高校数学でわかる半導体の原理

竹内淳著「高校数学でわかる半導体の原理」講談社（2007/3/21）

https://www.amazon.co.jp//dp/4062575450

Table of Contents[hide]

p17　波長、振動数、速さの関係

電波の波長 $λ$ 、振動数 $ν$ 、速さ $c$

$λ ν = c$

p17　距離分解能と波長

https://www.marubun.co.jp/service/technicalsquare/a7ijkd000000e1g3.html

(ミリ波レーダの基礎：MARUBUN)

p19　抵抗率

銅… $1.7 \times 10^{- 6} [Ω c m]$

シリコン… $10^{3} [Ω c m]$

ガラス… $10^{12} [Ω c m]$

p26　波長より短いものを空間的に識別することはできない

https://www.olympus-lifescience.com/ja/support/learn/03/045/

(顕微鏡の能力その1 ～分解能と倍率～：OLYMPUS)

p39　光のエネルギー

光のエネルギー $E$ 、プランク定数 $h$ 、振動数 $ν$ 光速 $c$ 、波長 $λ$

$\begin{array}{rcl} E & = & h ν \\ = & h \frac{c}{λ} \\ λ & = & \frac{h c}{E} \\ = & \frac{6.626 \times 10^{- 34} [m^{2} k g / s] \times 2.998 \times 10^{10^{8}} [m / s]}{1.602 \times 10^{- 19} [e V]} \\ = & 1.239 \times 10^{- 6} [\frac{J s \times m / s}{J}] \\ = & 1.239 [μ m] \end{array}$

p40, 53, 56　電子の運動エネルギーE

質量 $m$ 、速さ $v$ 、運動量 $p$ として、 $\begin{array}{rcl} E & = & \frac{1}{2} m v^{2} \\ = & \frac{1}{2} m {(\frac{p}{m})}^{2} \\ = & \frac{p^{2}}{2 m} \end{array}$ これに量子力学上の知見である $\begin{array}{rcl} p & = & \frac{h}{λ} \\ = & \frac{h}{2 π} \frac{2 π}{λ} \\ = & ℏ k \end{array}$ を代入すると（プランク定数 $h$ 、波長 $λ$ 、波数 $k$ 、ディラック定数 $ℏ$ ）、 $\begin{array}{rcl} E & = & \frac{1}{2 m} (ℏ k)^{2} \\ \frac{2 m E}{ℏ^{2}} & = & k^{2} \\ k & = & \frac{\sqrt{2 m E}}{ℏ} \end{array}$

p56　波数ベクトル

波数ベクトル $\vec{k}$ の絶対値

波数ベクトル $\vec{k} = (k_{x}, k_{y}, k_{z})$ の $x, y$ 平面における長さは、三平方の定理により、 $\sqrt{k_{x}^{2} + k_{y}^{2}}$ これと線分 $k_{z}$ とが作る斜線の長さが、波数ベクトル $\vec{k}$ の長さであるから、 $\begin{array}{rcl} | \vec{k} | & = & \sqrt{{(\sqrt{k_{x}^{2} + k_{y}^{2}})}^{2} + k_{z}^{2}} \\ | \vec{k} |^{2} & = & k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} \end{array}$

p59　式｛｝内の近似

$\begin{array}{rcl} \dots & = & (E + Δ E) \sqrt{E} (1 + \frac{1}{2} \frac{Δ E}{E}) - E \sqrt{E} \\ = & E \sqrt{E} + E \sqrt{E} \frac{1}{2} \frac{Δ E}{E} + Δ E \sqrt{E} + \underset{―}{Δ E \sqrt{E} \frac{1}{2} \frac{Δ E}{E}} - E \sqrt{E} \end{array}$ の下線部分は微小な $Δ E$ を二回乗じた項であり０に近似できるので、 $\begin{array}{rcl} \dots & ≃ & E \sqrt{E} + E \sqrt{E} \frac{1}{2} \frac{Δ E}{E} + Δ E \sqrt{E} - E \sqrt{E} \\ = & E \sqrt{E} \frac{1}{2} \frac{Δ E}{E} + Δ E \sqrt{E} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{E} Δ E + \sqrt{E} Δ E \\ = & \frac{3}{2} \sqrt{E} Δ E \end{array}$

p60　電子の状態密度

単位体積当たりの電子の状態密度 $D_{e} (E)$ 　[状態数 $/ m^{3}$ ]

$D_{e} (E) = \frac{1}{2 π^{2}} (\frac{\sqrt{2 m}}{ℏ}) \sqrt{E}$

グラフのイメージ（ $m = 9.10 \times 10^{- 31} [k g], ℏ = 1, 054 \times 10^{- 34} [J s]$ ）

https://ja.wolframalpha.com/ を使用

p62　粒子の存在確率

エネルギー $E$ を持つ粒子が存在する確率 $f (E)$

$f (E) = e^{- \frac{E}{k_{B} T}}$

グラフのイメージ（ $T = 300$ ）

https://ja.wolframalpha.com/ を使用

(

10^{- 23} は 10^{- 19}

で代替描画)

p64　フェルミ粒子の存在確率

エネルギー $E$ を持つフェルミ粒子（例：電子）が存在する確率 $f (E)$

$f (E) = \frac{1}{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}}$

グラフのイメージ（ $E_{F} = 0.2, T = 300$ ）

https://ja.wolframalpha.com/ を使用

(

10^{- 23} は 10^{- 12}

で代替描画)

p70　電子の状態密度

単位体積当たりの電子の状態密度 $D_{e} (E)$

$D_{e} (E) = \frac{1}{2 π^{2}} (\frac{\sqrt{2 m}}{ℏ}) \sqrt{E - E_{c}}$

グラフのイメージ（ $m = 9.10 \times 10^{- 31} [k g], ℏ = 1, 054 \times 10^{- 34} [J s], E_{c} = 2 [e V] ）$

p72　フェルミ・ディラック分布からマクスウェル・ボルツマン分布への近似

$\begin{array}{rcl} E - E_{F} & ≫ & k_{B} T \\ \frac{E - E_{F}}{k_{B} T} & ≫ & 1 \\ e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} & ≫ & 1 \end{array}$ であるとき、

電子の存在確率 $f (E)$ は、 $\begin{array}{rcl} f (E) & = & \frac{1}{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ ≃ & \frac{1}{e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ = & e^{- \frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} \end{array}$ と近似される。

同様に、ホールについて、 $\begin{array}{rcl} E_{F} - E & ≫ & k_{B} T \\ \frac{E_{F} - E}{k_{B} T} & ≫ & 1 \\ - \frac{E - E_{F}}{k_{B} T} & ≫ & 1 \\ e^{- \frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} & ≫ & 1 \end{array}$ であるとき、

ホールの存在確率 $1 - f (E)$ は、 $\begin{array}{rcl} 1 - f (E) & = & 1 - \frac{1}{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ = & \frac{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} - 1}{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ = & \frac{e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}}{1 + e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ = & \frac{1}{\frac{1}{e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} + 1} \\ = & \frac{1}{e^{- \frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} + 1} \\ ≃ & \frac{1}{e^{- \frac{E - E_{F}}{k_{B} T}}} \\ = & e^{\frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} \\ = & e^{- \frac{E_{F} - E}{k_{B} T}} \end{array}$ と近似される。

p73　伝導体中の電子密度 n

電子の存在確率は、上記の近似式（マクスウェル・ボルツマン分布）を用い、状態密度 $D_{e}$ は、上記の $D_{e} (E) = \frac{1}{2 π^{2}} (\frac{\sqrt{2 m}}{ℏ}) \sqrt{E - E_{c}}$ を用いる。このとき電子密度 $n$ は、

$\begin{array}{rclr} n & = & \int_{E_{C}}^{\infty} f (E) D_{e} (E) d E \\ = & \int_{E_{C}}^{\infty} e^{- \frac{E - E_{F}}{k_{B} T}} \frac{1}{2 π^{2}} {(\frac{\sqrt{2 m}}{ℏ})}^{3} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & \int_{E_{C}}^{\infty} e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} \frac{1}{2 π^{2}} \frac{2 m \sqrt{2 m}}{ℏ^{3}} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} \int_{E_{C}}^{\infty} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} \frac{1}{2 π^{2}} \frac{2 m \sqrt{2 m}}{{(\frac{h}{2 π})}^{3}} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} \int_{E_{C}}^{\infty} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} \frac{1}{2 π^{2}} \frac{8 π^{3}}{h^{3}} 2 m \sqrt{2 m} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} \int_{E_{C}}^{\infty} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} \frac{8 π}{h^{3}} m \sqrt{2 m} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & \frac{8 π}{h^{3}} m \sqrt{2 m} e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} \int_{E_{C}}^{\infty} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} \sqrt{E - E_{C}} d E \\ = & \frac{8 \sqrt{2} π}{h^{3}} m^{\frac{3}{2}} e^{\frac{E_{F}}{k_{B} T}} \int_{E_{C}}^{\infty} \sqrt{E - E_{C}} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} d E \end{array}$ となる。

p73～74　変数変換

$x = \frac{E - E_{C}}{k_{B} T}$ とおき、両辺を $E$ で微分すると、 $\begin{array}{rcl} \frac{d x}{d E} & = & \frac{d}{d E} \frac{E - E_{C}}{k_{B} T} \\ = & \frac{d}{d E} (\frac{E}{k_{B} T} - \frac{E_{C}}{k_{B} T}) \\ = & \frac{1}{k_{B} T} \\ k_{B} T d x & = & d E \end{array}$ となり、p74の式の $d E$ を $x$ の式で置換できる。また、 $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{E - E_{C}}{k_{B} T} \\ k_{B} T x & = & E - E_{C} \\ \sqrt{k_{B} T x} & = & \sqrt{E - E_{C}} \end{array}$ となるので、p74の式の $\sqrt{E - E_{C}}$ を $x$ の式で置換できる。更に、 $\begin{array}{rcl} x & = & \frac{E - E_{C}}{k_{B} T} \\ = & \frac{E}{k_{B} T} - \frac{E_{C}}{k_{B} T} \\ - x - \frac{E_{C}}{k_{B} T} & = & - \frac{E}{k_{B} T} \end{array}$ となるので、p74の式の $- \frac{E}{k_{B} T}$ を $x$ の式で置換できる。

なお、 $E$ が積分範囲である、 $E : E_{C} \to \infty$ にて変化するとき、変数 $x$ は、 $x : \frac{E_{C} - E_{C}}{k_{B} T} = 0 \to \frac{\infty - E_{C}}{k_{B} T} = \infty$ のように変化する。これらの処理を同時におこなうと、 $\int_{E_{C}}^{\infty} \sqrt{E - E_{C}} e^{- \frac{E}{k_{B} T}} d E = \int_{0}^{\infty} \sqrt{k_{B} T x} e^{- x - \frac{E_{C}}{k_{B} T}} k_{B} T d x$ として変数変換ができる。

p80　フェルミエネルギー

フェルミエネルギー $E_{F}$ の位置

伝導体の電子数 $n$ と価電子帯のホール数 $p$ が等しいので、 $\begin{array}{rcl} n & = & p \\ N_{C} e^{- \frac{E_{C} - E_{F}}{k_{B} T}} & = & N_{V} e^{- \frac{E_{F} - E_{V}}{k_{B} T}} \\ l o g_{e} (N_{C} e^{- \frac{E_{C} - E_{F}}{k_{B} T}}) & = & l o g_{e} (N_{V} e^{- \frac{E_{F} - E_{V}}{k_{B} T}}) \\ l o g_{e} N_{C} + l o g_{e} e^{- \frac{E_{C} - E_{F}}{k_{B} T}} & = & l o g_{e} N_{V} + l o g_{e} e^{- \frac{E_{F} - E_{V}}{k_{B} T}} \\ l o g_{e} N_{C} - \frac{E_{C} - E_{F}}{k_{B} T} & = & l o g_{e} N_{V} - \frac{E_{F} - E_{V}}{k_{B} T} \\ l o g_{e} N_{C} - \frac{E_{C}}{k_{B} T} + \frac{E_{F}}{k_{B} T} & = & l o g_{e} N_{V} - \frac{E_{F}}{k_{B} T} + \frac{E_{V}}{k_{B} T} \\ \frac{E_{F}}{k_{B} T} + \frac{E_{F}}{k_{B} T} & = & \frac{E_{V}}{k_{B} T} + \frac{E_{C}}{k_{B} T} + l o g_{e} N_{V} - l o g_{e} N_{C} \\ E_{F} + E_{F} & = & E_{V} + E_{C} + k_{B} T l o g_{e} N_{V} - k_{B} T l o g_{e} N_{C} \\ 2 E_{F} & = & E_{C} + E_{V} + k_{B} T l o g_{e} \frac{N_{V}}{N_{C}} \\ E_{F} & = & \frac{1}{2} (E_{C} + E_{V}) + \frac{1}{2} k_{B} T l o g_{e} \frac{N_{V}}{N_{C}} \end{array}$ として、フェルミエネルギー $E_{F}$ の位置が求められた。ここで、 $\begin{array}{rcl} \frac{N_{V}}{N_{C}} & = & \frac{2 {(\frac{2 π m_{n}^{*} k_{B} T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}}}{2 {(\frac{2 π m_{e}^{*} k_{B} T}{h^{2}})}^{\frac{3}{2}}} \\ = & {(\frac{m_{h}^{*}}{m_{e}^{*}})}^{\frac{3}{2}} \\ l o g_{e} (\frac{N_{V}}{N_{C}}) & = & l o g_{e} {(\frac{m_{h}^{*}}{m_{e}^{*}})}^{\frac{3}{2}} \\ = & \frac{3}{2} {(\frac{m_{h}^{*}}{m_{e}^{*}})}^{\frac{3}{2}} \end{array}$ なので、 $E_{F}$ の式は、 $\begin{array}{rcl} E_{F} & = & \frac{1}{2} (E_{C} + E_{V}) + \frac{1}{2} k_{B} T \frac{3}{2} l o g_{e} (\frac{m_{h}^{*}}{m_{e}^{*}}) \\ = & \frac{1}{2} (E_{C} + E_{V}) + \frac{3}{4} k_{B} T l o g_{e} (\frac{m_{h}^{*}}{m_{e}^{*}}) \\ \sim & \frac{1}{2} (E_{C} + E_{V}) \end{array}$ となり（∵第１項 $≫$ 第２項）、フェルミエネルギー $E_{F}$ が、伝導体の底のエネルギー $E_{C}$ と価電子帯の頂上のエネルギー $E_{V}$ の中間値であることが確認できた。

p87　フェルミ・ディラック分布の式　

$f (E)$ は、p64 のフェルミ・ディラック分布の式

p88　ドナー密度

飽和領域のドナー密度 $N_{D}$

価電子帯からの励起は無視できるほど小さいが、ドナー準位の電子はほとんど全てが励起されるような温度領域を考えると、 $n = N_{D}$

p89　ドナー密度の計算

ドナー密度 $N_{D}$ の式変形は、p73～p74 と同じ。

p107　電子の増加個数（毎秒）

　左辺の次元は、電子密度 $n [個 / m^{3}]$ に体積 $S d x [m^{3}]$ を乗じたもの（＝電子増加個数）の単位時間あたり変化[個/s]。右辺の第１項と第２項は、電流 $J S$ を電荷 $- e$ で除したもの（＝１秒あたりの電子増加個数[個/s]）、第３項は、単位体積あたりの毎秒の減少電子数 $R_{n} [個 / s m^{3}]$ に体積 $S d x [m^{3}]$ を乗じたもの（＝１秒あたりの電子減少個数[個/s]）

P121　ポアソン方程式（１次元）

電荷密度 $ρ$ が場所 $x$ に依存しない場合（ $ρ = c o n s t .$ ）、ポアソン方程式 $\frac{d^{2}}{d x^{2}} ϕ (x) = - \frac{ρ (x)}{ε}$ の右辺は定数となるから、 $ϕ$ が $x$ の３次以上の式であると、その２階微分である左辺は $x$ の変数となってしまい、右辺が定数であることと矛盾する。よって、 $ϕ (x)$ は $x$ の２次以下の式である必要がある。これを $ϕ = a x^{2} + b x + c$ と置くと、ポアソン方程式は、 $\begin{array}{rcl} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (a x^{2} + b x + c) & = & - \frac{ρ}{ε} \\ \frac{d}{d x} (2 a x + b) & = & - \frac{ρ}{ε} \\ 2 a & = & - \frac{ρ}{ε} \\ a & = & - \frac{ρ}{2 ε} \end{array}$ となり、 $a$ が求められる。

p125～131　pn結合

pn接合の各領域の電位 $ϕ (x)$

電位のモデル式 $ϕ = a x^{2} + b x + c$ において、領域 $i = 1, 2, 3, 4$ に対応する係数を、 $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ で表わした結果は、以下のとおり。

p129　pn境界での電位一致、電界一致

電位のモデル式 $ϕ = a x^{2} + b x + c$ を $x$ で微分したものが、電界のモデル式 $E = 2 a x + b$ 領域２と領域3の境界（ $x = 0$ の地点）では電位が等しいから（境界条件）、 $a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = a_{3} x^{2} + b_{3} x + c_{3}$ が成立する。

同様に、領域２と領域３の境界（ $x = 0$ の地点）では電界も等しいから、 $2 a_{2} x + b_{2} = 2 a_{3} x + b_{3}$ が成立する。

電位・電界の両等式に導出済みの $a_{2}, a_{3}$ を代入すると（ $x = 0$ が前提）、

$\begin{array}{rcl} \frac{e N_{A}}{2 ε} x^{2} + b_{2} x + c_{2} = - \frac{e N_{D}}{2 ε} x^{2} + b_{3} x + c_{3} \\ 2 \frac{e N_{A}}{2 ε} x + b_{2} = - 2 \frac{e N_{D}}{2 ε} x + b_{3} \end{array}$ 同式は、 $x = 0$ のときに成立するので、同条件を代入すると、 $\begin{matrix} c_{2} = c_{3} b_{2} = b_{3} \end{matrix}$ が導かれる。

p130　c_2

$c_{2}$ の導出

１行目の式より、 $\begin{array}{rcl} c_{2} & = & b_{2} d - \frac{e N_{A}}{2 ε} d^{2} \\ = & \frac{e N_{A}}{ε} d^{2} - \frac{e N_{A}}{2 ε} d^{2} \\ = & \frac{e N_{A}}{2 ε} d^{2} \end{array}$

p130　c_4

$c_{4}$ の導出

３行目の式より、 $c_{4} = - \frac{e N_{D}}{2 ε} d^{' 2} + b_{3} d^{'} + c_{3}$ これに導出済みの $b_{3} = \frac{e N_{D}}{ε} d^{'}$ と $c_{3} = c_{2} = \frac{e N_{A}}{2 ε} d^{2}$ を代入すると、 $\begin{array}{rcl} c_{4} = & - \frac{e N_{D}}{2 ε} d^{' 2} + \frac{e N_{D}}{ε} d^{'} d^{'} + c_{2} \\ = & - \frac{e N_{D}}{2 ε} d^{' 2} + \frac{e N_{D}}{ε} d^{' 2} + c_{2} \\ = & \frac{e N_{D}}{2 ε} d^{' 2} + \frac{e N_{A}}{2 ε} d^{2} \end{array}$ となる。

p133　１行目　空乏層の電界

（？）右方向に電界が

（○）右（ｎ型）から左（ｐ型）の方向に電界が

p133～134　擬フェルミ・エネルギー

p型半導体とn型半導体を接合させた場合に、平衡状態では、両者の擬フェルミ・エネルギーが一致する（本書では未証明）。 $E_{F p}^{'} = E_{F n}^{'}$

p135　pn接合に順方向バイアス

p側に＋、n側に－となるような電圧をかける。

→p側の電位V（ひいてはエネルギー準位 $E = e V$ ）が＋側に（図では下側へ）に移動し、n側の電位等が－側に（図では上側へ）移動する。

p138　図版（中央右）

（誤） $E_{F}^{'}$

（正） $E_{F n}^{'}$

p139　電子密度

電子密度 $n_{n}$

（誤） $\int_{E_{C n} + V_{D} - V_{B}}^{\infty} \dots$

（正） $\int_{E_{C n} + e V_{D} - e V_{B}}^{\infty} \dots$

１行目から２行目への計算は、本書89頁・73～74頁と同様の計算。

２行目から３行目への積分範囲表示の変更は、本書138頁の式 $E_{C P} = E_{C n} + e V_{D} - e V_{B}$ による。

p140　ｎ型半導体

ｎ型半導体の電子密度 $n_{n}$

２行目から３行目への式変形は本書73～74頁と同様。

p140　ｐ型半導体

ｐ型半導体の電子密度 $n_{p}$ とｎ型半導体の電子密度 $n_{n}$

$\begin{array}{rcl} n_{n} & = & N_{C} e^{- \frac{E_{C p} - E_{F n}^{'}}{k_{B} T}} \\ = & N_{C} e^{- \frac{E_{C p} - E_{F p}^{'} - E_{F n}^{'} + E_{F p}^{'}}{k_{B} T}} \\ = & N_{C} e^{- \frac{E_{C p} - E_{F p}^{'}}{k_{B} T}} e^{- \frac{E_{F p}^{'} - E_{F n}^{'}}{k_{B} T}} \\ = & n_{p} e^{- \frac{E_{F p}^{'} - E_{F n}^{'}}{k_{B} T}} \end{array}$ ここで、本書138頁の図解にある、 $e V_{B} = E_{F n}^{'} - E_{F p}^{'}$ を代入すると、与式は、 $n_{n} = n_{p} e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}}$ となる。

p142　ホール密度

ホール密度 $p$

微分方程式 $\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}} - \frac{p - p_{n}}{D_{p} τ_{p}} = 0$ の解法は、要検討。

p143　ホールの拡散電流

ホールの拡散電流 $I$

ホール密度の解 $p = p_{n} + p_{n} e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)}$ を $x$ で偏微分すると、 $\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x} p & = & \frac{\partial}{\partial x} (p_{n} + p_{n} e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)}) \\ = & \frac{\partial}{\partial x} (p_{n} e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)}) \\ = & p_{n} \frac{\partial}{\partial x} (e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)}) \\ = & p_{n} \frac{\partial}{\partial x} (- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)) \frac{\partial}{\partial (- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1))} e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)} \\ = & p_{n} (- \frac{e^{\frac{e V_{b}}{k_{B} T}} - 1}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}}) e^{- \frac{x - d^{'}}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}} (e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1)} \end{array}$ これに、 $x = d^{'}$ を代入すると、 $\begin{array}{rcl} \frac{\partial}{\partial x} p |_{x = d^{'}} & = & p_{n} (- \frac{e^{\frac{e V_{b}}{k_{B} T}} - 1}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}}) e^{0} \\ = & p_{n} (- \frac{e^{\frac{e V_{b}}{k_{B} T}} - 1}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}}) \end{array}$ となる。

よって、pn接合の $x = d^{'}$ における拡散電流 $I_{p}$ は、拡散電流密度 $J = - e D_{p} \frac{\partial}{\partial x} p$ （本書104頁参照）に面積Sを乗じたものであるから、 $\begin{array}{rcl} I_{p} & = & J S \\ = & - e D_{p} \frac{\partial}{\partial x} p |_{x = d^{'}} S \\ = & - e D_{p} p_{n} (- \frac{e^{\frac{e V_{b}}{k_{B} T}} - 1}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}}) S \\ = & e p_{n} S D_{p} (\frac{e^{\frac{e V_{b}}{k_{B} T}} - 1}{\sqrt{D_{p} τ_{p}}}) \end{array}$ となる。 $\sqrt{D_{p} τ_{p}} \equiv L_{p}$ と定義すると、与式は、 $I_{p} = e p_{n} S D_{p} \frac{e^{\frac{e V_{B}}{k_{B} T}} - 1}{L_{p}}$ となる。

p145　ドリフト電流

図上部分のp型からn型部分への流れは電子の流れ（ドリフト電流は矢印が逆）

p151　ショットキー接合への順方向バイアス

金属部分に＋、ｎ型半導体に－の電圧を加える。

→ｎ型半導体の電位（及びエネルギー準位）が－へ移動（図では上に移動）

p153　温度上昇の影響

導体　　…抵抗率 up
半導体　…抵抗率 down
絶縁体　…抵抗率 down

p218　鏡面反射

鏡面反射では、反射面での入射波と反射波との波高合計が０となるべきなので、反射波の位相が $π$ 変化することとなる。このため、鏡面距離が光の波長の半分の整数倍であるとき、両波は強め合う関係になる。

p225　反射率

光強度の反射率 $R$ は、振幅反射率（電界振幅比） $r$ の絶対値の二乗で表わされるところ、 $R = | r |^{2}$ 垂直入射に近い場合、フレネルの公式は、以下のように近似されるので（左貝潤一「エッセンシャルテキスト光学」森北出版53頁。添え字の $P, S$ は光波成分を示す）、 $r_{P} = - r_{S} ≒ \frac{n_{2} - n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$ $R = {(\frac{n_{1} - n_{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{2}$ が成立する。

p248　量子井戸の状態密度

半径 $k$ の球の表面積は、 $4 π k^{2}$

（高校数学の美しい物語）球の体積と表面積を積分で証明