The world inside a pillow

   石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） （→　 第２章　物理の準備 ） §１　テンソル積 \(T^r(V)\) とテンソル積 \(\otimes \)  p208　\(V\) の元 \(\vec{e_1},~\vec{e_2}\) ２次元線形空間 \(V\) 上のベクトル p209　テンソル積 \(S^{ij}\vec{e_i}\otimes\vec{a_j}\) 添え字 \(i,~j\) は、いずれも走る添え字（場合分けして和をとる） \(S^{ij}\) は、行列\(S\) の \(i\) 行 \(j\) 列目の数値を示す。\[S=\left(\begin{array}{c}S^{11}&&S^{12}\\S^{21}&&S^{22}\end{array}\right)\] 演算 \(\otimes\) の計算方法は、p210 に定義。 p210　線形空間 \(V,~W\) 上の元 \(S,~T\) 元 \(S\) が、線形空間 \(V\) 上の基底\(\vec{e_1},~\vec{e_2}\) を用いて、以下のように表されるとき、\[\vec{S}=2\vec{e_1}+3\vec{e_2}\]元 \(S\) は、線形空間 \(V\) 上の元（ベクトル）である。 同様に、別の線形空間 \(W\) 上の元 \(T\) も観念できる。 この２つの元 線形空間 \(V\) 上のベクトル \(S\) 線形空間 \(W\) 上のベクトル \(T\) について、テンソル積 \(S\otimes T\) を考える。  テンソル積  \(S\otimes T\)  は、４つの軸 \(\vec{e_1}\otimes \vec{a_1}\) \(\vec{e_1}\otimes \vec{a_2}\) \(\vec{e_2}\otimes \vec{a_1}\) \(\vec{e_2}\otimes \vec{a_2}\) を持つ４次元の線形空間 \(V\otimes W\) 上の元（ベクトル）である（p210）。 （４次元の線形空間を、２次元図面上に図示することはできない。上記はイメージ図） p211　\(S\otimes

  石井俊全「一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する」ベレ出版 　の読後行間補充メモ （→　 正誤表 ） （→　 事項索引 ） （→　 第１章　数学の準備 ） §１　ニュートンの重力場方程式  ｐ126　質点 \(A_i\) と\(B\) p126　ニュートンの重力ポテンシャル \(\phi(\vec{x})\) 質量密度 \(\rho\left[\frac{kg}{m^3}\right]\) に体積 \([m^3]\) を乗じたものは、質量 \([kg]\)。 質量密度が位置 \(\vec{y}\) によって異なる場合、質量密度は、\(\vec{y}\) の変数として\(\rho(\vec{y})\) と表される。この \(\rho(\vec{x})\) と各位置における微小体積と乗じたものを \(V\) 内で合計したものは、領域 \(V\) 内の合計質量\[\int_V \rho(\vec{y})~d\vec{y}\]となる。 p127　重力ポテンシャル \(\phi(\vec{x})\) 位置 \(\vec{x}\) における単位質量あたりの重力による位置エネルギー。 単位は、　\begin{eqnarray}\left[\frac{J}{kg}\right]&=&\left[\frac{N\cdot m}{kg}\right]\nonumber\\ &=&\left[\frac{kg\cdot\frac{m}{s^2}\cdot m}{kg}\right]\nonumber\\&=&\left[\frac{m^2}{s^2}\right]\nonumber\end{eqnarray} ｐ127　\(\mathrm{grad}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\) 勾配 \(\mathrm{grad}\) の定義（p36）より、\(x\) 座標軸\[\left(\begin{array}{x}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\] での \(\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}\) の勾配は、\[\mathrm{grad}\frac{1}{|\vec{y}-\vec{x}|}=\left(\begin{array}{x}\frac{\partial