The world inside a pillow

    石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） （→　 第２章　物理の準備 ） （→　 第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§１～６ ） （→　 第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§７～１２ ） §１　方程式の共変性  p297　速度、加速度は（１，０）テンソル場。電場・磁場は（２，０）テンソル場 p298　\(F_{x'}, ~F_{y'}\) 中央図は、\(F_{x'}\) を \(F_{x}, ~F_{y}\) で分解したもの。 右図は、\(F_{y'}\) を \(F_{x}, ~F_{y}\) で分解したもの。\(F_{x}\sin\theta \) が \(F_{y'}\) と逆方向なので、マイナスがついている。 \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}F_x'\\F_y'\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}\cos\theta&&\sin\theta\\-\sin\theta &&\cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}F_x\\F_y\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}F_x\cos\theta +F_y\sin\theta \\ -F_x\sin\theta+F_y\cos\theta\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray} p299　１０行目 「観測者によらず同じ物理法則に観測されるためには、成分が（１，０）テンソルの変換則を満たすことがポイント」…p305～307の検討結果より。 p300　電場・磁場は、（２，０）テンソル 電磁場のマックスウェル方程式は、2 階の反変テンソルの形になることにつき、 電磁場のテンソル表現 （EMANの物理学）。 §２　特殊相対論の課題  p305　ニュートンの運動方程式は、ガリレイ変換に関して共変性あり \(t...

    石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） （→　 第２章　物理の準備 ） （→　 第３章　テンソルと直線座標のテンソル場　§１～６ ）   §７　物理流のテンソルの定義  p252　テンソル（物理流） 基底を明示しないが、座標系\(K\) には何らかの基底が存在しており、ベクトル \(\vec{x}\) について、成分\[x^i=\left(\begin{array}{c}x^1\\x^2\end{array}\right)\]による表現が可能である。 同様に、座標系\(K'\) にも何らかの基底が存在しており、同じベクトル \(\vec{x}\) について、成分\[x'^i=\left(\begin{array}{c}x'^1\\x'^2\end{array}\right)\]による表現が可能である。 両者間の関係を、縮約記法で、\[x'^i=b^i_{~j}x^j\]と表している。 これは、展開すると、\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}x'^1\\x'^2\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{c}b^1_{~j}x^j\\b^2_{~j}x^j\end{array}\right)\nonumber\\&=&\left(\begin{array}{c}b^1_{~1}x^1+b^1_{~2}x^2\\b^2_{~1}x^1+b^2_{~2}x^2\end{array}\right)\nonumber\end{eqnarray}との内容を現している。 p253　\(b^i_{~j}a^j_{~k}=\delta^i_{~k}\) \[A=\left(\begin{array}{c}a^1_{~1}&&a^1_{~2}\\a^2_{~1}&&a^2_{~2}\end{array}\right)\] \[B=\left(\begin{array}{c}b^1_{~1}&&b^1_{~2}\\b^2_{~1}&&b^2...

   石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） （→　 第２章　物理の準備 ） §１　テンソル積 \(T^r(V)\) とテンソル積 \(\otimes \)  p208　\(V\) の元 \(\vec{e_1},~\vec{e_2}\) ２次元線形空間 \(V\) 上のベクトル p209　テンソル積 \(S^{ij}\vec{e_i}\otimes\vec{a_j}\) 添え字 \(i,~j\) は、いずれも走る添え字（場合分けして和をとる） \(S^{ij}\) は、行列\(S\) の \(i\) 行 \(j\) 列目の数値を示す。\[S=\left(\begin{array}{c}S^{11}&&S^{12}\\S^{21}&&S^{22}\end{array}\right)\] 演算 \(\otimes\) の計算方法は、p210 に定義。 p210　線形空間 \(V,~W\) 上の元 \(S,~T\) 元 \(S\) が、線形空間 \(V\) 上の基底\(\vec{e_1},~\vec{e_2}\) を用いて、以下のように表されるとき、\[\vec{S}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\]元 \(S\) は、線形空間 \(V\) 上の元（ベクトル）である。 同様に、別の線形空間 \(W\) 上の元 \(T\) も観念できる。 この２つの元 線形空間 \(V\) 上のベクトル \(S\) 線形空間 \(W\) 上のベクトル \(T\) について、テンソル積 \(S\otimes T\) を考える。  テンソル積  \(S\otimes T\)  は、４つの軸 \(\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}\) \(\vec{e_1}\otimes \vec{a_2}\) \(\vec{e_2}\otimes \vec{a_1}\) \(\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\) を持つ４次元の線形空間 \(V\otimes W\) 上の元（ベクトル）である（p210）。 （４次元の線形空間を、２次元図面上に図示す...