一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第３章 テンソルと直線座標のテンソル場）§ 7～12

   石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版　の読後行間補充メモ

（→　正誤表）

（→　事項索引）

（→　第１章　数学の準備）

（→　第２章　物理の準備）

（→　第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§１～６）

 

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• 
  
• §７　物理流のテンソルの定義 
• §８　テンソルの添え字の上げ下げ 
• §９　テンソル場のことはじめ 
• §１０　スカラー場の微分 
• §１１　テンソル場の変換則 
• §１２　テンソル場の変換則　まとめ 

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§７　物理流のテンソルの定義 

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p252　テンソル（物理流）

基底を明示しないが、座標系$K$ には何らかの基底が存在しており、ベクトル $\overrightarrow{x}$ について、成分$$x^i=\left(\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\end{array}\right)$$による表現が可能である。

同様に、座標系$K^{\prime }$ にも何らかの基底が存在しており、同じベクトル $\overrightarrow{x}$ について、成分$$x^{\prime i}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime 1}\\ x^{\prime 2}\end{array}\right)$$による表現が可能である。

両者間の関係を、縮約記法で、$$x^{\prime i}=b_j^i{x}^j$$と表している。

これは、展開すると、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime 1}\\ x^{\prime 2}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}{b}_j^1{x}^j\\ b_j^2{x}^j\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{b}_1^1{x}^1+b_2^1{x}^2\\ b_1^2{x}^1+b_2^2{x}^2\end{array}\right)\end{array}$$との内容を現している。

p253　$b_j^i{a}_k^j={\delta }_k^i$

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)$$

$$B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1^1& & b_2^1\\ b_1^2& & b_2^2\end{array}\right)$$

について、行列$A$ と行列$B$ とが逆行列であることを示している（p121）。

p253　下付き添え字の場合　$x_i$

基底は明示されていないが、相対基底は存在しており、相対基底の成分$$x_i=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$による表現が可能である。

この相対基底の別座標系表示（ダッシュ付き）を考えると、元の座標系と別座標系間の成分の関係は、縮約記法で、$$x_k^{\prime }=a_k^p{x}_p$$となる。

通常の基底の場合$$x^{\prime i}=b_m^i{x}^m$$とあわせて表現すると、$$x_k^{\prime i}=b_m^i{a}_k^p{x}_p^m$$と表される。

p253　数の組 $S_{p\cdots q}^{m\cdots n}$

$$S_{\underset{s\mathrm{個}}{\underbrace{p\cdots q}}}^{\stackrel{r\mathrm{個}}{\overbrace{m\cdots n}}}$$は、（$r+s$）次元の多次元配列。

例えば、２次元配列として、$$S_p^m=\left(\begin{array}{ccc}{x}_1^1& & x_2^1\\ x_1^2& & x_2^2\end{array}\right)$$を考えると、$$S^{\prime }{}_k^i=b_m^i{a}_k^p{S}_p^m$$は、縮約表記であり、行列形式で表現すると、$$\left(\begin{array}{ccc}{S}^{\prime }{}_1^1& & S^{\prime }{}_2^1\\ S^{\prime }{}_1^2& & S^{\prime }{}_2^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{b}_m^1{a}_1^p{S}_p^m& & b_m^1{a}_2^p{S}_p^m\\ b_m^2{a}_1^p{S}_p^m& & b_m^2{a}_2^p{S}_p^m\end{array}\right)$$を示しており、例えば、１行２列目の要素についてみると、$$\begin{array}{rcl}{S}^{\prime }{}_2^1& =& b_m^1{a}_2^p{S}_p^m\\ & =& b_1^1{a}_2^1{S}_1^1+b_1^1{a}_2^2{S}_2^1+b_2^1{a}_2^1{S}_1^2+b_2^1{a}_2^2{S}_2^2\end{array}$$を示している。

p255　末尾９行目 ${\delta }_m^v\cdots T_{vp}^{mn}=\cdots T_{mp}^{mn}$

$v=1$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_m^1{T}_{1p}^{mn}& =& {\delta }_1^1{T}_{1p}^{1n}+{\delta }_2^1{T}_{1p}^{2n}\\ & =& 1T_{1p}^{1n}+0T_{1p}^{2n}\\ & =& T_{1p}^{1n}\end{array}$$他方で、$v=2$ のときは、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_m^2{T}_{2p}^{mn}& =& {\delta }_1^2{T}_{2p}^{1n}+{\delta }_2^2{T}_{2p}^{2n}\\ & =& 0T_{2p}^{1n}+1T_{2p}^{2n}\\ & =& T_{2p}^{2n}\end{array}$$よって、両場合をまとめると、$${\delta }_m^v{T}_{vp}^{mn}=T_{mp}^{mn}$$となることを式変形に用いている。

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§８　テンソルの添え字の上げ下げ 

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p258　６行目　$x_l^k={\delta }_l^k$

題意の$T$ は、その基底 $\overrightarrow{e_k}\otimes \overrightarrow{f^l}$ のうち、$k=l$ となる基底（$\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^1},\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^2}$ ）の係数が１で、その他の基底（$\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{f^2},\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{f^1}$ ）の係数は０であるため、その成分 $x_l^k$ は、 $$\begin{array}{rcl}{x}_l^k& =& \left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right)\\ & =& {\delta }_l^k\end{array}$$ と表すことができる。

p259　問題３．３６　赤色の $◻$

題意は、両基底のテンソル積を求め、そのうえで、赤色の $◻$ について縮約を採れ、との趣旨である。

p259　赤字注　「最後の $e$ を一番前に置くと」

成分添え字に対応する基底であることが基底添え字の表記から分かれば、基底の表記順序は固定されず、どこに置いても良いという表記ルール（p214）に従った。

p261　元 $S,g$ の縮合

先ず、元 $S,g$ のテンソル積を求めると（ベクトルの上矢印を省略）、$$\begin{array}{rcl}S\otimes g& =& 3\cdot 3e_1\otimes e_2\otimes f^2\otimes f^1\otimes f^1-3\cdot 5e_1\otimes e_2\otimes f^2\otimes f^1\otimes f^2\cdots \\ & & \cdots -4\cdot (-1)e_2\otimes e_2\otimes f^1\otimes f^2\otimes f^1-4\cdot 2e_2\otimes e_2\otimes f^1\otimes f^2\otimes f^2\end{array}$$この縮約（各項の最初の $e$ の添え字と末尾２つめの$f$ の添え字について）を採ると、（１）$\cdots$ 部分（最初の $e$ の添え字と末尾２つめの$f$ の添え字が一致しない項）は消え、（２）残った項の最初の $e$ と末尾２つめの$f$ も消えるので、$$\begin{array}{rcl}U& =& 3\cdot 3e_2\otimes f^2\otimes f^1-3\cdot 5e_2\otimes f^2\otimes f^2\\ & & -4\cdot (-1)e_2\otimes f^1\otimes f^1-4\cdot 2e_2\otimes f^1\otimes f^2\\ & =& 9e_2\otimes f^2\otimes f^1-15e_2\otimes f^2\otimes f^2+4e_2\otimes f^1\otimes f^1-8e_2\otimes f^1\otimes f^2\end{array}$$となる。

ここで、問題文の指示に従い、元$g$ にあった基底$f$ で縮合後もなお残っているもの（＝各項右端の$f$）を、元$S$ に初めあった $e$ の箇所（＝各項左端）に置きなおすと（基底順序を拘束しない表記ルール=p214 のため場所変更可）、$$\begin{array}{rcl}U& =& 9f^1\otimes e_2\otimes f^2-15f^2\otimes e_2\otimes f^2+4f^1\otimes e_2\otimes f^1-8f^2\otimes e_2\otimes f^1\end{array}$$が得られる。

p261　単位テンソル$\overrightarrow{I}$

$\overrightarrow{S}$ と $\overrightarrow{g}$ との縮合 $\overrightarrow{U}$ を作る。

この $\overrightarrow{U}$  と $\overrightarrow{h}(=\overrightarrow{g^{-1}})$ との縮合は、$\overrightarrow{S}$ に等しい。

$\overrightarrow{g}$ と $\overrightarrow{h}(=\overrightarrow{g^{-1}})$ との縮合$\overrightarrow{I}$ を作る。

この単位テンソル $\overrightarrow{I}$  と $\overrightarrow{S}$ との縮合は、$\overrightarrow{S}$ に等しい。

p262　$g^{np}{g}_{pj}={\delta }_j^n$

（$n,p$）成分が$g^{np}$ である行列$$\left(\begin{array}{ccc}{a}^{11}& & a^{12}\\ a^{21}& & a^{22}\end{array}\right)$$と（$p,j$）成分が$g_{pj}$ である行列$$\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& & b_{12}\\ b_{21}& & b_{22}\end{array}\right)$$の積は、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{ccc}{a}^{11}& & a^{12}\\ a^{21}& & a^{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_{11}& & b_{12}\\ b_{21}& & b_{22}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{a}^{11}{b}_{11}+a^{12}{b}_{21}& & a^{11}{b}_{12}+a^{12}{b}_{22}\\ a^{21}{b}_{11}+a^{22}{b}_{21}& & a^{21}{b}_{12}+a^{22}{b}_{22}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}{a}^{n1}{b}_{11}+a^{n2}{b}_{21}& & a^{n1}{b}_{12}+a^{n2}{b}_{22}\end{array}\right)\\ & =& a^{n1}{b}_{1j}+a^{n2}{b}_{2j}\\ & =& a^{np}{b}_{pj}\end{array}$$と縮約表記できる（$n,j$ は止まった添え字［分割］、$p$ は走る添え字［和］）。

上記２つの行列が互いに逆行列であるとき、その積は、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right)& =& {\delta }_k^i\\ & =& {\delta }_j^n\end{array}$$と縮約表記できる（$i,k$ は止まった添え字［分割］であり、任意の添え字に変更できる）。

従って、$$g^{np}{g}_{pj}={\delta }_j^n$$が成立する。

p262　${\delta }_j^n{A}_m^{kj}=A_m^{kn}$

$A$ の走る添え字 $j$ を$\delta$ の止まった添え字 $n$ に入れ替えた（p121）。

p262　対象テンソル　$g_{ij}=g_{ji}$

$i$ 行 $j$ 列目の要素が、$j$ 行 $i$ 列目の要素に等しいテンソル。

例えば、$$g_{ij}=\left(\begin{array}{ccccc}a& & b& & c\\ b& & d& & e\\ c& & e& & f\end{array}\right)$$$$g_{ji}=\left(\begin{array}{ccccc}a& & b& & c\\ b& & d& & e\\ c& & e& & f\end{array}\right)$$

の場合、$g_{ij}$ の右添え字 $j$ 列（例：３列目＝$c,e,f$）との縮合をとることは、左添え字 $i$ 行（例：３行目＝$c,e,f$）との縮合をとることと同じ結果となる。

p263　転置行列　${}^{t}A$

例えば、$$B=\left(\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ 4& & 5& & 6\\ 7& & 8& & 9\end{array}\right)$$の転置行列は、$${}^{t}B=\left(\begin{array}{ccccc}1& & 4& & 7\\ 2& & 5& & 8\\ 3& & 6& & 9\end{array}\right)$$この場合の行列と転置行列とは等しくない。$$B\ne {}^{t}B$$

$i$ 行 $j$ 列目の要素が、$j$ 行 $i$ 列目の要素に等しい行列の場合は、その転置行列と等しい。

例えば、$$A=\left(\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ 2& & 4& & 5\\ 3& & 5& & 6\end{array}\right)$$

の転置行列$${}^{t}A=\left(\begin{array}{ccccc}1& & 2& & 3\\ 2& & 4& & 5\\ 3& & 5& & 6\end{array}\right)$$

は、元の行列と等しい（対称行列）。$$A={}^{t}A$$

p263　逆行列 $A^{-1}$

例えば、対称行列$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& & 2\\ 2& & 3\end{array}\right)$$の逆行列は、$$\begin{array}{rcl}{A}^{-1}& =& \frac{1}{1\cdot 3-2\cdot 2}\left(\begin{array}{ccc}3& & -2\\ -2& & 1\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccc}-3& & 2\\ 2& & -1\end{array}\right)\end{array}$$である。

この$i$ 行 $j$ 列目の要素は、$j$ 行 $i$ 列目の要素に等しい（対称行列）。

$$A^{-1}={}^t\left(A^{-1}\right)$$

p263　３行目　${}^t\left(A{A}^{-1}\right)={}^t\left(A^{-1}\right){}^{t}A$

公式（積の転置は、順番を交換した転置の積）$${}^t(AB)={}^{t}B{}^{t}A$$を用いた。

（参考：転置行列の基本的な４つの性質と証明［高校数学の美しい物語］）

p263　$V$ の次元が $n$ 次元

$V$ の次元が $n$ 次元のとき

• $V^{\ast }$ の次元は $n$ 次元
• $T_1^2(V)=V\otimes V\otimes V^{\ast }$ の基底は $n^3$ 個
• $T_1^2(V)$ の元$A$ の成分 $A_m^{kj}$ は $n^3$ 次元配列

p263　縮合と情報量保存

縮合は、テンソル積を特定の添え字で縮約する演算なので、当然に情報量が保存されているわけではない。$g$ と $g^{-1}$ が逆行列であるため、結果的に、$A_m^{kj}$ に戻るに過ぎない。

p264　テンソル$A$ の表し方

図表のどれを用いてもかまわない（$\because$ $g,g^{-1}$ で変換できるため）

p265　７～８行目　$g^{ki}{g}_{ij}={\delta }_{{}^j}^k$

$g^{ki},g_{ij}$ は逆行列であるため。

p265　９行目　${\delta }_j^k{g}^{lj}=g^{lk}$

$g$ の走る添え字 $j$ を$\delta$ の止まった添え字 $k$ に入れ替えた（p121）。

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§９　テンソル場のことはじめ 

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p267　位置$\overrightarrow{x}$ での 応力テンソル ${\tau }_x$

３行３列の行列たる応力テンソル$\tau$ （p137）は、以下のとおり。$$\begin{array}{rcl}\tau & =& \left(\begin{array}{c}\overrightarrow{{\tau }_x}\\ \overrightarrow{{\tau }_y}\\ \overrightarrow{{\tau }_z}\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{ccccc}{\tau }_{xx}& & {\tau }_{xy}& & {\tau }_{xz}\\ {\tau }_{yx}& & {\tau }_{yy}& & {\tau }_{yz}\\ {\tau }_{zx}& & {\tau }_{zy}& & {\tau }_{zz}\end{array}\right)\end{array}$$

テンソル場は、テンソルの成分が座標 $\overrightarrow{x}$ の関数となっている。

$${\tau }_x=\left(\begin{array}{ccccc}{\tau }_{xx}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{xy}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{xz}(\overrightarrow{x})\\ {\tau }_{yx}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{yy}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{yz}(\overrightarrow{x})\\ {\tau }_{zx}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{zy}(\overrightarrow{x})& & {\tau }_{zz}(\overrightarrow{x})\end{array}\right)$$

p267　${\tau }_x\overrightarrow{n_x}$ は、(1, 1) テンソルと (1, 0) テンソルの縮合

応力テンソル ${\tau }_x$ は、行と列の２つの次元を有する。これを$\overrightarrow{e},\overrightarrow{f}$ の２つの基底に対応させると、(1, 1) テンソルとみなせる。

$\overrightarrow{n_x}$ は、三次元ベクトルであり、$\overrightarrow{e_i}$ という１つの基底で表わす（$i=1,2,3$）ことにすると、(1, 0) テンソルとみなせる。

p271　$f=x^1+2x^2$

$x^1$ 軸（赤色）、$x^2$ 軸（緑色）、$f(x^1,x^2)$ 軸（青色）とした場合のグラフは、以下のとおり。

p271　$f=3x^1-2x^2$

$x^1$ 軸、$x^2$ 軸、$f(x^1,x^2)$ 軸上のグラフは、以下のとおり。

小問（１）ダッシュ付き成分表示への変換則は、行列で与えられているので、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime 1}\\ x^{\prime 2}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}3& & -1\\ 5& & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}3x^1-x^2\\ -5x^1+2x^2\end{array}\right)\end{array}$$これに、$$\left(\begin{array}{c}{x}^1\\ x^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$を代入して、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime 1}\\ x^{\prime 2}\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}3-1\\ -5+2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)\end{array}$$

p272　スカラー場は、（0, 0）テンソル場

線形空間$V$ での座標変換後も、スカラー場は同一点であれば同じ値となる。テンソル場$T_0^0(V)$ は、基底のない成分のみの多次元配列であり、これをスカラーとみなす（p225参照）。テンソル場$T_0^0(V)$ の元$T$ の成分の書換則は、

$$T^{\prime }(x^{\prime })=T(x)$$と表記できる。

これは、定義３．３８によれば、$a_j^i$ が０個（$s=0$）、$b_j^i$ が０個（$r=0$）の、（0, 0）テンソル場と言える。

p273　$(x^1{)}^2,(x^2{)}^2$

括弧の外の２は、２乗の趣旨か。

p274　ベクトル場は、（1, 0）テンソル場

線形空間$V$ での座標変換により、テンソル場$T_s^r$の元$T$ の成分の書換則は、

$$T^{\prime i}(x^{\prime })=b_j^i{T}^j(x)$$と表記できる。

これは、定義３．３８によれば、$a_j^i$ が0個（$s=0$）、$b_j^i$ が1個（$r=1$）の、（1, 0）テンソル場と言える。

p274　表現行列 $P^{\prime }=A^{-1}PA$

図左下から左上への基底変換 $\overrightarrow{e}⟶\overrightarrow{e^{\prime }}$ の取替行列を$A$ とすると、

• 図左下から左上への成分変換 $\overrightarrow{x^i}⟶\overrightarrow{x^{\prime i}}$ の取替行列は$A^{-1}$ 
• 図左上から左下への成分変換 $\overrightarrow{x^{\prime i}}⟶\overrightarrow{x^i}$ の取替行列は$A$ 
• 図右下から右上への成分変換 $\overrightarrow{x^i}⟶\overrightarrow{x^{\prime i}}$ の取替行列は$A^{-1}$

である。

図左上から出発して、右上へ遷移する成分変換ルートは２つあり、

• $P^{\prime }$ ルート　…　図左上→右上
• $A\to P\to A^{-1}$ ルート　…　図左上→左下→右下→右上

の２つである。

両者について、$$P^{\prime }=A^{-1}PA$$ が成立している。

同取替行列はいずれも左側方向から成分 $x^{\prime i}$ に掛ける。右辺の場合、$A,P,A^{-1}$ の順に掛ける。

p275　各点を１次変換する行列 $T$ は、（1, 1）テンソル場

座標の１次変換の表現行列 $T$ とダッシュ付き座標での１次変換の行列 $T^{\prime }$ との書換則は、

$$T_l^{\prime k}(x^{\prime })=b_i^k{a}_l^j{T}_j^i(x)$$と表記できる。

これは、定義３．３８によれば、$a_j^i$ が1個（$s=1$）、$b_j^i$ が1個（$r=1$）の、（1, 1）テンソル場と言える。

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§１０　スカラー場の微分 

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p276　２次元以上になると近づき方は無数

例えば、２次元（面）の場合、面上のある点に近づく方法は、当該点をとおる曲線や直線ごとに２つあり、そのような曲線等は無数に想定できる。

p276　スカラー場

例えば、$$f(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+\frac{(x_2{)}^2}{5}-2$$のスカラー場の場合、立体グラフは、$x_1$ を赤色軸、$x_2$ を緑色軸、$f(x_1,x_2)$ を青色軸として、以下のように描画できる。

各座標にスカラー値が貼りついているイメージでは、以下のようになる。

曲線 $C$ 上の各点にある値がスカラー場の値である。

パラメータ $t$ により、曲線 $C$ 上の座標 ($c_1,c_2$) が定められ、同座標にあるスカラー値 $f(c_1,c_2)$ が一意に定まる。

p277　曲線 $C$ に沿ったスカラー場 $f$ の微分係数

パラメータ $t$ を微小変化させたときのスカラー量 $f$ の変化量のこと。

$$\begin{array}{rcl}\frac{df}{dt}& =& \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t}\\ & =& \frac{\partial f(c_1,c_2)}{\partial x_1}\frac{\partial c_1}{\partial t}+\frac{\partial f(c_1,c_2)}{\partial x_2}\frac{\partial c_2}{\partial t}\\ & =& \frac{\partial f(c_1(t),c_2(t))}{\partial x_1}\frac{\partial c_1(t)}{\partial t}+\frac{\partial f(c_1(t),c_2(t))}{\partial x_2}\frac{\partial c_2(t)}{\partial t}\end{array}$$１行目で、２変数関数の合成関数の微分の公式（定理１．０７。p29）を用いた。

２行目で、$f$ が ($c_1,c_2$) の２変数関数であることを明示。$x_i=c_i$ につき　$x_i$ を $c_i$ へ置き換え 。

３行目で、$c_i$ が パラメータ $t$ の関数であることを明示。

p277　曲線 $C$ と曲線 $D$

曲線 $C$ のパラメータ $t=a$ における点 $A$ の座標は、$$\left(\begin{array}{c}{c}_1(a)\\ c_2(a)\end{array}\right)$$である。

また、曲線 $D$ のパラメータ $e=b$ における点 $A$ の座標は、$$\left(\begin{array}{c}{e}_1(b)\\ e_2(b)\end{array}\right)$$である。

両曲線がともに点 $A$ を通る場合、 点 $A$ の座標は一致するので、$$\left(\begin{array}{c}{c}_1(a)\\ c_2(a)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}_1(b)\\ e_2(b)\end{array}\right)$$が成立する。

また、点 $A$ における曲線 $C$ の接線ベクトルは、点 $A$ での微分係数として、$$\left(\begin{array}{c}\frac{d{c}_1(a)}{dt}\\ \frac{d{c}_2(a)}{dt}\end{array}\right)$$となる（ベクトル場 $f$ の傾きではなく、曲線 $C$ の傾き）。

また、曲線 $D$ の接線ベクトルは、点 $A$ での微分係数として、$$\left(\begin{array}{c}\frac{d{e}_1(b)}{ds}\\ \frac{d{e}_2(b)}{ds}\end{array}\right)$$である。

これら接線ベクトルが一致するので、$$\left(\begin{array}{c}\frac{d{c}_1(a)}{dt}\\ \frac{d{c}_2(a)}{dt}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{d{e}_1(b)}{ds}\\ \frac{d{e}_2(b)}{ds}\end{array}\right)$$が成立する。

p278　スカラー場 $f$ の点 $A$ での $(\eta ,\xi )$ 方向の方向微分

スカラー場 $f$ の $(x_1,x_2)$ での微分（位置 $x_i$ 微小変化に伴うスカラー場 $f$ の変化量）は、$$(\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_1},\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_2})$$である。

他方で、曲線上の点 $A$ での接線ベクトルを、以下のように置くと（パラメータ $t$ 微小変化に伴う位置の変化量）、$$\left(\begin{array}{c}\eta \\ \xi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{d{c}_1(a)}{dt}\\ \frac{d{c}_2(a)}{dt}\end{array}\right)$$スカラー場 $f$ の点 $A$ での $(\eta ,\xi )$ 方向の方向微分は、以下のように、両者の内積として表現される。$$(\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_1},\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_2})\left(\begin{array}{c}\eta \\ \xi \end{array}\right)=\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_1}\eta +\frac{\partial f(a_1,a_2)}{\partial x_2}\xi$$

p279　方向ベクトルの付与範囲（曲線上 $⟶$  平面全体）

点 $(x_1,x_2)$ での方向ベクトル $(\eta ,\xi )$ を、ベクトル場 $\overrightarrow{X}$ を用いて平面全体で与える。 $$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}\eta \\ \xi \end{array}\right)& =& \overrightarrow{X}\\ & =& \left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{X}_1(x_1,x_2)\\ X_2(x_1,x_2)\end{array}\right)\end{array}$$

２行目・３行目の $X_i$ は、$X_i$ 軸方向の大きさを示す。

３行目は、$X_i$ が位置の関数 ($x_1,x_2$ の２変数関数）であることを示す。

p280　スカラー場 $f$ のベクトル場 $\overrightarrow{X}$ に沿った微分係数

ベクトル場 $\overrightarrow{X}$ を用いることで、以下のように、ベクトル場 $\overrightarrow{X}$ 上の微小変化に伴うスカラー場 $f$ の変化量が得られる。$$\frac{\partial f}{\partial x_1}{X}_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}{X}_2$$

p281　$f$ の偏微分の変換則

ダッシュ付き成分から通常成分への変換 $\overrightarrow{x^{\prime i}}⟶\overrightarrow{x^i}$ の取替行列は$A$ なので（p274）、$$\begin{array}{rcl}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{a}_1^1{x}_1^{\prime }+a_2^1{x}_2^{\prime }\\ a_1^2{x}_1^{\prime }+a_2^2{x}_2^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$$この１行目の要素を比較すると、$$x_1=a_1^1{x}_1^{\prime }+a_2^1{x}_2^{\prime }$$であり、この両辺を $x_1^{\prime }$ で偏微分すると、右辺の $x_2^{\prime }$ の項は、定数扱いとなるので、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial x_1}{\partial x_1^{\prime }}& =& \frac{\partial }{\partial x_1^{\prime }}(a_1^1{x}_1^{\prime }+a_2^1{x}_2^{\prime })\\ & =& \frac{\partial }{\partial x_1^{\prime }}\left(a_1^1{x}_1^{\prime }\right)\\ & =& a_1^1\end{array}$$他の場合も同様に計算して、以下の４式が得られる。$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial x_1}{\partial x_1^{\prime }}=a_1^1\\ \frac{\partial x_1}{\partial x_2^{\prime }}=a_2^1\\ \frac{\partial x_2}{\partial x_1^{\prime }}=a_1^2\\ \frac{\partial x_2}{\partial x_2^{\prime }}=a_2^2\end{array}$$これらの式を用いて、$f$ の偏微分を考える。

スカラー場 $f$ は、座標（通常、ダッシュ付き）の採り方によらず、平面上のある点に対しては同じスカラー値を示すので（p272）、$$f(x_1,x_2)=f(x_1^{\prime },x_2^{\prime })$$である。

そうすると、２変数の連鎖律（p29）を用いて、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x_1^{\prime }}f(x_1^{\prime },x_2^{\prime })& =& \frac{\partial f(x_1^{\prime },x_2^{\prime })}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_1^{\prime }}+\frac{\partial f(x_1^{\prime },x_2^{\prime })}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_1^{\prime }}\\ & =& \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial x_1^{\prime }}+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial x_1^{\prime }}\\ & =& \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}{a}_1^1+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}{a}_1^2\\ & =& (\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2})\left(\begin{array}{c}{a}_1^1\\ a_1^2\end{array}\right)\end{array}$$と変形できる。

同様に、$$\frac{\partial }{\partial x_2^{\prime }}f(x_1^{\prime },x_2^{\prime })=(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2})\left(\begin{array}{c}{a}_2^1\\ a_2^2\end{array}\right)$$も成立する。

両式をひとつの行列としてまとめると、$$\begin{array}{rcl}(\frac{\partial }{\partial x_1^{\prime }}f(x_1^{\prime },x_2^{\prime }),\frac{\partial }{\partial x_2^{\prime }}f(x_1^{\prime },x_2^{\prime }))& =& (\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2})\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\\ (\frac{\partial f}{\partial x_1^{\prime }},\frac{\partial f}{\partial x_2^{\prime }})& =& (\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2})\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)\end{array}$$これを縮約表記を用いて簡略化すると、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x_i^{\prime }}& =& (\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2})\left(\begin{array}{c}{a}_i^1\\ a_i^2\end{array}\right)\\ & =& \frac{\partial f}{\partial x_j}{a}_i^j\end{array}$$$x$ の添え字について、反変を上付き・共変を下付きのルールで表示すると、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}& =& a_i^j\frac{\partial f}{\partial x^j}\end{array}$$となる。

これは、定義３．３８（p270）によれば、$a_i^j$ が１個、$b_i^j$ が０個の、（0, 1）テンソル場と言える。

p282　スカラー場 $f$ の $C$ に沿った微分（$x$ 座標と $x^{\prime }$ 座標）

座標を設定する以前から、スカラー場 $f$ は実体として存在している。

よって、座標をどのように採っても、曲線 $C$ に沿った $f$ の変化度合いは、同じ。

問題３．４１の式変形では、$$\{\begin{array}{c}{x}^1=c^1(t)\\ x^2=c^2(t)\end{array}$$を前提に、２変数関数の連鎖律（p29）を用いている。

また、$t$ での微分を$${\dot{c}}^1(t)=\frac{d{c}^1(t)}{dt}$$と表記している（p280末尾３行目の表記ルール）。

p282　末尾４～３行目

$$(\frac{\partial f}{\partial x^{\prime 1}},\frac{\partial f}{\partial x^{\prime 2}})=(\frac{\partial f}{\partial x^1},\frac{\partial f}{\partial x^2})A$$の式変形は、p281 の式３．０８において、$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_1^1& & a_2^1\\ a_1^2& & a_2^2\end{array}\right)=A$$と表記したもの。

p283　１行目

座標の変換則（p280の式３．０７）を縮約記法で表わしたもの、

$$\begin{array}{rcl}{\dot{c}}^{\prime i}(t)& =& b_j^i{\dot{c}}^j(t)\\ & =& b_k^i{\dot{c}}^k(t)\end{array}$$を、スカラー場 $f$ の変換則に掛けている。

p283　４行目

$${\delta }_k^j{\dot{c}}^k(t)={\dot{c}}^j(t)$$

は、$c$ の走る添え字 $k$ を、$\delta$ の止まった添え字 $j$ に入れ替えた（p121）。

p283　ベクトル場 $X$

ベクトル場では、位置 $(x^1,x^2)$ によって、ベクトルの矢印の向きと強度が異なる。

イメージ図は、p273 の赤色矢印群。そのうちの１つの矢印を取り出し（以下の図の緑色矢印）、$\overrightarrow{e^1}$ 方向と $\overrightarrow{e^2}$ 方向とに分解したときの係数（スカラー値）が、$X^1$ や $X^2$。

$X^1$ や $X^2$ の値は、位置 $(x^1,x^2)$ によって異なる。

すなわち、係数 $X^1$ や $X^2$ は、$(x^1,x^2)$ の２変数関数。

• $X^1(x^1,x^2)$
• $X^2(x^1,x^2)$

緑色矢印は、座標を設定する以前から、実体として存在している。

よって、基底 $\overrightarrow{e^1},\overrightarrow{e^2}$ をどのように定めても（ダッシュ付き基底に変更しても）、同じベクトルを指していることになる。$$X^1\overrightarrow{e^1}+X^2\overrightarrow{e^2}=X^{\prime 1}\overrightarrow{e^{\prime 1}}+X^{\prime 2}\overrightarrow{e^{\prime 2}}$$係数 $X^1$ や $X^2$ が、$(x^1,x^2)$ の２変数関数であることを明記すると、$$X^1(x^1,x^2)\overrightarrow{e^1}+X^2(x^1,x^2)\overrightarrow{e^2}=X^{\prime 1}(x^{\prime 1},x^{\prime 2})\overrightarrow{e^{\prime 1}}+X^{\prime 2}(x^{\prime 1},x^{\prime 2})\overrightarrow{e^{\prime 2}}$$のような表記になる（p283 末尾から６行目の式）。

p284　$\frac{\partial f}{\partial x^i}{X}^i$ は、（０，０）テンソル場

スカラー場 $f$ の微分の変換則（p281）$$\frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}=a_i^k\frac{\partial f}{\partial x^k}$$とベクトル場 $\overrightarrow{X}$ の変換則$$X^{\prime j}=b_l^j{X}^l$$の縮合（テンソル積$\to (i=j)$ で縮約）をとると、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}{X}^{\prime j}& =& a_i^k{b}_l^j\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}{X}^{\prime i}& =& a_i^k{b}_l^i\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ & =& {\delta }_l^k\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ & =& \frac{\partial f}{\partial x^l}{X}^l\end{array}$$となる。

これは、定義３．３８（p270）によれば、$a_i^j$ が０個、$b_i^j$ が０個の（0, ０）テンソル場である（p231の $(r,s)$ 増減法則にも合致）。

すなわち、スカラー場 $f$ のベクトル場 $\overrightarrow{X}$ に沿った微分は、スカラー場になることが計算式上も示された。

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§１１　テンソル場の変換則 

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p285　問題３．４２

無印４つが $D$、ダッシュ付き４つが $D^{\prime }$ と、p286 で定義されている。

p286　行列のトレース　$trA$

正方行列 $A$ について、$$A=\left(\begin{array}{ccccc}a& & b& & c\\ d& & e& & f\\ g& & h& & i\end{array}\right)$$そのトレース $trA$ は、

$$trA=a+e+i$$行列 $A$ と行列 $B$の積 $AB$ について、以下の交換則が成り立つ。$$tr(AB)=tr(BA)$$例えば、$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& & b\\ c& & d\end{array}\right)$$$$B=\left(\begin{array}{ccc}e& & f\\ g& & h\end{array}\right)$$の場合、$$\begin{array}{rcl}tr(AB)& =& tr\left\{\left(\begin{array}{ccc}a& & b\\ c& & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}e& & f\\ g& & h\end{array}\right)\right\}\\ & =& tr\left(\begin{array}{ccc}ae+bg& & af+bh\\ ce+dg& & cf+dh\end{array}\right)\\ & =& ae+bg+cf+dh\end{array}$$であり、他方で、$$\begin{array}{rcl}tr(BA)& =& tr\left\{\left(\begin{array}{ccc}e& & f\\ g& & h\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}a& & b\\ c& & d\end{array}\right)\right\}\\ & =& tr\left(\begin{array}{ccc}ea+fc& & eb+fd\\ ga+hc& & gb+hd\end{array}\right)\\ & =& ea+fc+gb+hd\\ & =& ea+gb+fc+hd\\ & =& ae+bg+cf+dh\end{array}$$となっており、確かに一致する。

p286　$$tr(BD{B}^{-1})=tr(B^{-1}BD)$$

トレース内において、行列 $BD$ と 行列$B^{-1}$ とを交換している。

p286　成分計算

$$\begin{array}{rcl}tr(D^{\prime })& =& tr(D)\\ tr\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x^{\prime 1}}{X}^{\prime 1}& & \frac{\partial f}{\partial x^{\prime 2}}{X}^{\prime 1}\\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime 1}}{X}^{\prime 2}& & \frac{\partial f}{\partial x^{\prime 2}}{X}^{\prime 2}\end{array}\right)& =& tr\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x^1}{X}^1& & \frac{\partial f}{\partial x^2}{X}^1\\ \frac{\partial f}{\partial x^1}{X}^2& & \frac{\partial f}{\partial x^2}{X}^2\end{array}\right)\\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime 1}}{X}^{\prime 1}+\frac{\partial f}{\partial x^{\prime 2}}{X}^{\prime 2}& =& \frac{\partial f}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial f}{\partial x^2}{X}^2\\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}{X}^{\prime i}& =& \frac{\partial f}{\partial x^i}{X}^i\end{array}$$

p287　スカラー場 $f$ の２階偏微分の変換則

２行目の$$\frac{\partial f}{\partial x^{\prime 1}}=a_1^1\frac{\partial f}{\partial x^1}+a_1^2\frac{\partial f}{\partial x^2}$$

の部分は、p281 の中程の計算を用いている。

２行目から３行目の部分は、２変数の連鎖律（p29）を用いて、式変形をしている。

赤字注の$$\frac{\partial x^1}{\partial x^{\prime 2}}=a_2^1$$等は、p281 の中程の計算を用いている。

その結果、$a$ の下付き添え字が、$a_2^{◻}{a}_1^{◻}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^{◻}\partial x^{◻}}$ の形の項からなる計算式に整理されたので、縮約記法を用い（$k,l$ は走る添え字［和］）、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 2}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 1}}& =& a_2^k{a}_1^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}\end{array}$$とまとめられる。

他の場合も、同様に計算すると、

• $\frac{\partial }{\partial x^{\prime 1}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 1}}=a_1^k{a}_1^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}$
• $\frac{\partial }{\partial x^{\prime 1}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 2}}=a_1^k{a}_2^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}$
• $\frac{\partial }{\partial x^{\prime 2}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 1}}=a_2^k{a}_1^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}$
• $\frac{\partial }{\partial x^{\prime 2}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime 2}}=a_2^k{a}_2^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}$

となる。

これら４式を、縮約記法で表現すると（$i,j$ は止まった添え字［分割］）、$$\frac{\partial }{\partial x^{\prime i}}\frac{\partial }{\partial x^{\prime j}}=a_i^k{a}_j^l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^k\partial x^l}$$となり、$f$ の２階微分どおしの変換則が得られた。

p288　ベクトル場の曲線に沿った微分

p288　曲線 $C$ に沿った微分

$$\left(\begin{array}{c}{Y}^1\\ Y^2\end{array}\right)$$を各成分について、$t$ に関して微分する。

$Y^1$ の微分は、

$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial Y^1}{\partial t}& =& \frac{\partial Y^1}{\partial x^1}\frac{\partial x^1}{\partial t}+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}\frac{\partial x^2}{\partial t}\\ & =& \frac{\partial Y^1}{\partial x^1}\frac{\partial c^1(t)}{\partial t}+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}\frac{\partial c^2(t)}{\partial t}\\ & =& \frac{\partial Y^1}{\partial x^1}{\dot{c}}^1(t)+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}{\dot{c}}^2(t)\end{array}$$となる。

１行目は、二変数の連鎖律（定理１．０７）を用いた。

２行目は、$x^i=c^i(t)$ を用いた。

３行目は、p280 の表記法を用いた。

$Y^2$ の微分も、同様に計算できる。$$\frac{\partial Y^2}{\partial t}=\frac{\partial Y^2}{\partial x^1}{\dot{c}}^1(t)+\frac{\partial Y^2}{\partial x^2}{\dot{c}}^2(t)$$よって、ベクトル場 $Y$ の曲線 $C$ に沿った微分は、$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Y^1}{\partial t}\\ \frac{\partial Y^2}{\partial t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Y^1}{\partial x^1}{\dot{c}}^1(t)+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}{\dot{c}}^2(t)\\ \frac{\partial Y^2}{\partial x^1}{\dot{c}}^1(t)+\frac{\partial Y^2}{\partial x^2}{\dot{c}}^2(t)\end{array}\right)$$となる。

p289　ベクトル場に沿った微分

各点での方向が与えられれば、ベクトル場 $Y$ の方向微分が計算できるところ、各点 $(x^1,x^2)$ での方向ベクトルをベクトル場 $$X=\left(\begin{array}{c}{X}^1(x^1,x^2)\\ X^2(x^1,x^2)\end{array}\right)$$と与えれば、ベクトル場 $Y$ の $Y^1$ 成分について、$X=\left(\begin{array}{c}{X}^1\\ X^2\end{array}\right)$ 方向の微分係数は、p279～280 と同様に、以下のように表現できる。$$\frac{\partial Y^1}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}{X}^2$$同様に、ベクトル場 $Y$ の $Y^2$ 成分についても、$$\frac{\partial Y^2}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^2}{\partial x^2}{X}^2$$と表現できる。

この２つをまとめると、ベクトル場 $X$ に沿ったベクトル場 $Y$ の微分は、$$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial Y^1}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}{X}^2\\ \frac{\partial Y^2}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^2}{\partial x^2}{X}^2\end{array}\right)$$と表される。

p289～290　ベクトル場 $Y$ の微分（ただの微分）の変換則

• 物理的な意味は？
• 「$Y^i$ はベクトル場」…$Y^i$ 方向に向きが限定されたベクトル？
• $\frac{\partial x^l}{\partial x^{\prime k}}=a_{{}^k}^l$ は、p281参照。

p290　ベクトル場 $Y$ をベクトル場 $X$ に沿って微分した式

止まった添え字 $i$ で分割し、走る添え字 $j$ で和をとると、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial Y^i}{\partial x^j}{X}^j& =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial Y^1}{\partial x^j}{X}^j\\ \frac{\partial Y^2}{\partial x^j}{X}^j\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}\frac{\partial Y^1}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^1}{\partial x^2}{X}^2\\ \frac{\partial Y^2}{\partial x^1}{X}^1+\frac{\partial Y^2}{\partial x^2}{X}^2\end{array}\right)\end{array}$$となるので、確かに、p289 のベクトル場 $X$ に沿った微分の式を表している。

p290　問題３．４４

前提 $$X^{\prime k}=b_m^k{X}^m$$は、p283 の結果（縮約記法で赤色注）を用いている。

$x^{\prime }$ の添え字と $X^{\prime }$ の添え字が、共通の$k$ であるので、$k=k$ で縮約した計算となっている。

p290　縮合

• ベクトル場$Y$…変換則の $b$ が１個（p283赤字注）$\to$（１，０）テンソル場
• ベクトル場$Y$ の微分…変換則の $b$ と$a$が各１個（p290の４行目）$\to$（１，１）テンソル場
• ベクトル場$Y$ のベクトル場 $X$ に沿った微分…変換則の $b$ が１個（p290）$\to$（１，０）テンソル場

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§１２　テンソル場の変換則　まとめ 

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p291　（’有り）と（’無し）との間の変換則

変換則の右辺にある $a,b$ の個数により、定義３．２８（p252）により、どの $(r,s)$ テンソル場かが定まる。

（ア）…p272

（イ）…p283　赤注記

（ウ）…p281　式３．０８

（エ）…p286～288

（オ）…p290

（カ）…p285　式３．０９

（キ）…p299　問題３．４４

p292　テンソル演算と階数

テンソル場のテンソル積、縮約、縮合に伴う $(r,s)$ の変化は、p231 のとおり。

p292　微分すると共変次数 $s$ が１増える

$(0,0)\to (0,1)$　…（ア）と（ウ）を比較

$(0,1)\to (0,2)$　…（ウ）と（エ）を比較

$(1,0)\to (1,1)$　…（イ）と（オ）を比較

p292　$f⟶\frac{\partial f}{\partial x^i}⟶\frac{\partial f}{\partial x^i}{X}^i$

（ア）と（ウ）と（カ）の特殊形態（$i=j$）を比較。

（カ）で（$i=j$）とすると、p284 の計算と同様に、$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}{X}^{\prime j}& =& a_i^k{b}_l^j\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ \frac{\partial f}{\partial x^{\prime i}}{X}^{\prime i}& =& a_i^k{b}_l^i\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ & =& {\delta }_l^k\frac{\partial f}{\partial x^k}{X}^l\\ & =& \frac{\partial f}{\partial x^l}{X}^l\end{array}$$となる。

これは、定義３．３８（p270）によれば、$a_i^j$ が０個、$b_i^j$ が０個の（0, ０）テンソル場である。

p293　$Y^i⟶\frac{\partial Y^i}{\partial x^i}⟶\frac{\partial Y^i}{\partial x^i}{X}^i$

（イ）と（オ）と（キ）を比較。

p293　定理３．４５

$$X^m\frac{\partial }{\partial x^m}{T}_{\cdots }^{\cdots }$$は、p293 の１行目の表記順で表わせば、$$\frac{\partial T_{\cdots }^{\cdots }}{\partial x^m}{X}^m$$のこと。

p293　（１，０）テンソル場の発散 $\mathrm{div}$ は、スカラー場

$i=1,2,3j=1,2,3$ の場合がある添え字を用いた

$$\frac{\partial A^i(x)}{\partial x^j}=\{\begin{array}{ccccc}\frac{\partial A^1(x)}{\partial x^1}& & \frac{\partial A^1(x)}{\partial x^2}& & \frac{\partial A^1(x)}{\partial x^3}\\ \frac{\partial A^2(x)}{\partial x^1}& & \frac{\partial A^2(x)}{\partial x^2}& & \frac{\partial A^2(x)}{\partial x^3}\\ \frac{\partial A^3(x)}{\partial x^1}& & \frac{\partial A^3(x)}{\partial x^2}& & \frac{\partial A^3(x)}{\partial x^3}\end{array}$$は、$3\times 3=9$個の場合分けを示しているが、これを $i=j$ で縮約すると（p227）、$i=j$ の項である３個の項のみの和となるので（基底は非表示のまま）、$j$ も $i$ と表記し、$$\frac{\partial A^i(x)}{\partial x^i}=\frac{\partial A^1(x)}{\partial x^1}+\frac{\partial A^2(x)}{\partial x^2}+\frac{\partial A^3(x)}{\partial x^3}$$となる。

これは、発散 $\mathrm{div}$ の定義であるから（p41）、$$\frac{\partial A^i(x)}{\partial x^i}=\mathrm{div}A(x)$$である。

左辺 $\frac{\partial A^i(x)}{\partial x^i}$ は、変換則（オ）（p291）で、$i=k$ とした場合に得られる式を用いて、以下のように、$a$ も $b$ も含まない変換則を導けるから、（０，０）テンソル場、すなわちスカラー場である。$$\begin{array}{rcl}\frac{\partial A^i(x)}{\partial x^i}& =& b_j^i{a}_i^l\frac{\partial A^j(x)}{\partial x^l}\\ & =& a_i^l{b}_j^i\frac{\partial A^j(x)}{\partial x^l}\\ & =& {\delta }_j^l\frac{\partial A^j(x)}{\partial x^l}\\ & =& \frac{\partial A^j(x)}{\partial x^j}\end{array}$$よって、（１，０）テンソル場 $A^i(x)$ の発散$$\mathrm{div}A(x)$$ は、スカラー場である。

p294　（０，１）テンソル場

共変ベクトル場$$T_1^0(V)=V^{\ast }$$の成分$A_i(x)$を想定。

p294　$A$ が（１，０）テンソル場のとき、$\mathrm{rot}A$ は（１，１）テンソル場

$\mathrm{rot}$ は、p60 のとおり、$x^i$ で１階微分の形のため、共変成分が１増加する。

p294　$\mathrm{rot}$ は、（１，０）テンソル場の変換則を持つ。

要確認。

p294　$\mathrm{rot}$ が座標に拠らないことの証明

$⟶$ p55

p295　ラプラシアン $\mathrm{\Delta }$

中央辺の $$\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^i}$$の $i$ は、代数であり、１から$n$ まで入力された各項を合計するとの趣旨。

$n=3$ の場合が、p61 のラプラシアン。

右辺の$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^i}$$の $i$ は、縮約記法の走る添え字であり、$i=1,2,\cdots ,n$ の各項を合計するとの趣旨。

p295　正規直交基底なので、$A$ は直交行列になり、${}^{t}AA=E$

未証明（p248 でも未証明）。むしろ、p249 では、本書では直交基底でない場合の変換則を考えるとしていた。