一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する（第４章 特殊相対性理論 §７～）
石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 の読後行間補充メモ
（→ 正誤表）
（→ 事項索引）
（→ 第１章 数学の準備）
（→ 第２章 物理の準備）
（→ 第４章 特殊相対性理論 §１～６）
§７ ミンコフスキー空間
p333
\(|\vec{a'}-\vec{b'}|^2=^t(\vec{a'}-\vec{b'})(\vec{a'}-\vec{b'})\)
例えば、\[\vec{A}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\]について、\begin{eqnarray}^t\vec{A}\vec{A}&=&(x,~y,~z)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\nonumber\\&=&x^2+y^2+z^2\nonumber\\&=&|\vec{A}|^2\nonumber\end{eqnarray}となる関係を用いている。
p334 ローレンツ変換の不変量
添え字 \(i,~j\) が
\[\left\{\begin{array}{c}i=0,1,2,3\\j=0,1,2,3\end{array}\right.\]の変数をとるとき、\(\eta_{ij}\) は、\(i=j\) のとき、\[\left\{\begin{array}{l}\eta_{00}=-1\\ \eta_{11}=1\\ \eta_{22}=1\\ \eta_{33}=1\end{array}\right.\]であり、\(i=j\) のときは、\(\eta_{ij}=0\) である。
よって、定理４．０５の末尾式の右辺は、
\begin{eqnarray}\eta_{ij}a^ib^j&=&\eta_{00}a^0b^0+\eta_{11}a^1b^1+\eta_{22}a^2b^2+\eta_{33}a^3b^3\nonumber\\&=&-a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3\nonumber\end{eqnarray}と変形できる。
左辺も同様である。
すなわち、定理４．０５の末尾式は、定理４．０５の末尾２行目の式と同値である。
よって、定理４．０５の末尾２行目の式が成立することを示すことができれば、定理４．０５の末尾の式［ローレンツ変換における内積の不変］\[\eta_{ij}a'^ib'^j=\eta_{ij}a^ib^j\]が成立することを示したことになる。
p335～p336 証明の全体構造
定理４．０５の末尾２行目の式の左辺は、以下のように、同右辺へと変形できる。\begin{eqnarray}-a'^0b'^0+a'^1b'^1+a'^2b'^2+a'^3b'^3&=&\left(a'^0,~a'^1,~a'^2,~a'^3\right)\left(\begin{array}{c}-b'^0\\b'^1\\b'^2\\b'^3\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(a'^0,~a'^1,~a'^2,~a'^3\right)\left(\begin{array}{c}-1&&&\\ &1& &\\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{x}b'^0\\b'^1\\b'^2\\b'^3\end{array}\right)\nonumber\\&=&^t\vec{a'}~\eta~\vec{b'}\nonumber\\&=&^t\vec{a}~^t\Lambda~\eta~\Lambda \vec{b}\nonumber\\&=&^t\vec{a}~\eta~\vec{b}\nonumber\\&=&\left(a^0,~a^1,~a^2,~a^3\right)\left(\begin{array}{c}-1&&&\\ &1& &\\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{x}b^0\\b^1\\b^2\\b^3\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(a^0,~a^1,~a^2,~a^3\right)\left(\begin{array}{c}-b^0\\b^1\\b^2\\b^3\end{array}\right)\nonumber\\&=&-a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3\nonumber\end{eqnarray}すなわち、以下の等式が成立する。\[-a'^0b'^0+a'^1b'^1+a'^2b'^2+a'^3b'^3=-a^0b^0+a^1b^1+a^2b^2+a^3b^3\]これを、縮約記法で表現すると、以下のようになる。\[\eta_{ij}a'^ib'^j=\eta_{ij}a^ib^j\]よって、定理４．０５の末尾の式［ローレンツ変換における内積の不変］が成立することが示された。
p335 ２行目
\(^t\vec{a'}=^t\vec{a}~^t\Lambda\)
転置行列の公式\[^t(AB)=^tB~^tA\]より、p334 定理４．０５の前提式から、\begin{eqnarray}\vec{a'}&=&\Lambda \vec{a}\nonumber\\^t\vec{a'}&=&^t\left(\Lambda \vec{a}\right)\nonumber\\&=&^t\vec{a}~^t\Lambda\nonumber\end{eqnarray}が導かれる。
p335
\(^t\Lambda\eta\)
\(\Lambda\) の転置行列\(^t\Lambda\)は、\(\Lambda\) に等しいので（p332）、\begin{eqnarray}^t\Lambda&=&\Lambda\nonumber\\^t\Lambda\eta&=&\Lambda\eta\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}\gamma&-\gamma\frac{V_x}{c}&-\gamma\frac{V_y}{c}&-\frac{V_z}{c}\\-\gamma\frac{V_x}{c}&1+(\gamma-1)\frac{V_x^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_zV_z}{V^2}\\ -\gamma\frac{V_y}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_y^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}\\-\gamma\frac{V_z}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_z}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}-\gamma&-\gamma\frac{V_x}{c}&-\gamma\frac{V_y}{c}&-\frac{V_z}{c}\\\gamma\frac{V_x}{c}&1+(\gamma-1)\frac{V_x^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_zV_z}{V^2}\\ \gamma\frac{V_y}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_y^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}\\ \gamma\frac{V_z}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_z}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}である。
３～４行目は、\(4\times 4\) 行列と\(4\times 4\) 行列の積を実行している。
例えば、\((0,~1)\) 成分（＝１行目の２列目成分のこと。本書では０からカウントしている）であれば、\begin{eqnarray}\Lambda^0_j~\eta^i_1&=& \left(\gamma,~-\gamma\frac{V_x}{c},~-\gamma\frac{V_y}{c},~-\frac{V_z}{c}\right)\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)\nonumber\\&=&\gamma\times 0-\gamma\frac{V_x}{c}\times 1-\gamma\frac{V_y}{c}\times 0-\frac{V_z}{c}\times 0\nonumber\\&=&-\gamma\frac{V_x}{c}\nonumber\end{eqnarray}と計算される。
p335
\(^t\Lambda\eta\Lambda=\eta\)
\(^t\Lambda\eta\) の計算結果は、上述のとおりである。
よって、\(^t\Lambda\eta\Lambda\) は、２つの行列
\begin{eqnarray}^t\Lambda\eta&=&\left(\begin{array}{c}-\gamma&-\gamma\frac{V_x}{c}&-\gamma\frac{V_y}{c}&-\frac{V_z}{c}\\\gamma\frac{V_x}{c}&1+(\gamma-1)\frac{V_x^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_zV_z}{V^2}\\ \gamma\frac{V_y}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_y^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}\\ \gamma\frac{V_z}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_z}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\Lambda&=&\left(\begin{array}{c}\gamma&-\gamma\frac{V_x}{c}&-\gamma\frac{V_y}{c}&-\frac{V_z}{c}\\-\gamma\frac{V_x}{c}&1+(\gamma-1)\frac{V_x^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_zV_z}{V^2}\\ -\gamma\frac{V_y}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_y}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_y^2}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}\\-\gamma\frac{V_z}{c}&(\gamma-1)\frac{V_xV_z}{V^2}&(\gamma-1)\frac{V_yV_z}{V^2}&1+(\gamma-1)\frac{V_z^2}{V^2}\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}の積を計算すれば求められる。
例えば、\((0,~0)\) 成分（＝１行目の１列目成分のこと）であれば、\begin{eqnarray}\left(^t\Lambda~\eta\Lambda\right)^0_0&=& \left(-\gamma,~-\gamma\frac{V_x}{c},~-\gamma\frac{V_y}{c},~-\frac{V_z}{c}\right)\left(\begin{array}{c}\gamma\\-\gamma\frac{V_x}{c}\\-\gamma\frac{V_y}{c}\\-\gamma\frac{V_z}{c}\end{array}\right)\nonumber\\&=&-\gamma^2+\left(\gamma\frac{V_x}{c}\right)^2+\left(\gamma\frac{V_y}{c}\right)^2+\left(\gamma\frac{V_z}{c}\right)^2\nonumber\\&=&-\gamma^2\left(1-\left(\frac{V_x}{c}\right)^2-\left(\frac{V_y}{c}\right)^2-\left(\frac{V_z}{c}\right)^2\right)\nonumber\\&=&-\gamma^2\left(1-\frac{(V_x)^2+(V_y)^2+(V_z)^2}{c^2}\right)\nonumber\\&=&-\gamma^2\left(1-\frac{(\vec{V})^2}{c^2}\right)\nonumber\\&=&-\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{\left(\vec{V}\right)^2}{c^2}}}\right)^2\left(1-\frac{(\vec{V})^2}{c^2}\right)\nonumber\\&=&-\frac{1}{1-\frac{\left(\vec{V}\right)^2}{c^2}}\left(1-\frac{(\vec{V})^2}{c^2}\right)\nonumber\\&=&-1\nonumber\end{eqnarray}と計算される。
すなわち、\[^t\Lambda\eta\Lambda=\left(\begin{array}{c}-1&\cdots&\cdots&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\]として、\((0,~0)\) 成分が求められた。