積は、\[\left(\begin{array}{c}a_1'\\a_2'\\a_3'\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_1'\\b_2'\\b_3'\end{array}\right)=a_1'b_1'+a_2'b_2'+a_3'b_3'\]\(a'\) の転置行列 \(^{t}\vec{a'}\) と\(\vec{b'}\) の積は、\[\left(\begin{array}{c}a_1'&a_2'&a_3'\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b_1'\\b_2'\\b_3'\end{array}\right)=a_1'b_1'+a_2'b_2'+a_3'b_3\]
p33 ベクトル\(\vec{a}\) の大きさ
\(\vec{a}\)どうしのなす角度は０度であるから、\(\vec{a}\)どうしの内積は、\begin{eqnarray}\vec{a}\cdot\vec{a}&=&|\vec{a}||\vec{a}|\cos\theta\nonumber\\&=&|\vec{a}|^2\cos 0\nonumber\\ &=&|\vec{a}|^2\nonumber\end{eqnarray}よって、ベクトルの大きさは、\[|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\]として内積の平方根で表わされる。
§４ スカラー場、ベクトル場のイメージ
p35 速度ベクトル
\begin{eqnarray}\vec{V}&=&\left(\begin{array}{c}V_x\\V_y\\V_z\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}V_x(x,y,z)\\V_y(x,y,z)\\V_z(x,y,z)\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
例えば、\(V_x\) は、\(x\) 軸方向の速さ \(\left[\frac{m}{s}\right]\) を示す。
その値が、座標 （\(x,y,z\) ）によって異なるので、\(V_x\) は、３変数\(x,y,z\) の関数である。
\(y,z\) 軸の方向の速さ \(V_y,~V_z\) についても、同様。
§５ 勾配
p36 \(f(x,y,z)=e^x\cos (yz)\) の勾配
\begin{eqnarray}\mathrm{grad} f&=&\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}この行列の１行目は、
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}e^x\cos (yz)\nonumber\\&=&\cos (yz)\frac{\partial}{\partial x}e^x\nonumber\\&=& \cos (yz)~e^x\nonumber\end{eqnarray}行列の２行目は、
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y}e^x\cos (yz)\nonumber\\&=&e^x\frac{\partial}{\partial y}\cos (yz)\nonumber\\&=& e^x\frac{\partial}{\partial (yz)}\cos(yz)~\frac{\partial}{\partial y}(yz)\nonumber\\&=&e^x(-\sin (yz))z\nonumber\end{eqnarray}行列の３行目は、
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial z}&=&\frac{\partial}{\partial z}e^x\cos (yz)\nonumber\\&=&e^x\frac{\partial}{\partial z}\cos (yz)\nonumber\\&=& e^x\frac{\partial}{\partial (yz)}\cos(yz)~\frac{\partial}{\partial z}(yz)\nonumber\\&=&e^x(-\sin (yz))y\nonumber\end{eqnarray}したがって、行列全体は、\begin{eqnarray}\mathrm{grad} f&=&\left(\begin{array}{c}e^x \cos(yz)\\ -ze^x\sin(yz)\\ -ye^x\sin(yz)\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
p40 \(\mathrm{grad}\) の性質
与式を、２つのベクトル\[\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\]及び
\[\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)\]
の内積と捉えて式変形をすると、両ベクトルのなす角は、\(\theta-\alpha\)であるから、
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta &=& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)\nonumber\\&=& \left|\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\right|\left|\left(\begin{array}{c}\cos\theta \\ \sin\theta \end{array}\right)\right|\cos(\theta-\alpha)\nonumber \end{eqnarray}となる。ここで、p39 の式
\[\left|\left(\begin{array}{c}\cos\theta \\ \sin\theta \end{array}\right)\right|=1\]を用いると、与式は、
\begin{eqnarray}&=& \left|\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right)\right|\cos(\theta-\alpha)\nonumber \\&=& |\mathrm{grad} f|\cos(\theta-\alpha)\nonumber\end{eqnarray}となるので、\(\theta-\alpha=0\) のときに最大値\(|\mathrm{grad}f|\) をとる。
§６ 発散
p41 \(\mathrm{div}\overrightarrow{A(\vec{x})}\)
ナブラ \(\nabla\) を、以下のように捉えると、
\[\nabla=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z}\end{array}\right)\]
発散は、ナブラ\(\nabla\) とベクトル\(\overrightarrow{A(\vec{x})}\) の内積として把握される。
§７ 回転
p55 転置行列
一般に、行列\(A,~B\)に対して公式\[^{t}(AB)=^{t}B~^{t}A\]が成り立つ。２行２列行列の場合として、\begin{eqnarray}A&=&\left(\begin{array}{c}a&b\\c&d\end{array}\right)\nonumber\\B&=&\left(\begin{array}{c}e&f\\g&h\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}を考えると、公式の左辺は、\begin{eqnarray}^{t}(AB)&=&^{t}\left(\left(\begin{array}{c}a&b\\c&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}e&f\\g&h\end{array}\right)\right)\nonumber\\&=&^{t}\left( \begin{array}{c} ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left( \begin{array}{c} ae+bg&ce+dg\\af+bh&cf+dh\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}となり、公式の右辺は、\begin{eqnarray}^{t}B~^{t}A&=&^{t}\left(\begin{array}{c}e&f\\g&h\end{array}\right)~^{t}\left(\begin{array}{c}a&b\\c&d\end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{c}e&g\\f&h\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a&c\\b&d\end{array}\right)\nonumber\\&=& \left( \begin{array}{c} ea+gb&ec+gd\\fa+hb&fc+hd\end{array}\right)\nonumber \end{eqnarray}となり、確かに、左辺と右辺が等しい。
ｐ55 \(^{t}P'\)
\begin{eqnarray}^{t}(UP~^{t}U)&=&^{t}(^{t}U)~^{t}(UP)\nonumber\\&=&^{t}(^{t}U)~^{t}P~^{t}U\nonumber\\&=&U~^{t}P~^{t}U\nonumber\end{eqnarray}
§８ 勾配、発散、回転の公式
p64 ラプラシアン
本書での記号は、\[\Delta\]
他の表現としては、\[\nabla^2\]
§９ ポテンシャル
p65 \(\frac{\partial~ g(x,y,z)}{\partial x}\)
\[g(x,y,z)=\int_a^xA_x(t,y,z)dt+\int_b^yA_y(a,t,z)dt+\int_c^zA_z(a,b,t)dt\]は、第１項が\(x\)の関数となり、第２項及び第３項は\(x\)との関係では定数であるから、\(A_x(t,y,z)\)の原始関数を\(A_t\)とすると、
\begin{eqnarray}\frac{\partial ~g(x,y,z)}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}\int_a^xA_x(t,y,z)dt\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\left[A_t\right]_a^x\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\left([A_t]^x-[A_t]_a\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}[A_t]^x\nonumber\\&=&A_x(x,y,z)\nonumber\end{eqnarray}
§１０ スカラー場の線積分
p69 曲線の弧長
三平方の定理より、微小三角形の各辺\(ds, dx, dy\)について、\begin{eqnarray}ds^2&=&dx^2+dy^2\nonumber\\ds&=&\sqrt{dx^2+dy^2}\nonumber\\\frac{ds}{dt}&=&\sqrt{\frac{dx^2+dy^2}{dt^2}}\nonumber\\&=&\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\nonumber\end{eqnarray}の関係が成立するから、この両辺を\(t\)で積分すると、\begin{eqnarray}\int\left(\frac{ds}{dt}\right)~dt&=&\int\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}~dt\nonumber\\s&=&\int\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}~dt\nonumber\nonumber\end{eqnarray}となり、パラメータ\(t\)を\(\alpha\)から\(\beta\)へと変化させた場合の曲線の弧長は、この定積分として、以下のようになる。\[s=\int^{\beta}_{\alpha}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}~dt\nonumber\]
p70 \(\sin ^3\theta\)の微分
\begin{eqnarray}\frac{d}{d\theta}\sin ^3\theta&=&\frac{d}{d \sin \theta}\sin ^3\theta~\frac{d}{d\theta}\sin\theta\nonumber\\&=&3\sin^2\theta~\cos\theta\nonumber\end{eqnarray}
§１１ ベクトル場の線積分
p71 曲線\(C\)
三次元上の曲線\[C=\left(\begin{array}{c}f\\g\\h\end{array}\right)\]を想定。
§１２ 曲面の面積
p79 \(T(\theta,~\varphi)\) の偏微分
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial \theta}T(\theta,~\varphi)&=&\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\begin{array}{c}r\sin\theta~\cos\varphi\\r\sin\theta\sin\varphi\\r\cos\theta\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}r\cos\theta~\cos\varphi\\r\cos\theta~\sin\varphi\\-r\sin\theta\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}同様に、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial \varphi}T(\theta,~\varphi)&=&\frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\begin{array}{c}r\sin\theta~\cos\varphi\\r\sin\theta\sin\varphi\\r\cos\theta\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}-r\sin\theta~\sin\varphi\\r\cos\theta~\cos\varphi\\0\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
p83 ３～４行目
\begin{eqnarray}(\cos\theta\cos\varphi)(\sin\theta\cos\varphi)-(\sin\theta\sin\varphi)(\cos\theta\sin\varphi)\nonumber&=&\cos\theta\sin\theta\cos^2\varphi+\sin\theta\cos\theta\sin^2\varphi\nonumber\\&=&\cos\theta\sin\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)\nonumber\\&=&\cos\theta\sin\theta\nonumber\end{eqnarray}
p83 末尾行
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]
において、\(\alpha=\beta=\theta\)となる\(\theta\)を考えると、
\begin{eqnarray}\sin 2\theta&=&2\sin\theta\cos\theta\nonumber\\ \frac{1}{2}\sin 2\theta&=&\sin\theta\cos\theta\nonumber\end{eqnarray}なので、p83 末尾行の前半括弧部分は、\begin{eqnarray}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos\theta\sin\theta~d\theta &=&\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\sin 2\theta~d\theta\nonumber\\ &=& \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2\theta ~ d\theta\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、\(\sin 2\theta\)の原始関数を考えるに、\begin{eqnarray}\ \frac{d}{d\theta}\cos 2\theta&=&\frac{d}{d (2\theta)}\cos 2\theta\times\frac{d}{d \theta}2\theta\nonumber\\ &=&(-\sin 2\theta)\times 2\nonumber\\ -\frac{1}{2}\cos 2\theta&=&\sin 2\theta\nonumber\end{eqnarray}であるから、与式（p83 末尾行の前半括弧部分）は、以下のようになる。\begin{eqnarray}&=&\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\nonumber\\ &=& -\frac{1}{4}\left[\cos 2\theta\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\nonumber\\ &=&-\frac{1}{4}(\cos\pi-\cos 0)\nonumber\\ &=& -\frac{1}{4}(-1-1)\nonumber\\ &=&\frac{1}{2}\nonumber\end{eqnarray}
§１３ ベクトル場の面積分
p84 ベクトル場の面積分
p86 １～２行目 \(\sin^2t\)
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]において、\(\alpha=\beta=t\)となる\(t\)を考えると、\begin{eqnarray}\cos 2 t&=&\cos^2t-\sin^2t\nonumber\\&=&\cos^2t+\sin^2t-2\sin^2t\nonumber\\&=&1-2\sin^2t\nonumber\\2\sin^2t&=&1-\cos 2t\nonumber\\\sin^2t&=&\frac{1}{2}(1-\cos 2t)\nonumber\end{eqnarray}
p86 ２～３行目 \(\cos 2t\) の積分
\begin{eqnarray}\frac{d}{d t}\sin2t&=&\frac{d}{d(2t)}\sin 2t\times \frac{d}{dt}2t\nonumber\\&=&\cos 2t\times 2\nonumber\end{eqnarray}よって、\begin{eqnarray}\int_0^{2\pi}\cos 2t&=&\left[\frac{1}{2}\sin 2t\right]_0^{2\pi}\nonumber\\&=&\frac{1}{2}(\sin 4\pi-\sin 0)\nonumber\\&=&\frac{1}{2}(0-0)\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}
p86 \(\mathrm{rot}\vec{F}(\vec{x})\)
\begin{eqnarray}\mathrm{rot}\vec{F}(\vec{x})&=&\left(\begin{array}{c} \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\nonumber\\ &=& \left(\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial y}(y+z^2)-\frac{\partial}{\partial z}(xz) \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{c} 1-x \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
p87 \(\int_0^{2\pi}\cos \varphi ~d\varphi=0\)
\begin{eqnarray}\int_0^{2\pi}\cos \varphi ~d\varphi&=&\left[\sin\varphi\right]_0^{2\pi}\nonumber\\&=&\sin 2\pi-\sin 0\nonumber\\&=&0-0\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}
p87 \(\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi~d\varphi\)
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]において、\(\alpha=\beta=t\)となる\(t\)を考えると、\begin{eqnarray}\cos 2 t&=&\cos^2t-\sin^2t\nonumber\\&=&\cos^2t-(1-\cos^2t)\nonumber\\&=&2\cos^2t-1\nonumber\\\cos 2t+1&=&2\cos^2t\nonumber\\ \frac{1}{2}(\cos 2t+1)&=&\cos^2t\nonumber\end{eqnarray}よって、\begin{eqnarray}\int_0^{2\pi}\cos^2\varphi~d\varphi&=&\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}(1+\cos2\varphi)~d\varphi\nonumber\\&=&\frac{1}{2}\left[\varphi+\frac{1}{2}\sin2\varphi\right]_0^{2\pi}\nonumber\\&=&\frac{1}{2}\left(2\pi+\frac{1}{2}\sin 4\pi-\left(0+\frac{1}{2}\sin 0\right)\right)\nonumber\\&=&\frac{1}{2}(2\pi+0-(0+0))\nonumber\\&=&\pi\nonumber\end{eqnarray}
p87 \(\int\int_{S_2}\mathrm{rot}\vec{F}\cdot \vec{n_2}~dS\)
\[\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ -\pi\sin^2\theta+2\pi(\cos^2\theta-\cos\theta)\right\} \sin\theta~d\theta\]において、\begin{eqnarray}-\pi\sin^2\theta+2\pi(\cos^2\theta-\cos\theta)&=&-\pi\sin^2\theta+2\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta\nonumber\\&=&-\pi(1-\cos^2\theta)+2\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta\nonumber\\&=&-\pi+\pi\cos^2\theta+2\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta\nonumber\\&=&3\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta-\pi\nonumber\end{eqnarray}であるので、与式は、\[=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(3\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta-\pi)\sin\theta~d\theta\]となる。ここで、置換積分をするため、\[t=\cos\theta\]とおくと、\begin{eqnarray}\frac{d}{d\theta}t&=&\frac{d}{d\theta}\cos\theta\nonumber\\&=&-\sin\theta\nonumber\\-dt&=&\sin\theta~d\theta\nonumber\end{eqnarray}であり、また、\[\theta:0\rightarrow \frac{\pi}{2}\]のとき、\[t:1\rightarrow 0\]と変化するから、与式は、以下のように解を得られる。\begin{eqnarray}&=&-\int_1^0(3\pi t^2-2\pi t-\pi)~dt\nonumber\\&=&-\pi\int_1^0(3t^2-2 t-1)~dt\nonumber\\&=&-\pi\left[t^3-t^2-t\right]_1^0\nonumber\\&=&-\pi\{0-0-0-(1^3-1^2-1)\}\nonumber\\&=&-\pi\nonumber\end{eqnarray}なお、明示の置換積分をしない場合でも、\[\sin\theta=-\frac{d~\cos\theta}{d\theta}\]であることから、与式は、以下のように変形して、同じ解を得られる。\begin{eqnarray}&=&-\int_0^{\frac{\pi}{2}}(3\pi\cos^2\theta-2\pi\cos\theta-\pi)\frac{d~\cos\theta}{d\theta}d\theta\nonumber\\&=&-\pi\int_{\cos 0}^{\cos \frac{\pi}{2}}(3\cos^2\theta-2\cos\theta-1)~d~\cos\theta\nonumber\\&=&-\pi\left[\cos^3\theta-\cos^2\theta-\cos\theta\right]_{\cos 0}^{\cos \frac{\pi}{2}}\nonumber\\&=&-\pi\{0^3-0^2-0-(1^3-1^2-1)\}\nonumber\\&=&-\pi\nonumber\end{eqnarray}
p89 法線ベクトル
右手系の座標系において、直角三角形\(C\) を反時計回りに回る場合を考えるので、法線ベクトルの定義より、\[\vec{n}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\]
p89 \(\mathrm{rot}\vec{A}\cdot\vec{n}\)
\begin{eqnarray}\mathrm{rot}\vec{A}\cdot\vec{n}&=&\left(\begin{array}{c}\cdots\\ \cdots\\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\nonumber\end{eqnarray}
p90 三角形\(EFG, ~EGH, ~EFH\)
\begin{eqnarray}C_1&=&\overrightarrow{EFG}\nonumber\\D_+&=&\overrightarrow{GE}\nonumber\\C_2&=&\overrightarrow{GHE}\nonumber\\D_-&=&\overrightarrow{EG}\nonumber\end{eqnarray}
p91 面積分\(dS\)、体積分\(dV\)
\begin{eqnarray}\int_S\cdots dS&=&\int \int \cdots du~dv\nonumber\\ \int_V \cdots dV&=&\int \int \int \cdots dx~dy~dz\nonumber\end{eqnarray}
p93 領域\(V\)の境界\(S\)
領域\(S_1\)の\(y\)軸方向から見た接線ベクトルは、\begin{eqnarray}\frac{\partial \vec{S_1}}{\partial x}&=&\left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial x}\\ \frac{\partial y}{\partial x}\\ \frac{\partial ~f(x,y)}{\partial x}\end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{c}1\\0\\ f_x\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}同様に、\(x\)軸方向から見た接線ベクトルは、\begin{eqnarray}\frac{\partial \vec{S_2}}{\partial y}&=&\left(\begin{array}{c}\frac{\partial x}{\partial y}\\ \frac{\partial y}{\partial y}\\ \frac{\partial ~g(x,y)}{\partial y}\end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{c}0\\1\\ f_y\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}よって、両接線ベクトルの外積は、\begin{eqnarray}\frac{\partial \vec{S_1}}{\partial x}\times \frac{\partial \vec{S_2}}{\partial y}&=&\left(\begin{array}{c}1\\0\\f_x\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\1\\f_y\end{array}\right)\nonumber\\ &=&\left(\begin{array}{c}0\times f_y-f_x\times 1\\f_x\times 0-1\times f_y\\1\times 1-0\times 0\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}-f_x\\-f_y\\ 1\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}となる。右手系の座標系において、この外積の方向は、p21 のとおり両接線ベクトルに直交し、かつ、右ねじの進む方向であるので、法線ベクトル\(\vec{n_1}\) の方向と同じである。
p93 \(\int_T\)
\(x,~y\) の二重積分を、\[\int_T\]と表記している。
p94 \(\mathrm{div}\vec{A}=0\)のとき面積分は一定
\[\mathrm{div}\vec{A}=0\]のとき、これを閉空間で積算しても、\(0\) であるから、\[\int_V\mathrm{div}\vec{A}~dV=0\]が成立する。ガウスの発散定理より、\[\int_S\vec{A}\cdot \vec{n}~dS=\int_V \mathrm{div}\vec{A}~dV\]が成立するので、\begin{eqnarray}\int_S\vec{A}\cdot \vec{n}~dS&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、左辺を、閉曲線\(C\)で上下に分割すると、\begin{eqnarray} \int_{S_1}\vec{A}\cdot \vec{n_1} ~dS + \int_{S_2}\vec{A}\cdot \vec{n_2'} ~dS &=&0\nonumber\\ \int_{S_1}\vec{A}\cdot \vec{n_1} ~dS &=& -\int_{S_2}\vec{A}\cdot \vec{n_2'} ~dS \nonumber\\ \int_{S_1}\vec{A}\cdot \vec{n_1} ~dS&=& \int_{S_2}\vec{A}\cdot \vec{n_2} ~dS \nonumber\end{eqnarray}となり、上下の曲面にかかる面積分は、値が等しい。
§１４ 逆２乗法則についての計算
p95 \(\vec{x}-\vec{a}\)
ここで、\begin{eqnarray}\vec{x}-\vec{a}&=&\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left( \begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left( \begin{array}{c}x-a\\y-b\\z-c\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
であるので、\begin{eqnarray}\left|\vec{x}-\vec{a}\right|&=&\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\nonumber\\&=&\left\{ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{1}{2}}\nonumber\end{eqnarray}である。よって、
\begin{eqnarray}\overrightarrow{A(\vec{x})}&=&\frac{\vec{x}-\vec{a}}{\left|\vec{x}-\vec{a}\right|^3}\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\frac{x-a}{\left\{ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}\\ \frac{y-b}{\left\{ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}\\ \frac{z-c}{\left\{ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}となる。
p96 \(A_x\)の\(x\)による偏微分
\[h(x)\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]と置くと、\begin{eqnarray}A_x&=&(x-a)\left(\frac{1}{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&(x-a)\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\end{eqnarray}の微分\(\frac{\partial A_x}{\partial x}\)は、関数の積の微分公式（p26）\[(fg)'=f'g+fg'\]を用いて、以下のように変形できる。\begin{eqnarray}\frac{\partial A_x}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left( (x-a)\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial~(x-a)}{\partial x}\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}+(x-a)\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&1\cdot \left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}+(x-a)\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\end{eqnarray}ここで、右辺第２項の偏微分の部分は、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}&=&\frac{\partial}{\partial x}h(x)\times \frac{\partial}{\partial \left(h(x)\right)}\left(\frac{1}{h(x)}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\} \times \frac{\partial}{\partial \left(h(x)\right)} h(x)^{-\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial }{\partial x}(x^2-2ax+\cdots)\times \frac{-3}{2}h(x)^{-\frac{3}{2}-1}\nonumber\\&=&(2x-2a)\times \frac{-3}{2}h(x)^{-\frac{5}{2}}\nonumber\\&=&2(x-a)\times \frac{-3}{2}\frac{1}{h(x)^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&-\frac{3}{2}\frac{1}{h(x)\frac{5}{2}}2(x-a)\nonumber\end{eqnarray}となるので、\(\frac{\partial A_x}{\partial x}\)は、以下のとおり整理できる。\begin{eqnarray}\frac{\partial A_x}{\partial x}&=&1\times\frac{1}{h(x)^{\frac{3}{2}}}+(x-a)\left(-\frac{3}{2}\right)\frac{1}{h(x)^{\frac{5}{2}}}2(x-a)\nonumber\\&=&\frac{h(x)}{h(x)\times h(x)^{\frac{3}{2}}}-\frac{3(x-a)^2}{h(x)^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{h(x)}{h(x)^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a)^2}{h(x)^{\frac{5}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}
p96 \(\mathrm{div}\overrightarrow{A(\vec{x})}=0\)
上述のとおり、\[h(x)\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]と置くと、\[\frac{\partial A_x}{\partial x}=\frac{h(x)}{h(x)^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a)^2}{h(x)^{\frac{5}{2}}}\]と整理できる。\(h(x)\)は、\(x-a,~y-b,~z-c\) に関して同じ形をしているので、\[H\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]と置くと、以下のように整理できる。
\begin{eqnarray}\frac{\partial A_x}{\partial x}&=&\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(x-a)^2}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\ \frac{\partial A_y}{\partial y}&=&\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(y-b)^2}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\\frac{\partial A_z}{\partial z}&=&\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-\frac{3(z-c)^2}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}これらの３式を合計すると、\begin{eqnarray}\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}&=&3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-3\frac{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\ \mathrm{div}\overrightarrow{A(\vec{x})}&=&3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}-3\frac{H}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。
p96 \(A_z\)の\(y\)による偏微分
\[H\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]と置くと、\begin{eqnarray}A_z&=&(z-c)\left(\frac{1}{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&(z-c)\left(\frac{1}{H}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\end{eqnarray}の微分\(\frac{\partial A_z}{\partial y}\)は、\((z-c)\) が \(y\) との関係では定数であるから、以下のようになる。\begin{eqnarray}\frac{\partial A_z}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y}\left( (z-c)\left(\frac{1}{H}\right)^{\frac{3}{2}}\right)\nonumber\\&=&(z-c)\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{H}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\end{eqnarray}ここで、偏微分の部分は、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{H}\right)^{\frac{3}{2}}&=&\frac{\partial}{\partial y}H\times \frac{\partial}{\partial H}\left(\frac{1}{H}\right)^{\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial y}\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\} \times \frac{\partial}{\partial H} H^{-\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial }{\partial y}(y^2-2by+\cdots)\times \frac{-3}{2}H^{-\frac{3}{2}-1}\nonumber\\&=&(2y-2b)\times \frac{-3}{2}H^{-\frac{5}{2}}\nonumber\\&=&2(y-b)\times \frac{-3}{2}\frac{1}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&-\frac{3}{2}\frac{1}{H^{\frac{5}{2}}}2(y-b)\nonumber\\&=&-\frac{3(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}となるので、\(\frac{\partial A_z}{\partial y}\)は、以下のとおり整理できる。\begin{eqnarray}\frac{\partial A_z}{\partial y}&=&(z-c)\times \frac{-3(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&-\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}
p96 \(\mathrm{rot}\overrightarrow{A(\vec{x})}=0\)
\[H\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]は、\(x-a,~y-b,~z-c\) に関して同じ形をしているので、\begin{eqnarray}\frac{\partial A_z}{\partial y}&=&-\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\\frac{\partial A_y}{\partial z}&=&-\frac{3(y-b)(z-c)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}上式から下式を引くと、\begin{eqnarray}\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}&=&-\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}+\frac{3(z-c)(y-b)}{H^{\frac{5}{2}}}\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}同様にして、\begin{eqnarray}\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}&=&0 \nonumber\\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}&=&0\nonumber\end{eqnarray}これら３式をまとめると、\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial A_z}{\partial y} -\frac{\partial A_y}{\partial z}\\ \frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\\ \frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\end{array}\right)&=&0\nonumber\\ \mathrm{rot}\overrightarrow{A(\vec{x})}&=&0\nonumber\end{eqnarray}
p97 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)
\[H\equiv(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\]とおくと、\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial x}&=&\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{1}{2}}}\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{H^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}H\times \frac{\partial}{\partial H}\frac{1}{H^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}\times \frac{\partial}{\partial H}H^{-\frac{1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}(x^2-2ax+\cdots)\times \left(-\frac{1}{2}\right)H^{-\frac{1}{2}-1}\nonumber\\&=&(2x-2a)\times \left(-\frac{1}{2}\right)H^{-\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&-(x-a)H^{-\frac{3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{-(x-a)}{H^{\frac{3}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{-(x-a)}{\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}\nonumber\end{eqnarray}と変形できる。
そして、\(\overrightarrow{A(\vec{x})}\) の \(x\) 成分 \(A_x\) は、\[A_x=\frac{x-a}{\left\{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right\}}\]なので、\[\frac{\partial f}{\partial x}=-A_x\]である。
p97 \(\mathrm{grad}f(\vec{x})=-\overrightarrow{A(\vec{x})}\)
\[\frac{\partial f}{\partial x}=-A_x\]と同様の計算で、\[\frac{\partial f}{\partial y}=-A_y\] \[\frac{\partial f}{\partial z}=-A_z\]が言えるので、これら３式をまとめると、\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}-A_x\\ -A_y\\ -A_z \end{array}\right)\nonumber\\ \mathrm{grad}f(\vec{x})&=&-\overrightarrow{A(\vec{x})}\nonumber\end{eqnarray}
p97 \(\Delta f(\vec{x})=0\)
ラプラシアン \(\Delta\) の定義（p61）より、\[\Delta f(\vec{x})=\mathrm{div~grad}f(\vec{x})\] また、上述のとおり、\[\mathrm{grad}f(\vec{x})=-\overrightarrow{A(\vec{x})}\]であるから、\[\Delta f(\vec{x})=-\mathrm{div}\overrightarrow{A(\vec{x})}\]となる。ここで、上述（p96）のとおり、\[\mathrm{div}\overrightarrow{A(\vec{x})}=0\]であるので、\[\Delta f(\vec{x})=0\]が成立する。
p97 \(\overrightarrow{F(\vec{x})}\) の面積分（\(D\) が \(\vec{a}\) を含むとき）
\(S\) 上の \(\vec{x}\) では、\(|\vec{x}-\vec{a}|=r\) なので、\[\overrightarrow{F(\vec{x})}\cdot \overrightarrow{n(\vec{x})}=\frac{1}{r^2}\]
半径\(r\)の球の表面積は、\(4\pi r^2\) なので、\begin{eqnarray}\frac{1}{r^2}\int_S dS&=&\frac{1}{r^2}\cdot 4\pi r^2\nonumber\\&=&4\pi\nonumber\end{eqnarray}
p98 \(\overrightarrow{F(\vec{x})}\) の面積分（\(D\) が \(\vec{a}\) を含まないとき）
ガウスの発散定理（公式１．３３（９１頁））より、\[\int_S \overrightarrow{F(\vec{x})}\cdot \overrightarrow{n(\vec{x})}~dS=\int_D \mathrm{div}\overrightarrow{F(\vec{x})}~dV\]ここで、右辺の被積分部分は、公式１．３５（９５頁）より、\[\mathrm{div}\overrightarrow{F(\vec{x})}=0\]である。よって、その領域\(D\) 内の体積分の値\[\int_D \mathrm{div}\overrightarrow{F(\vec{x})}~dV\]も、０である。
§１５ 波動方程式
p99 末尾２行目 二変数関数の偏微分
\begin{eqnarray}\frac{\partial x}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y} \left\{\ \frac{1}{2}(y+z) \right\}\nonumber\\&=&\frac{1}{2}\nonumber\end{eqnarray}同様に、\begin{eqnarray}\frac{\partial t}{\partial y}&=&\frac{\partial}{\partial y} \left\{\ \frac{1}{2c}(y-z) \right\}\nonumber\\&=&\frac{1}{2c}\nonumber\end{eqnarray}
p100～101 \(\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z}\phi(x,t)=0\)の積分
\[\phi(x,t)=\int h(z)dz+f(y)\]を\(z\) で偏微分すると、\(f(y)\)は、\(z\)との関係では定数であるから、\[\frac{\partial}{\partial z}\phi(x,t)=h(z)\]これを更に\(y\) で偏微分すると、\(h(z)\)は、\(y\)との関係では定数であるから、\[\frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial}{\partial z}\phi(x,t)=0\]となっている。同式を、\(y\) で積分すると、右辺は定数とは限らず、\(y\) との関係で定数となるような関数 \(h(z)\) も含まれる。\(h(z)\) の特殊形のひとつが定数であるので、一般に、\(h(z)\) で積分後の右辺を表記できる。
p101 \(y=g(x-ct)\)
同式の\(y\) は縦軸の趣旨。
p99 で変数変換をした \(y\) とは無関係。
p102 \(\phi (\vec{x},t)\) の\(x\) 二階微分
\[u=\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha\]とおくと、
\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi(\vec{x},t)&=&\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left\{C\sin(\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha)\right\}\nonumber\\&=&\frac{\partial^2}{\partial x^2}(C\sin u)\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}\sin u\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}u\times \frac{\partial}{\partial u}\sin u\right)\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial x}u\times \cos u \right)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x}u&=&\frac{\partial}{\partial x}(\vec{k}\cdot\vec{x}-ct+\alpha)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}(\vec{k}\cdot \vec{x})\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}\left\{\left(\begin{array}{c}k_x\\k_y\\k_z\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\right\}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x}(k_xx+k_yy+k_zz)\nonumber\\&=&k_x\nonumber\end{eqnarray}なので、与式は、\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\phi(\vec{x},t)&=&C\frac{\partial}{\partial x}(k_x~\cos u)\nonumber\\&=&k_xC\frac{\partial}{\partial x}\cos u \nonumber\\&=&k_xC\frac{\partial}{\partial x}u\times\frac{\partial}{\partial u}\cos u\nonumber\\&=&k_xC\frac{\partial}{\partial x}u\times (-\sin u)\nonumber\\&=&k_xCk_x\times(-\sin u)\nonumber\\&=&-k_x^2C\sin u\nonumber\\&=&-k_x^2C\sin (\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha)\nonumber\\&=&-k_x^2\phi(\vec{x},t)\nonumber\end{eqnarray}となる。
同様に、\(\phi (\vec{x},t)\) の\(y\) 二階微分、\(\phi (\vec{x},t)\) の\(z\) 二階微分も、以下のようになる。\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial y^2}\phi(\vec{x},t)&=&-k_y^2\phi(\vec{x},t)\nonumber\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial z^2}\phi(\vec{x},t)&=&-k_z^2\phi(\vec{x},t)\nonumber\end{eqnarray}
p102 \(\phi (\vec{x},t)\) の\(t\) 二階微分
\[u=\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha\]とおくと、
\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(\vec{x},t)&=&\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left\{C\sin(\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha)\right\}\nonumber\\&=&\frac{\partial^2}{\partial t^2}(C\sin u)\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t}\sin u\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t}u\times \frac{\partial}{\partial u}\sin u\right)\nonumber\\&=&C\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t}u\times \cos u \right)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial t}u&=&\frac{\partial}{\partial t}(\vec{k}\cdot\vec{x}-ct+\alpha)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial t}(-ct)\nonumber\\&=&-c\nonumber\end{eqnarray}なので、与式は、\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi(\vec{x},t)&=&C\frac{\partial}{\partial t}(-c~\cos u)\nonumber\\&=&-cC\frac{\partial}{\partial t}\cos u \nonumber\\&=&-cC\frac{\partial}{\partial t}u\times\frac{\partial}{\partial u}\cos u\nonumber\\&=&-cC\frac{\partial}{\partial t}u\times (-\sin u)\nonumber\\&=&-cC(-c)\times(-\sin u)\nonumber\\&=&-c^2C\sin u\nonumber\\&=&-c^2C\sin (\vec{k}\cdot \vec{x}-ct+\alpha)\nonumber\\&=&-c^2\phi(\vec{x},t)\nonumber\end{eqnarray}となる。
p102～p103 \(\vec{k}\cdot \vec{x}\)
図形的には、\begin{eqnarray}\vec{k}\cdot\vec{x}&=&|\vec{k}||\vec{x}|\cos\theta\nonumber\\&=&1|\vec{x}|\cos\theta\nonumber\\&=&|\vec{x}|\cos\theta\nonumber\end{eqnarray}なので、\(\vec{x}\) の\(\vec{k}\) 軸への影。
§１６ ポアソン方程式
ｐ104 \(R^3\)
\(R^2\) は平面であり、\(R^3\)は空間を指す。
p106 \(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\) の \(x_1\) 偏微分
\[u=|\vec{y}-\vec{x}|\]とおくと、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{1}{u^{1-\alpha}}\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}u^{\alpha-1}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}u\times \frac{\partial}{\partial u}u^{\alpha-1}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}|\vec{y}-\vec{x}|\times (\alpha-1)u^{\alpha-2}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left|\left(\begin{array}{c}y_1-x_1\\y_2-x_2\\y_3-x_3\end{array}\right)\right|\times(\alpha-1)\frac{1}{u^{2-\alpha}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}\times(\alpha-1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{2-\alpha}}\nonumber\end{eqnarray}となるところ、このうち、前半部分（\(x_1\) による偏微分の箇所）は、ルートの中を\(v\) と置いて整理すると、以下のようになるので、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{v}&=&\frac{\partial}{\partial x_1}v\times \frac{\partial}{\partial v}v^{\frac{1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\right\}\times \frac{1}{2}v^{-\frac{1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}(y_1^2-2y_1x_1+x_1^2+\cdots)\times \frac{1}{2}\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&(-2y_1+2x_1)\times\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{v}}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{\left|\left(\begin{array}{c}y_1-x_1\\y_2-x_2\\y_3-x_3\end{array}\right)\right|}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\end{eqnarray}与式は、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\times (\alpha-1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{2-\alpha}}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)(\alpha-1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\nonumber\\&=&(1-\alpha)(y_1-x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p106 \(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\) の \(x_1\) ２階偏微分
１階偏微分の結果を用いると、\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)\right\}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(1-\alpha)(y_1-x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\right\}\nonumber\end{eqnarray}である。ここで、\[u=|\vec{y}-\vec{x}|\]とおくと、上記式の\((1-\alpha)\)より右側は、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\right\}&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)\frac{1}{u^{3-\alpha}}\right\}\nonumber\\&=&(y_1-x_1)\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha}}+ \frac{1}{u^{3-\alpha}}\frac{\partial}{\partial x_1}(y_1-x_1)\nonumber\\&=&(y_1-x_1)\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha}}+ \frac{1}{u^{3-\alpha}}(-1)\nonumber\end{eqnarray}となるところ、同式における\(\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha}}\) 部分は、以下のようになるので、\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{u^{3-\alpha}}&=&\frac{\partial}{\partial x_1}u\times \frac{\partial}{\partial u}u^{\alpha-3}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}|\vec{y}-\vec{x}|\times (\alpha-3)u^{\alpha-4}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}\times (\alpha-3)\frac{1}{u^{4-\alpha}}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{\left|\vec{y}-\vec{x}\right|}\times (\alpha-3)\frac{1}{u^{4-\alpha}}\nonumber\\&=&(-y_1+x_1)\frac{1}{u}\times(\alpha-3)\frac{1}{u^{4-\alpha}}\nonumber\\&=&(3-\alpha)(y_1-x_1)\frac{1}{u^{5-\alpha}}\nonumber\end{eqnarray}結局、与式は、\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)&=&(1-\alpha)\left\{(y_1-x_1)(3-\alpha)(y_1-x_1)\frac{1}{u^{5-\alpha}}-\frac{1}{u^{3-\alpha}}\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\left\{(3-\alpha)(y_1-x_1)^2\frac{1}{u^{5-\alpha}}-\frac{u^2}{u^{5-\alpha}}\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{u^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)(y_1-x_1)^2-u^2\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)(y_1-x_1)^2-|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p106 ラプラシアン\(\Delta\)
ラプラシアン\(\Delta\) の定義（p58）より、
\begin{eqnarray}\Delta\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)&=&\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)(y_1-x_1)^2-|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&&+(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)(y_2-x_2)^2-|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&&+(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)(y_3-x_3)^2-|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\nonumber\\ && \left\{(3-\alpha)\left\{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\right\}-3|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)\left|\left(\begin{array}{c}y_1-x_1\\y_2-x_2\\y_3-x_3\end{array}\right)\right|^2-3|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}\left\{(3-\alpha)\left|\vec{y}-\vec{x}\right|^2-3|\vec{y}-\vec{x}|^2\right\}\nonumber\\&=&(1-\alpha)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2}{|\vec{y}-\vec{x}|^{5-\alpha}}(3-\alpha-3)\nonumber\\&=&-\alpha(1-\alpha)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\nonumber\end{eqnarray}
p107 微小立体図形の体積
半径\(r\) の微小変化を\(dr\) と表現すると、\[AB=dr\]弧度法では半径\(r\)とラジアン角をかけたものが円弧の長さなので、角度\(\theta\) の微小変化を\(d\theta\)と表現すると\[AC=r~d\theta\]三角形\(OAE\)において、\begin{eqnarray}AE&=&OA~\sin\theta\nonumber\\&=&r~\sin\theta\nonumber\end{eqnarray}なので、半径\(EA\) の円において微小角度\(d\varphi\) に対応する円弧\(AD\) の長さは、\begin{eqnarray}AD&=&AE~d\varphi\nonumber\\&=&r~\sin\theta~d\varphi\nonumber\end{eqnarray}となる。
よって、微小立体図形の体積は、これを直方体と考えて、\begin{eqnarray}AB\times AC \times AD&=&dr \times r~d\theta \times r~\sin\theta~d\varphi\nonumber\\&=&r^2~\sin\theta~dr~d\theta~d\varphi\nonumber\end{eqnarray}
ｐ107 球座標と直交座標
微小立体図形で\(V_i\) 内の全領域を埋め尽くすことを考えると、球座標\((r,~\theta,~\varphi)\) を各々\begin{eqnarray}r&:&0\rightarrow \varepsilon\nonumber\\ \theta&&0\rightarrow \pi \nonumber\\ \varphi&& 0\rightarrow 2\pi\nonumber\end{eqnarray}の範囲内で動かして、微小立体図形の個別体積\[ r^2~\sin\theta~dr~d\theta~d\varphi \]を足し上げていけば、\(V_i\) の体積となる。すなわち、\(V_i\) の体積は、球座標\(r,~\theta,~\varphi\) を用いて、\begin{eqnarray}\int_{V_i}~r^2~\sin\theta~dr~d\theta~d\varphi&=&\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\varepsilon}r^2~\sin\theta~dr~d\theta~d\varphi\nonumber\\&=&\left(\int_0^{\varepsilon}r^2 ~dr \right) \left(\int_0^{\pi}\sin\theta ~d\theta\right) \left(\int_0^{2\pi}1~d\varphi\right)\nonumber\end{eqnarray}と表される（１行目［重積分］を２行目［１変数積分の積］のように変形し得ることにつき高校数学の美しい物語「重積分の計算方法と例題３題」参照）。
これは、直交座標\((y_1,~y_2,~y_3)\) による体積分\[\int_{V_i}~1~d\vec{y}\]と等しい筈であるから、\[\int_{V_i}~1~d\vec{y}=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^{\varepsilon}r^2~\sin\theta~dr~d\theta~d\varphi\]とし得る。
p107 \(\Delta \frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\) の符号
ｐ106 で求めたとおり、\[\Delta \frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}=-(1-\alpha)\alpha\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\]p105 のとおり、\(\alpha\) は、\[\alpha>0\]であり、\[\alpha\rightarrow +0\]を考えるので、与式は、\[-(1-\alpha)\alpha\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{3-\alpha}}\fallingdotseq -1(+0)\frac{1}{|\cdots|^3}\]となり、全体の符号は負となる。
ｐ107 左辺
\begin{eqnarray}\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}M\Delta\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}d\vec{y}&=&M\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}\Delta\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}d\vec{y}\nonumber\\&=&M\left\{-(1-\alpha)\varepsilon^\alpha\right\}\nonumber\\&=&-M(1-\alpha)\varepsilon^\alpha\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\alpha\rightarrow +0\)を考えると、与式は、\begin{eqnarray}-M(1-\alpha)\varepsilon^\alpha&\fallingdotseq&-M\times 1 \times 1\nonumber\\&=&-M\nonumber\end{eqnarray}
p107～108 \(\varepsilon \rightarrow 0\)
p104 のとおり、\(V_i\) は、\(\vec{x}\) を中心とした半径\(\varepsilon\) の球であるから、\[\varepsilon \rightarrow 0\]のとき、\[V_i~:|\vec{y}-\vec{x}|\rightarrow 0\]となり、球体 \(V_i\) は小さくなる。
このとき、\[\vec{y}\fallingdotseq\vec{x}\]となっているから、\[f(\vec{y})\fallingdotseq f(\vec{x})\]となる。
p107 のとおり、\(V_i\) での\(f(\vec{y})\) の最小値を\(m\)、最大値を\(M\)としているので、\[m\leqq f(\vec{y})\leqq M\]すなわち、\(\varepsilon \rightarrow 0\)のとき、\[m\leqq f(\vec{x})\leqq M\]\[-M\leqq -f(\vec{x})\leqq -m\]が成立する。
この式とｐ107末尾２行目の式\[-M\leqq \lim_{\alpha \rightarrow +0}\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}f(\vec{y})\Delta\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)d\vec{y}\leqq -m\]とを比較すると、\(\varepsilon \rightarrow 0\)のとき、\[-M\fallingdotseq -m\]となることから、\[\lim_{\alpha \rightarrow +0}\frac{1}{4\pi}\int_{V_i}f(\vec{y})\Delta\left(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\right)d\vec{y}=-f(\vec{x})\]が成立している。
p108 波動方程式
\[\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\phi(\vec{x},t)=-f(\vec{x},t)\]の左辺にある演算子は、p203 のダランベルシアン\(\Box\)\begin{eqnarray}\Box&=&\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\nonumber\end{eqnarray}
p109 \(V_e\) 領域
領域\(V\) の外側 \(V_e\)（\((f(\vec{x},t)=0\)）では、
\[\vec{y}\neq\vec{x}\]
であるので、式１．１８の第２項の分母
\[|\vec{y}-\vec{x}|\]
は、０とならず、第２項は非積分関数が発散しない。
p109 \(\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\) の\(x_1\) 偏微分
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\right\}^{\frac{1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}u\times \frac{\partial}{\partial u}u^{\frac{1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}(y_1^2-2x_1y_1+x_1^2+\cdots)\times \frac{1}{2}u^{\frac{-1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}(-2y_1+2x_1)\times\frac{1}{2}\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{x_1-y_1}{cu^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{x_1-y_1}{c\left\{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\right\}^{\frac{1}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\end{eqnarray}
＊上付き文字\(x^1,~y^1\)等は、下付き文字\(x_1,~y_1\)等で表記した。
＊計算過程で、\(u=(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\)とおいた。
＊\(|\vec{y}-\vec{x}|=\left|\left(\begin{array}{c}y_1-x_1\\y_2-x_2\\y_3-x_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}=\sqrt{u}\) を用いた。
p109 式１．２０赤字注 \(\frac{1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\) の\(x_1\)微分
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}u \times \frac{\partial}{\partial u}\frac{1}{\sqrt{u}}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial x_1}(y_1^2-2x_1y_1+x_1^2\cdots)\times \frac{\partial}{\partial u}u^{\frac{-1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{c}(-2y_1+2x_1)\times \frac{-1}{2}u^{\frac{-3}{2}}\nonumber\\&=&\frac{-1}{2}\frac{2}{c}\frac{x_1-y_1}{u^{\frac{3}{2}}}\nonumber\\&=&\frac{-1}{c}\frac{x_1-y_1}{\sqrt{u}^3}\nonumber\\&=&\frac{-1}{c}\frac{x_1-y_1}{|\vec{y}-\vec{x}|^3}\nonumber\end{eqnarray}
p109 式１．２１ \(t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\) の\(x_1\) 微分
\(t\) は、\(x_1\) との関係では定数であること、及び式１．１９の結果から、
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\left(t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right) &=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right) \nonumber\\&=&\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\end{eqnarray}
ｐ110 式１．２２ １～２行目
式１．２１の結果から、\begin{eqnarray}\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}f\left(\vec{y},t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right)&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{\frac{\partial}{\partial x_1}f\left(\vec{y},t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right)\right\}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\right\}\nonumber\end{eqnarray}となり、これに、ｐ26の関数の積の微分\[(fg)'=f'g+fg'\]を適用すると、p110 の２行目の式となる。
ｐ110 式１．２２ ２～３行目
２行目第１項は、以下のとおり変形し（微分の順序を入れ替えて、式１．２１の結果を適用）、３行目第１項となる。
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}&=&\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial}{\partial x_1}f(\vec{y},u)\right)\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial u}\left\{\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\right\}\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial^2 u^2}f(\vec{y},u)\left(\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\right)^2\nonumber\end{eqnarray}
p110 \(fg\) の２階微分
\begin{eqnarray}(fg)''&=&((fg)')'\nonumber\\&=&(f'g+fg')'\nonumber\\&=&(f'g)'+(fg')'\nonumber\\&=&(f''g+f'g')+(f'g'+fg'')\nonumber\\&=&f''g+2f'g'+fg''\nonumber\end{eqnarray}
p110 赤字部分（公式１．３５の \(\mathrm{grad}f\) を計算するときの要領）
\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial x_1}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}&=&\frac{\partial}{\partial x_1}u\times \frac{\partial}{\partial u}\frac{1}{\sqrt{u}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}\left\{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2\right\}\times \frac{\partial}{\partial u}u^{\frac{-1}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial x_1}(y_1^2-2x_1y_1+x_1^2+\cdots)\times \left(-\frac{1}{2}\right)u^{\frac{-3}{2}}\nonumber\\&=&(-2y_1+2x_1)\times \left(\frac{-1}{2}\right)\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\nonumber\\&=&(y_1-x_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{2\times\frac{3}{2}}}\nonumber\\&=&-(x_1-y_1)\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^3}\nonumber\\&=&-\frac{x_1-y_1}{|\vec{y}-\vec{x}|^3}\nonumber\end{eqnarray}
＊\(|\vec{y}-\vec{x}|=\left|\left(\begin{array}{c}y_1-x_1\\y_2-x_2\\y_3-x_3\end{array}\right)\right|=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+(y_3-x_3)^2}=\sqrt{u}\) を用いた。
p110 最終行第２項への式変形
\begin{eqnarray}&&\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}+2\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{x_1-y_1}{c|\vec{y}-\vec{x}|}\left(-\frac{x_1-y_1}{|\vec{y}-\vec{x}|^3}\right)\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}-2\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-(x_1-y_1)^2-2(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-3(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}\nonumber\end{eqnarray}
p111 式１．１８の第２項
式１．１８の第２項の被積分関数\[\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{f\left(\vec{y},t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right)}{|\vec{y}-\vec{x}|}\right)\]について考える。109頁のとおり、\[u=t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\]と表記することにすると、与式は、ラプラシアン\(\Delta\)の定義に従い、以下のような内容となる。\begin{eqnarray}\left(\Delta-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{f\left(\vec{y},u\right)}{|\vec{y}-\vec{x}|}\right)&=&\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\right)\left(\frac{f\left(\vec{y},u\right)}{|\vec{y}-\vec{x}|}\right)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\) にかかる展開結果は、以下のとおりである（１１０頁の末尾）。
\[=\frac{\partial^2}{\partial u^2}f(\vec{y},u)\frac{(x_1-y_1)^2}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|^3}+\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-3(x_1-y_1)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}+f(\vec{y},u)\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\]同様に、\(\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\) にかかる展開結果は、\[=\frac{\partial^2}{\partial u^2}f(\vec{y},u)\frac{(x_2-y_2)^2}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|^3}+\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-3(x_2-y_2)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}+f(\vec{y},u)\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\]となり、同様に、\(\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}\) にかかる展開結果は、\[=\frac{\partial^2}{\partial u^2}f(\vec{y},u)\frac{(x_3-y_3)^2}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|^3}+\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\frac{|\vec{y}-\vec{x}|^2-3(x_3-y_3)^2}{c|\vec{y}-\vec{x}|^4}+f(\vec{y},u)\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\]となる。一方、\(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\)にかかる展開結果は、以下のようになる。\begin{eqnarray}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{f(\vec{y},u)}{|\vec{y}-\vec{x}|}&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial^2}{\partial t^2}f(\vec{y},u)\nonumber \\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t}u\times \frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial t} \left(t+\frac{|\vec{y}-\vec{x}|}{c}\right)\times \frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial t}\left( 1\times \frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}\left(\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial u}\cdot1\cdot \left(\frac{\partial}{\partial u}f(\vec{y},u)\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{c^2|\vec{y}-\vec{x}|}\frac{\partial}{\partial u^2}f(\vec{y},u)\nonumber\end{eqnarray}
p112 １～２行目
積分される \(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|^{1-\alpha}}\) には、\(t\) が含まれていないので、その定積分には、\(-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\) は反映されない（定積分の計算で、同じ値が＋と－されるため）。
波動方程式の特殊解（証明）の全体枠組み図解について、「ポアソン方程式（Poisson's equation）と波動方程式（wave equation）」２（２）
p112 ３行目
定理１．３９と同じ論法＝p107～108 の最少値と最大値の挟み込みの無限収縮。
§１７ 変分法
p115 微分と積分の順序の交換
p19 のとおり、微分と積分の順序は常に交換可能とする前提。
p115 \(\int_0^T\cdots dx\)
\[\int_0^T\cdots dx\]内にある関数\[F(x,~y,~y')\]は、３つの変数\[\left\{\begin{array}{x}x\\y=u(x)+\varepsilon p(x)\\y'=u'(x)+\varepsilon p'(x)\end{array}\right.\]からなる３変数関数であるが、２変数 \(y,~y'\) が \(\varepsilon\) の関数であることから、\(\varepsilon\) による\(F(x,~y,~y')\) の偏微分は、２変数関数の合成関数の微分の公式\[\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}\]を用いて（同公式の証明についてKIT数学ナビゲーション）、以下のようになる（\(F\) の括弧内表記は省略）。\begin{eqnarray}\frac{\partial}{\partial\varepsilon}F(x,~y,~y')&=&\frac{d}{\partial\varepsilon}F\nonumber\\&=&\frac{\partial y}{d\varepsilon}\frac{\partial}{\partial y}F+\frac{\partial y'}{\partial \varepsilon}\frac{\partial}{\partial y'}F\nonumber\end{eqnarray}ここで、\begin{eqnarray}\frac{\partial y}{\partial\varepsilon}&=&\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left\{u(x)+\varepsilon p(x)\right\}\nonumber\\&=&p(x)\nonumber\end{eqnarray}であり、\begin{eqnarray}\frac{\partial y'}{\partial\varepsilon}&=&\frac{\partial}{\partial \varepsilon}\left\{u'(x)+\varepsilon p'(x)\right\}\nonumber\\&=&p'(x)\nonumber\end{eqnarray}であるから、上記\(F\) の\(\varepsilon\) による偏微分は、\[\frac{\partial}{\partial \varepsilon}F=p(x)\frac{\partial}{\partial y}F+p'(x)\frac{\partial}{\partial y'}F\]となる。
よって、これを \(x=0\rightarrow T\) の範囲で定積分したものは、\begin{eqnarray}&=&\int_0^T\left(p(x)\frac{\partial}{\partial y}F+p'(x)\frac{\partial}{\partial y'}F\right)~dx\nonumber\\&=&\int_0^T\left(\frac{\partial F}{\partial y}p(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}p'(x)\right)~dx\nonumber\end{eqnarray}である。
p115 部分積分
\begin{eqnarray}(uv)'&=&uv'+u'v\nonumber\\ \int\left\{(uv)'\right\}&=&\int(uv')+\int(u'v)\nonumber\\ \left[uv\right]&=&\int(uv')+\int(u'v)\nonumber\\ [uv]-\int(uv')&=&\int(u'v)\nonumber\end{eqnarray}
ここでの部分積分は、\[\left\{\begin{array}{x}u=p(x)\\v=\frac{\partial F}{\partial y'}\end{array}\right.\]として式変形をしている。
ｐ116 汎関数\(V(y)\) が極値を採るときの\(y\)
汎関数 \(V\) が極値をとるときの \(y\) を \(u(x)\) と置いているので（ｐ114）、\(V(y)\) は、\(V(u(x))\) のときに\(\varepsilon\) に対する変化率\(\frac{dV}{d\varepsilon}\)が \(0\) となる。すなわち、p116 の第１行目 の右辺で \(\varepsilon=0\) としたものが、０となる。\(p(x)\) は任意の式なので、\(\int_0^T\) の被積分関数に\(\varepsilon=0\) としたものが、０である必要がある。
p117 \(\frac{d}{dx}F_{y'}\)
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}F_{y'}&=&\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}F\nonumber\\&=&\frac{d}{dx}\frac{\partial}{\partial y'}(12xy+(y')^2)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(12xy\) は、\(y'\) による偏微分との関係では定数であるので、与式は、\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}F_{y'}&=&\frac{d}{dx}(2y')\nonumber\\&=&\frac{d^2}{dx^2}(2y)\nonumber\\&=&2y''\nonumber\end{eqnarray}
ｐ117 \(F_y\)
\begin{eqnarray}F_y&=&\frac{\partial}{\partial y}F\nonumber\\&=&\frac{\partial}{\partial y}(12xy+(y')^2)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\((y')^2\) は、\(y\) による偏微分との関係では定数であるので、与式は、\[F_y=12x\]
§１８ アインシュタインの縮約記法
p119 アインシュタインの縮約記法
- 走る添え字 …変化させたものを合計する（一つの式）。
- 止まっている添え字 …場合分けをする（複数の式）。
止まっている添え字 \(i,~m,~n\) の組合せは、添え字の変化幅が、ｐ118のとおり２種類（１または２）の場合、以下の８（\(=2^3\)）通り。
以上を踏まえると、\begin{eqnarray}a_{ijk}~b^j~
c^k_{mn}&=&a_{i1k}~b^1~c^k_{mn}+a_{i2k}~b^2~c^k_{mn}\nonumber\\&=&a_{i11}~b^1~c^1_{mn}+a_{i12}~b^1~c^2_{mn}+a_{i21}~b^2~c^1_{mn}+a_{i22}~b^2~c^2_{mn}\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{mn}+a_{112}~b^1~c^2_{mn}+a_{121}~b^2~c^1_{mn}+a_{122}~b^2~c^2_{mn}\\a_{211}~b^1~c^1_{mn}+a_{212}~b^1~c^2_{mn}+a_{221}~b^2~c^1_{mn}+a_{222}~b^2~c^2_{mn}\end{array}\right.\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{1n}+a_{112}~b^1~c^2_{1n}+a_{121}~b^2~c^1_{1n}+a_{122}~b^2~c^2_{1n}\\a_{111}~b^1~c^1_{2n}+a_{112}~b^1~c^2_{2n}+a_{121}~b^2~c^1_{2n}+a_{122}~b^2~c^2_{2n}\\a_{211}~b^1~c^1_{1n}+a_{212}~b^1~c^2_{1n}+a_{221}~b^2~c^1_{1n}+a_{222}~b^2~c^2_{1n}\\a_{211}~b^1~c^1_{2n}+a_{212}~b^1~c^2_{2n}+a_{221}~b^2~c^1_{2n}+a_{222}~b^2~c^2_{2n}\end{array}\right.\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{11}+a_{112}~b^1~c^2_{11}+a_{121}~b^2~c^1_{11}+a_{122}~b^2~c^2_{11}\\a_{111}~b^1~c^1_{12}+a_{112}~b^1~c^2_{12}+a_{121}~b^2~c^1_{12}+a_{122}~b^2~c^2_{12}\\a_{111}~b^1~c^1_{21}+a_{112}~b^1~c^2_{21}+a_{121}~b^2~c^1_{21}+a_{122}~b^2~c^2_{21}\\a_{111}~b^1~c^1_{22}+a_{112}~b^1~c^2_{22}+a_{121}~b^2~c^1_{22}+a_{122}~b^2~c^2_{22}\\a_{211}~b^1~c^1_{11}+a_{212}~b^1~c^2_{11}+a_{221}~b^2~c^1_{11}+a_{222}~b^2~c^2_{11}\\a_{211}~b^1~c^1_{12}+a_{212}~b^1~c^2_{12}+a_{221}~b^2~c^1_{12}+a_{222}~b^2~c^2_{12}\\a_{211}~b^1~c^1_{21}+a_{212}~b^1~c^2_{21}+a_{221}~b^2~c^1_{21}+a_{222}~b^2~c^2_{21}\\a_{211}~b^1~c^1_{22}+a_{212}~b^1~c^2_{22}+a_{221}~b^2~c^1_{22}+a_{222}~b^2~c^2_{22}\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}となる（走る添え字に関し１行目で\(j\)、２行目で\(k\)について場合わけをして合計。止まっている添え字に関し３行目で\(i\)、４行目で\(m\)、最終行で\(n\)について場合わけをして式を分けた）。
c^k_{mn}&=&a_{i1k}~b^1~c^k_{mn}+a_{i2k}~b^2~c^k_{mn}\nonumber\\&=&a_{i11}~b^1~c^1_{mn}+a_{i12}~b^1~c^2_{mn}+a_{i21}~b^2~c^1_{mn}+a_{i22}~b^2~c^2_{mn}\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{mn}+a_{112}~b^1~c^2_{mn}+a_{121}~b^2~c^1_{mn}+a_{122}~b^2~c^2_{mn}\\a_{211}~b^1~c^1_{mn}+a_{212}~b^1~c^2_{mn}+a_{221}~b^2~c^1_{mn}+a_{222}~b^2~c^2_{mn}\end{array}\right.\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{1n}+a_{112}~b^1~c^2_{1n}+a_{121}~b^2~c^1_{1n}+a_{122}~b^2~c^2_{1n}\\a_{111}~b^1~c^1_{2n}+a_{112}~b^1~c^2_{2n}+a_{121}~b^2~c^1_{2n}+a_{122}~b^2~c^2_{2n}\\a_{211}~b^1~c^1_{1n}+a_{212}~b^1~c^2_{1n}+a_{221}~b^2~c^1_{1n}+a_{222}~b^2~c^2_{1n}\\a_{211}~b^1~c^1_{2n}+a_{212}~b^1~c^2_{2n}+a_{221}~b^2~c^1_{2n}+a_{222}~b^2~c^2_{2n}\end{array}\right.\nonumber\\&=&\left\{\begin{array}{x}a_{111}~b^1~c^1_{11}+a_{112}~b^1~c^2_{11}+a_{121}~b^2~c^1_{11}+a_{122}~b^2~c^2_{11}\\a_{111}~b^1~c^1_{12}+a_{112}~b^1~c^2_{12}+a_{121}~b^2~c^1_{12}+a_{122}~b^2~c^2_{12}\\a_{111}~b^1~c^1_{21}+a_{112}~b^1~c^2_{21}+a_{121}~b^2~c^1_{21}+a_{122}~b^2~c^2_{21}\\a_{111}~b^1~c^1_{22}+a_{112}~b^1~c^2_{22}+a_{121}~b^2~c^1_{22}+a_{122}~b^2~c^2_{22}\\a_{211}~b^1~c^1_{11}+a_{212}~b^1~c^2_{11}+a_{221}~b^2~c^1_{11}+a_{222}~b^2~c^2_{11}\\a_{211}~b^1~c^1_{12}+a_{212}~b^1~c^2_{12}+a_{221}~b^2~c^1_{12}+a_{222}~b^2~c^2_{12}\\a_{211}~b^1~c^1_{21}+a_{212}~b^1~c^2_{21}+a_{221}~b^2~c^1_{21}+a_{222}~b^2~c^2_{21}\\a_{211}~b^1~c^1_{22}+a_{212}~b^1~c^2_{22}+a_{221}~b^2~c^1_{22}+a_{222}~b^2~c^2_{22}\end{array}\right.\nonumber\end{eqnarray}となる（走る添え字に関し１行目で\(j\)、２行目で\(k\)について場合わけをして合計。止まっている添え字に関し３行目で\(i\)、４行目で\(m\)、最終行で\(n\)について場合わけをして式を分けた）。
p120 縮約記法と行列
成分 \(a_j^i\) は、行列の\(i\) 行目の\(j\) 列目の成分。すなわち、
\[a^{行}_{列}\]
p121 \((i,~j)\) 成分（\(i\)行目の\(j\)列目の成分）が\(\delta^i_j\) である行列は単位行列
例えば、３行×３列の場合、\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{x}\delta^1_1&&\delta^1_2&&\delta^1_3\\ \delta^2_1&&\delta^2_2&&\delta^2_3\\ \delta^3_1&&\delta^3_2&&\delta^3_3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{x}1&&0&&0\\ 0&& 1 && 0\\ 0&& 0 && 1\end{array}\right)\nonumber\\&=&E\nonumber\end{eqnarray}