一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第４章 特殊相対性理論 §７～）

    石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版　の読後行間補充メモ

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（→　第１章　数学の準備）

（→　第２章　物理の準備）

（→　第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§１～６）

（→　第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§７～１２）

（→　第４章　特殊相対性理論　§１～６）

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• 
  
• §７　ミンコフスキー空間 
  • p333
  • p334　ローレンツ変換の不変量
  • p335～p336　証明の全体構造
  • p335　２行目
  • p335
  • p335

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§７　ミンコフスキー空間 

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p333

　$|\overrightarrow{a^{\prime }}-\overrightarrow{b^{\prime }}{|}^2{=}^t(\overrightarrow{a^{\prime }}-\overrightarrow{b^{\prime }})(\overrightarrow{a^{\prime }}-\overrightarrow{b^{\prime }})$

例えば、$$\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$$について、$$\begin{array}{rcl}{}^t\overrightarrow{A}\overrightarrow{A}& =& (x,y,z)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\\ & =& x^2+y^2+z^2\\ & =& |\overrightarrow{A}{|}^2\end{array}$$となる関係を用いている。

p334　ローレンツ変換の不変量

添え字 $i,j$ が

$$\{\begin{array}{c}i=0,1,2,3\\ j=0,1,2,3\end{array}$$の変数をとるとき、${\eta }_{ij}$ は、$i=j$ のとき、$$\{\begin{array}{l}{\eta }_{00}=-1\\ {\eta }_{11}=1\\ {\eta }_{22}=1\\ {\eta }_{33}=1\end{array}$$であり、$i=j$ のときは、${\eta }_{ij}=0$ である。

よって、定理４．０５の末尾式の右辺は、

$$\begin{array}{rcl}{\eta }_{ij}{a}^i{b}^j& =& {\eta }_{00}{a}^0{b}^0+{\eta }_{11}{a}^1{b}^1+{\eta }_{22}{a}^2{b}^2+{\eta }_{33}{a}^3{b}^3\\ & =& -a^0{b}^0+a^1{b}^1+a^2{b}^2+a^3{b}^3\end{array}$$と変形できる。

左辺も同様である。

すなわち、定理４．０５の末尾式は、定理４．０５の末尾２行目の式と同値である。

よって、定理４．０５の末尾２行目の式が成立することを示すことができれば、定理４．０５の末尾の式［ローレンツ変換における内積の不変］$${\eta }_{ij}{a}^{\prime i}{b}^{\prime j}={\eta }_{ij}{a}^i{b}^j$$が成立することを示したことになる。

p335～p336　証明の全体構造

定理４．０５の末尾２行目の式の左辺は、以下のように、同右辺へと変形できる。$$\begin{array}{rcl}-a^{\prime 0}{b}^{\prime 0}+a^{\prime 1}{b}^{\prime 1}+a^{\prime 2}{b}^{\prime 2}+a^{\prime 3}{b}^{\prime 3}& =& (a^{\prime 0},a^{\prime 1},a^{\prime 2},a^{\prime 3})\left(\begin{array}{c}-b^{\prime 0}\\ b^{\prime 1}\\ b^{\prime 2}\\ b^{\prime 3}\end{array}\right)\\ & =& (a^{\prime 0},a^{\prime 1},a^{\prime 2},a^{\prime 3})\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}{b}^{\prime 0}\\ b^{\prime 1}\\ b^{\prime 2}\\ b^{\prime 3}\end{array}\right)\\ & =& {}^t\overrightarrow{a^{\prime }}\eta \overrightarrow{b^{\prime }}\\ & =& {}^t\overrightarrow{a}{}^t\mathrm{\Lambda }\eta \mathrm{\Lambda }\overrightarrow{b}\\ & =& {}^t\overrightarrow{a}\eta \overrightarrow{b}\\ & =& (a^0,a^1,a^2,a^3)\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{}{b}^0\\ b^1\\ b^2\\ b^3\end{array}\right)\\ & =& (a^0,a^1,a^2,a^3)\left(\begin{array}{c}-b^0\\ b^1\\ b^2\\ b^3\end{array}\right)\\ & =& -a^0{b}^0+a^1{b}^1+a^2{b}^2+a^3{b}^3\end{array}$$すなわち、以下の等式が成立する。$$-a^{\prime 0}{b}^{\prime 0}+a^{\prime 1}{b}^{\prime 1}+a^{\prime 2}{b}^{\prime 2}+a^{\prime 3}{b}^{\prime 3}=-a^0{b}^0+a^1{b}^1+a^2{b}^2+a^3{b}^3$$これを、縮約記法で表現すると、以下のようになる。$${\eta }_{ij}{a}^{\prime i}{b}^{\prime j}={\eta }_{ij}{a}^i{b}^j$$よって、定理４．０５の末尾の式［ローレンツ変換における内積の不変］が成立することが示された。

p335　２行目

　${}^t\overrightarrow{a^{\prime }}{=}^t\overrightarrow{a}{}^t\mathrm{\Lambda }$

転置行列の公式$${}^t(AB){=}^{t}B{}^{t}A$$より、p334 定理４．０５の前提式から、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{a^{\prime }}& =& \mathrm{\Lambda }\overrightarrow{a}\\ {}^t\overrightarrow{a^{\prime }}& =& {}^t\left(\mathrm{\Lambda }\overrightarrow{a}\right)\\ & =& {}^t\overrightarrow{a}{}^t\mathrm{\Lambda }\end{array}$$が導かれる。

p335

　${}^t\mathrm{\Lambda }\eta$

$\mathrm{\Lambda }$ の転置行列${}^t\mathrm{\Lambda }$は、$\mathrm{\Lambda }$ に等しいので（p332）、$$\begin{array}{rcl}{}^t\mathrm{\Lambda }& =& \mathrm{\Lambda }\\ {}^t\mathrm{\Lambda }\eta & =& \mathrm{\Lambda }\eta \\ & =& \left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \frac{V_x}{c}& -\gamma \frac{V_y}{c}& -\frac{V_z}{c}\\ -\gamma \frac{V_x}{c}& 1+(\gamma -1)\frac{V_x^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_z{V}_z}{V^2}\\ -\gamma \frac{V_y}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_y^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}\\ -\gamma \frac{V_z}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{cccc}-\gamma & -\gamma \frac{V_x}{c}& -\gamma \frac{V_y}{c}& -\frac{V_z}{c}\\ \gamma \frac{V_x}{c}& 1+(\gamma -1)\frac{V_x^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_z{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_y}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_y^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_z}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\end{array}$$である。

３～４行目は、$4\times 4$ 行列と$4\times 4$ 行列の積を実行している。

例えば、$(0,1)$ 成分（＝１行目の２列目成分のこと。本書では０からカウントしている）であれば、$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{\Lambda }}_j^0{\eta }_1^i& =& (\gamma ,-\gamma \frac{V_x}{c},-\gamma \frac{V_y}{c},-\frac{V_z}{c})\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\\ & =& \gamma \times 0-\gamma \frac{V_x}{c}\times 1-\gamma \frac{V_y}{c}\times 0-\frac{V_z}{c}\times 0\\ & =& -\gamma \frac{V_x}{c}\end{array}$$と計算される。

p335

　${}^t\mathrm{\Lambda }\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$

${}^t\mathrm{\Lambda }\eta$ の計算結果は、上述のとおりである。

よって、${}^t\mathrm{\Lambda }\eta \mathrm{\Lambda }$ は、２つの行列

$$\begin{array}{rcl}{}^t\mathrm{\Lambda }\eta & =& \left(\begin{array}{cccc}-\gamma & -\gamma \frac{V_x}{c}& -\gamma \frac{V_y}{c}& -\frac{V_z}{c}\\ \gamma \frac{V_x}{c}& 1+(\gamma -1)\frac{V_x^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_z{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_y}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_y^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}\\ \gamma \frac{V_z}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\Lambda }& =& \left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma \frac{V_x}{c}& -\gamma \frac{V_y}{c}& -\frac{V_z}{c}\\ -\gamma \frac{V_x}{c}& 1+(\gamma -1)\frac{V_x^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_z{V}_z}{V^2}\\ -\gamma \frac{V_y}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_y}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_y^2}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}\\ -\gamma \frac{V_z}{c}& (\gamma -1)\frac{V_x{V}_z}{V^2}& (\gamma -1)\frac{V_y{V}_z}{V^2}& 1+(\gamma -1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\end{array}$$の積を計算すれば求められる。

例えば、$(0,0)$ 成分（＝１行目の１列目成分のこと）であれば、$$\begin{array}{rcl}{\left({}^t\mathrm{\Lambda }\eta \mathrm{\Lambda }\right)}_0^0& =& (-\gamma ,-\gamma \frac{V_x}{c},-\gamma \frac{V_y}{c},-\frac{V_z}{c})\left(\begin{array}{c}\gamma \\ -\gamma \frac{V_x}{c}\\ -\gamma \frac{V_y}{c}\\ -\gamma \frac{V_z}{c}\end{array}\right)\\ & =& -{\gamma }^2+{\left(\gamma \frac{V_x}{c}\right)}^2+{\left(\gamma \frac{V_y}{c}\right)}^2+{\left(\gamma \frac{V_z}{c}\right)}^2\\ & =& -{\gamma }^2(1-{\left(\frac{V_x}{c}\right)}^2-{\left(\frac{V_y}{c}\right)}^2-{\left(\frac{V_z}{c}\right)}^2)\\ & =& -{\gamma }^2(1-\frac{(V_x{)}^2+(V_y{)}^2+(V_z{)}^2}{c^2})\\ & =& -{\gamma }^2(1-\frac{(\overrightarrow{V}{)}^2}{c^2})\\ & =& -{\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\left(\overrightarrow{V}\right)}^2}{c^2}}}\right)}^2(1-\frac{(\overrightarrow{V}{)}^2}{c^2})\\ & =& -\frac{1}{1-\frac{{\left(\overrightarrow{V}\right)}^2}{c^2}}(1-\frac{(\overrightarrow{V}{)}^2}{c^2})\\ & =& -1\end{array}$$と計算される。

すなわち、$${}^t\mathrm{\Lambda }\eta \mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}-1& \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)$$として、$(0,0)$ 成分が求められた。