The world inside a pillow

   石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） （→　 第２章　物理の準備 ） §１　テンソル積 $T^r(V)$ とテンソル積 $\otimes$  p208　$V$ の元 $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ ２次元線形空間 $V$ 上のベクトル p209　テンソル積 $S^{ij}\overrightarrow{e_i}\otimes \overrightarrow{a_j}$ 添え字 $i,j$ は、いずれも走る添え字（場合分けして和をとる） $S^{ij}$ は、行列$S$ の $i$ 行 $j$ 列目の数値を示す。$$S=\left(\begin{array}{ccc}{S}^{11}& & S^{12}\\ S^{21}& & S^{22}\end{array}\right)$$ 演算 $\otimes$ の計算方法は、p210 に定義。 p210　線形空間 $V,W$ 上の元 $S,T$ 元 $S$ が、線形空間 $V$ 上の基底$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$ を用いて、以下のように表されるとき、$$\overrightarrow{S}=2\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$$元 $S$ は、線形空間 $V$ 上の元（ベクトル）である。 同様に、別の線形空間 $W$ 上の元 $T$ も観念できる。 この２つの元 線形空間 $V$ 上のベクトル $S$ 線形空間 $W$ 上のベクトル $T$ について、テンソル積 $S\otimes T$ を考える。  テンソル積  $S\otimes T$  は、４つの軸 $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_1}$ $\overrightarrow{e_1}\otimes \overrightarrow{a_2}$ $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_1}$ $\overrightarrow{e_2}\otimes \overrightarrow{a_2}$ を持つ４次元の線形空間 $V\otimes W$ 上の元（ベクトル）である（p210）。 （４次元の線形空間を、２次元図面上に図示す...

  石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） §１　ニュートンの重力場方程式  ｐ126　質点 $A_i$ と$B$ p126　ニュートンの重力ポテンシャル $\varphi (\overrightarrow{x})$ 質量密度 $\rho \left[\frac{kg}{m^3}\right]$ に体積 $[m^3]$ を乗じたものは、質量 $[kg]$。 質量密度が位置 $\overrightarrow{y}$ によって異なる場合、質量密度は、$\overrightarrow{y}$ の変数として$\rho (\overrightarrow{y})$ と表される。この $\rho (\overrightarrow{x})$ と各位置における微小体積と乗じたものを $V$ 内で合計したものは、領域 $V$ 内の合計質量$${\int }_V\rho (\overrightarrow{y})d\overrightarrow{y}$$となる。 p127　重力ポテンシャル $\varphi (\overrightarrow{x})$ 位置 $\overrightarrow{x}$ における単位質量あたりの重力による位置エネルギー。 単位は、　$$\begin{array}{rcl}\left[\frac{J}{kg}\right]& =& \left[\frac{N\cdot m}{kg}\right]\\ & =& \left[\frac{kg\cdot \frac{m}{s^2}\cdot m}{kg}\right]\\ & =& \left[\frac{m^2}{s^2}\right]\end{array}$$ ｐ127　$\mathrm{grad}\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$ 勾配 $\mathrm{grad}$ の定義（p36）より、$x$ 座標軸$$\left(\begin{array}{}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$ での $\frac{1}{|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|}$ の勾配は、\[\mathrm{grad}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}=\left(\begin{array}{x}\frac...