図解入門 よくわかる物理数学の基本と仕組み
潮秀樹著「図解入門 よくわかる物理数学の基本と仕組み」秀和システム（第１版第２刷）
https://www.amazon.co.jp//dp/479800698X
（正誤表）
https://www.shuwasystem.co.jp/books/7980/0698-X/0698-X.html
読後メモ（行間の補充等）
（正）ベクトル\(N\)は「\(-x\)方向」を向き
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（正誤表）
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読後メモ（行間の補充等）
第１章 ベクトルと行列
p14 末尾から９行目
（誤）ベクトル\(N\)は「\(-z\)方向」を向き（正）ベクトル\(N\)は「\(-x\)方向」を向き
p16 単位ベクトルの外積
\begin{eqnarray}|\vec{i}\times \vec{k}|&=&|\vec{i}||\vec{k}|\sin\frac{\pi}{2}\nonumber\\&=&1\times 1\times 1\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}であり、\(\vec{i}\)から\(\vec{k}\)へ\(\frac{\pi}{2}\)回転させたときの進行方向は、\(-y\)方向すなわち\(\vec{j}\)と逆向きとなるから、\[\vec{i}\times \vec{k}=-\vec{j}\]同様に、\[\vec{k}\times \vec{j}=-\vec{i}\]\[\vec{j}\times \vec{i}=-\vec{k}\]p29～31 行列式の定義
行列式により余因子\(\tilde{a}_{ij}\)を定義し、余因子により行列式 \(det~A\)を定義しており、循環している。p30 余因子
余因子 \(\tilde{a}_{ij}\)
以下のような行列\(A\)を考える。 \[ A = \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right)\]この行列\(A\)において、\(a_{11}\)を含む行と列（すなわち１行目と１列目）とを消除したものは、 \[ \left( \begin{array}{ccc} a_{22} \end{array} \right)\]となるから、\begin{eqnarray}\tilde{a}_{11}&=&(-1)^{1+1}\left|a_{22}\right|\nonumber\\&=&1\times a_{22}\nonumber\\&=& a_{22}\nonumber\end{eqnarray}同様に、行列\(A\)において、\(a_{12}\)を含む行と列（すなわち１行目と２列目）とを消除したものは、 \[ \left( \begin{array}{ccc} a_{21} \end{array} \right)\]となるから、\begin{eqnarray}\tilde{a}_{12}&=&(-1)^{1+2}\left|a_{21}\right|\nonumber\\&=&-1\times a_{21}\nonumber\\&=&-a_{21}\nonumber\end{eqnarray}
以下のような行列\(A\)を考える。 \[ A = \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array} \right)\]この行列\(A\)において、\(a_{11}\)を含む行と列（すなわち１行目と１列目）とを消除したものは、 \[ \left( \begin{array}{ccc} a_{22} \end{array} \right)\]となるから、\begin{eqnarray}\tilde{a}_{11}&=&(-1)^{1+1}\left|a_{22}\right|\nonumber\\&=&1\times a_{22}\nonumber\\&=& a_{22}\nonumber\end{eqnarray}同様に、行列\(A\)において、\(a_{12}\)を含む行と列（すなわち１行目と２列目）とを消除したものは、 \[ \left( \begin{array}{ccc} a_{21} \end{array} \right)\]となるから、\begin{eqnarray}\tilde{a}_{12}&=&(-1)^{1+2}\left|a_{21}\right|\nonumber\\&=&-1\times a_{21}\nonumber\\&=&-a_{21}\nonumber\end{eqnarray}
p43 振動を表さない場合の運動状態
振動を表さない\(\omega^2=0\)の場合
\begin{eqnarray}\omega&=&2\pi\nu\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}であり、固有ベクトル\(\vec{x}\)が、\[\vec{x} = \left( \begin{array}{ccc}
x_1 \\
x_1 \\
x_1
\end{array} \right)\]であるので、物体A～Cの座標は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) \\
x_B=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) +l\\
x_C=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) +2l
\end{array} \right.\]すなわち、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1~cos(\alpha) \\
x_B=x_1~cos(\alpha) +l\\
x_C=x_1~cos(\alpha) +2l
\end{array} \right.\]となり、振動せず、初期値\(\alpha\)で定められる位置に静止している状態を示す。例えば、\(\alpha=0\)の場合には、\(\cos0=1\)であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1\\
x_B=x_1 +l\\
x_C=x_1 +2l \end{array} \right.\]となり、振動せず、球Aの位置\(x_1\)から右に\(l\)だけ離れた位置に球Bが、そこから更に右に\(l\)だけ離れた位置に球Cが静止している状態を示す。
\begin{eqnarray}\omega&=&2\pi\nu\nonumber\\&=&0\nonumber\end{eqnarray}であり、固有ベクトル\(\vec{x}\)が、\[\vec{x} = \left( \begin{array}{ccc}
x_1 \\
x_1 \\
x_1
\end{array} \right)\]であるので、物体A～Cの座標は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) \\
x_B=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) +l\\
x_C=x_1~cos(2\pi\nu t+\alpha) +2l
\end{array} \right.\]すなわち、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1~cos(\alpha) \\
x_B=x_1~cos(\alpha) +l\\
x_C=x_1~cos(\alpha) +2l
\end{array} \right.\]となり、振動せず、初期値\(\alpha\)で定められる位置に静止している状態を示す。例えば、\(\alpha=0\)の場合には、\(\cos0=1\)であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
x_A=x_1\\
x_B=x_1 +l\\
x_C=x_1 +2l \end{array} \right.\]となり、振動せず、球Aの位置\(x_1\)から右に\(l\)だけ離れた位置に球Bが、そこから更に右に\(l\)だけ離れた位置に球Cが静止している状態を示す。
第２ 微分と積分
p57 万有引力の位置エネルギー
二つの物体の質量を\(M\)、\(m\)とし、両物体の中心間距離を\(r\)とした場合、万有引\(F\)の大きさは、質量の積を距離二乗で除したものに比例することが実験で確認されているため、比例定数を\(G\)とすると、\[F=G\frac{Mm}{r^2}\]と表現できる。質量\(M\)の物体を原点に置き、質量\(m\)の物体をそこから右に\(r\)だけ離れた位置に置くと、質量\(m\)の受ける万有引力は、右方向を正と設定すると、\(-F\)となる。万有引力による位置エネルギー\(V\)の大きさは、この\(-F\)という力を受けながら、力と逆方向に（正の方向へ遠ざかる方向に）、力\(F\)を与えて微小距離\(\Delta r\)だけ移動したときの仕事の大きさ\begin{eqnarray}W&=&F\Delta r\nonumber\end{eqnarray}の積算値として定義されるところ、距離\(r\)の値によって\(F\)も刻々と変化する関係にあることを踏まえると、\begin{eqnarray}V_n&=&W_1+W_2+W_3+\cdots+W_n\nonumber\\&=&F_1\Delta r+F_2\Delta r+F_3\Delta r+\cdots+F_n\Delta r\nonumber\\&=&G\frac{Mm}{r_1^2}\Delta r+G\frac{Mm}{r_2^2}\Delta r+G\frac{Mm}{r_3^2}\Delta r+\cdots+G\frac{Mm}{r_n^2}\Delta r\nonumber\\&=&GMm\left(\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\cdots+\frac{1}{r_n^2}\right)\Delta r\nonumber\\&=&GMm\sum_{k=1}^n\frac{1}{r_k^2}\Delta r\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、\(\Delta r\) を無限微小 \(dr\)とすると、積分定数を \(C\)として、\begin{eqnarray}V&=&GMm\int\frac{1}{r^2}dr\nonumber\\&=&GMm\left[-\frac{1}{r}+C\right]\nonumber\\&=&-\frac{GMm}{r}+GMmC\nonumber\end{eqnarray}となる。同式の\(GMmC\)は定数であるところ、これを\(0\)と設定すれば、万有引力の位置エネルギー\(V\)は、\[V=-\frac{GMm}{r}\]と表現できる。p65 積の微分の公式
スカラー関数\(f(x),~g(x)\)の積の\(x\)微分について、\[\frac{d(fg)}{dx}=\frac{df}{dx} g+f\frac{dg}{dx}\]スカラー\(r(t)\)とベクトル\(\vec{e(t)}\)の積の\(t\)微分について、\[\frac{d(r\vec{e})}{dt}=\frac{dr}{dt}\vec{e}+r\frac{d\vec{e}}{dt}\]p65 単位ベクトルの時間微分
単位ベクトル\(\vec{e}\)の時間\(t\)微分
\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\vec{e_r}&=&\frac{d}{dt}\left(\cos\theta\vec{i}+\sin\theta\vec{j}\right)\nonumber\\&=&\frac{d\cos\theta}{dt}\vec{i}+\frac{d\sin\theta}{dt}\vec{j}\nonumber\\ &=&\frac{d\theta}{dt}\frac{d\cos\theta}{d\theta}\vec{i}+\frac{d\theta}{dt}\frac{d\sin\theta}{d\theta}\vec{j}\nonumber\\&=&\dot{\theta}(-\sin\theta)\vec{i}+\dot{\theta}\cos\theta\vec{j}\nonumber\\ &=&-\sin\theta~\dot{\theta}\vec{i}+\cos\theta~\dot{\theta}\vec{j}\nonumber\end{eqnarray}
（正）\[\frac{d\vec{e_r}}{dt}\equiv\dot{\vec{e_r}}\]
（正） 関数\(F(x)\)は、\(f(x)=\cos x\) のとき、\(\sin x-\sin x_2\) をも満たす。
\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}\vec{e_r}&=&\frac{d}{dt}\left(\cos\theta\vec{i}+\sin\theta\vec{j}\right)\nonumber\\&=&\frac{d\cos\theta}{dt}\vec{i}+\frac{d\sin\theta}{dt}\vec{j}\nonumber\\ &=&\frac{d\theta}{dt}\frac{d\cos\theta}{d\theta}\vec{i}+\frac{d\theta}{dt}\frac{d\sin\theta}{d\theta}\vec{j}\nonumber\\&=&\dot{\theta}(-\sin\theta)\vec{i}+\dot{\theta}\cos\theta\vec{j}\nonumber\\ &=&-\sin\theta~\dot{\theta}\vec{i}+\cos\theta~\dot{\theta}\vec{j}\nonumber\end{eqnarray}
p66 式（2.37）
（誤）\[\frac{d\dot{\vec{e_r}}}{dt}=\dot{\vec{e_r}}\]（正）\[\frac{d\vec{e_r}}{dt}\equiv\dot{\vec{e_r}}\]
p66 円運動の速度の大きさ
\begin{eqnarray}|v|&=&\left|\frac{d\vec{r}}{dt}\right|\nonumber\\&=&\left| \dot{r}\vec{e_r}+r\dot{\vec{e_r}}\right|\nonumber\\&=&\left| 0\times \vec{e_r}+r\dot{\theta}\vec{e_r}\right|\nonumber\\&=&\left|r\dot{\theta}\vec{e_r}\right|\nonumber\\&=&r\left| \dot{\theta}\right| \left|\vec{e_r}\right|\nonumber\\&=&r\left|\dot{\theta}\right| \times 1 \nonumber\\&=&r|\omega|\nonumber\\&=&r\omega\nonumber\end{eqnarray}p66 ３つの関数の積の微分
３つの関数\(f(x),~g(x),~h(x)\)の積\(fgh\)の\(x\)による微分は、\begin{eqnarray}(fgh)'&=&(fg)'h+(fg)h'\nonumber\\&=&(f'g+fg')h+(fg)h'\nonumber\\&=&f'gh+fg'h+fgh'\nonumber\end{eqnarray}である。これを踏まえると、式（2.3.10）の式変形中 \(r\dot{\theta}\vec{e_\theta}\) の\(t\)微分の箇所は、\[\frac{d~r\dot{\theta}\vec{e_\theta}}{dt}=\dot{r}\dot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\ddot{\theta}\vec{e_{\theta}}+r\dot{\theta}\dot{\vec{e_{\theta}}}\]となる。p69 慣性モーメント
質量\(m\)の質点が、半径\(r\)の円周上を、接線方向の力\(F\)を受けて移動する場合の運動方程式は、加速度を\(a\)、速度を\(v\)、時刻を\(t\)とすれば、\begin{eqnarray}F&=&ma\nonumber\\&=&m\frac{d}{dt}v\nonumber\\&=&m\frac{d}{dt}(r\omega)\nonumber\\&=&mr\frac{d}{dt}\omega\nonumber\\Fr&=&mr^2\frac{d}{dt}\omega\nonumber\end{eqnarray}いま、接線方向の力\(F\)と半径\(r\)とは直角なので、左辺は、力のモーメント（14頁）の絶対値\begin{eqnarray}|N|&=&\left|\vec{r}\times \vec{F}\sin\frac{\pi}{2}\right|\nonumber\\&=&\left| |\vec{r}||\vec{F}|\times 1\right| \nonumber\\&=&rF\nonumber\end{eqnarray}を指す。右辺のうち\[\frac{d}{dt}\omega\]は、角速度の時間微分すなわち角加速度を指す。よって、同式は、力のモーメントを加えた場合に一定値の慣性で除された角加速度を産むことを示しており、その一定値（回転における慣性質量に相当）が、\[mr^2\]として把握される（慣性モーメント）。p67 均一な棒の慣性モーメント
棒全体の質量を\(M\)とすると、棒の長さが\(a\)であるので、均一な棒の場合、その単位長さあたりの質量\(\rho\)は、\[\rho=\frac{M}{a}~~~~~\left[\frac{kg}{m}\right]\]となる。微小部分の質量\(m\)は、これに微小長さ\(\Delta x\)を乗じて、\[\rho~\Delta x=\frac{M}{a}\Delta x\]となる。よって、微小部部分の慣性モーメントは、これに半径距離の二乗\(x^2\)を乗じて、\[x^2\frac{M}{a}\Delta x\]となる（p70図2.4.5グラフでは、青色部分の各部を構成する横幅\(\Delta x\)、高さ\(\frac{M}{a}x^2\)の長方形）。これを\(-\frac{a}{2}\leqq x\leqq\frac{a}{2}\)の範囲で合算（\(\Delta x\)を無限小\(dx\)にとれば積分）すれば、棒全体の慣性モーメント（同グラフの青色部分の面積）が得られる。\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^\infty \frac{M}{a}x_k^2 \Delta x&=&\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\frac{M}{a}x^2~dx\nonumber\\&=&\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\rho x^2 ~dx\nonumber\end{eqnarray}ちなみに、棒が均一でなく、位置\(x\)によって密度が異なる場合、単位長さあたりの密度\(\rho\)を位置\(x\)の関数\(\rho(x)\)で表すと、上記式（棒全体の慣性モーメント）は、\[\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\rho(x)x^2~ dx\]となる。p72 原始関数 （下段 ＊ 注書き部分）
（誤） 関数\(F(x)\)は、\(\sin x-\sin x_2\)となる。（正） 関数\(F(x)\)は、\(f(x)=\cos x\) のとき、\(\sin x-\sin x_2\) をも満たす。
p72 (F(b)-F(a)（下段 ＊ 注書き部分）
\(F(b)-F(a)\) （下段 ＊ 注書き部分）
（誤） 第２項は…第一項と…
（正） 右辺は…左辺と…
次に、同地点における\(z\)軸を中心とする\((x,y)\)平面に平行な円を考えると、同円の半径は、\(r\sin\theta\)である。よって、同円の微小角度\(\Delta \phi\)に対応する円弧の長さは、\[r\sin\theta \times \Delta \phi\]である（青色長方形の底辺）。よって、底辺を\(r\sin\theta\Delta\phi \) とし、高さを\(r\Delta \theta\) とする微小部分の長方形の面積\(S\)は、\[\Delta S=r\sin\theta \Delta \phi \times r\Delta\theta \]となる。
0 \leqq \phi \leqq 2\pi\\
0\leqq \theta \leqq \pi\\
0\leqq r \leqq a
\end{array} \right.\]
について積算すれば、球の質量が求められるところ、\(\Delta \phi \) を \(d\phi\) 等として、積分形式にすると、 \begin{eqnarray}\int_V \rho(r,\theta,\phi) ~dV&=&\int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \rho(r,\theta, \phi)\times ~d r \times r\sin\theta ~d \phi \times r ~d\theta \nonumber\\&=&\int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \biggl( \rho(r,\theta, \phi) ~r^2 ~\sin\theta \biggr) ~d \phi ~d\theta ~dr \nonumber\end{eqnarray}となる。
（誤） 第２項は…第一項と…
（正） 右辺は…左辺と…
p76 線積分
内積の定義（12頁）より、力\(F\)の接線方向成分を\(F_S\)、力\(F\)と接線との角度を\(\theta\)とすると、\begin{eqnarray}\vec{F}\cdot\Delta \vec{s}&=&|\vec{F}||\Delta \vec{s}|\cos\theta\nonumber\\&=&|\vec{F}|\cos\theta|\Delta\vec{s}|\nonumber\\&=&F_s\Delta s\nonumber\end{eqnarray}p77 図2.5.2 線積分の計算
\(F_s\)が次第に増加するようなケースを前提としたグラフ。一般的には、\(F_s\)には増減がある。p78 摩擦力のする仕事
摩擦力と逆方向に移動しているので、摩擦力による仕事はマイナスを示す。ちなみに、摩擦力に逆らって、点Pから点Qまで質点を移動させた者がした仕事は、プラスとなり、\(C_1\)の長さを\(L_{C1}\)とすれば、\[F_f\cdot L_{C1}\]となる。p79 重力のする仕事
重力と逆方向に移動しているので、重力による仕事はマイナスを示す。重力に逆らって、点Pから点Qまで質点を移動させた者がした仕事は、プラスとなり、\[mgy_Q\]となる。p83 極座標における円盤上の微小部分の面積
半径\(r\)の全円周の長さは、\(2\pi r\)であり、このときの角度は一周分\( 2\pi\)である。よって、角度\(\theta\)に対応する円弧の長さは、\[2\pi r\times \frac{\theta}{2\pi}=r\theta \]となり、微小角度\(\Delta \theta\)に対応する円弧の長さは、\[r\Delta\theta \]となる。微小部分は長方形とみなせるから、底辺を\(r\Delta\theta \) とし、高さを\(\Delta r\) とする長方形の面積は、\[r\Delta\theta ~\Delta r\]となる。p83 極座標における球面上の微小部分の面積
微小角度\(\Delta \theta\)に対応する円弧の長さは、\[r\Delta\theta \]である（83頁図2.5.9の青色長方形の高さ）。次に、同地点における\(z\)軸を中心とする\((x,y)\)平面に平行な円を考えると、同円の半径は、\(r\sin\theta\)である。よって、同円の微小角度\(\Delta \phi\)に対応する円弧の長さは、\[r\sin\theta \times \Delta \phi\]である（青色長方形の底辺）。よって、底辺を\(r\sin\theta\Delta\phi \) とし、高さを\(r\Delta \theta\) とする微小部分の長方形の面積\(S\)は、\[\Delta S=r\sin\theta \Delta \phi \times r\Delta\theta \]となる。
p86 球の質量（直交座標による体積積分）
球内部の座標\((x,y,z)\)によって密度\(\rho\)が異なる場合、密度\(\rho\)は、\[\rho(x,y,z)\]と座標成分の関数として表される。球内部の微小部分の体積\(\Delta V\)は、\[\Delta V=\Delta x \times \Delta y \times \Delta z\]である。よって、球の微小部分の質量は、\[\rho(x,y,z)\times \Delta x \times \Delta y \times \Delta z\]である。これを、全部分について積算すれば、球の質量が求められるところ、\(\Delta x\) を \(dx\) 等として、積分形式にすると、 \[\int_V \rho(x,y,z) ~dV=\int\int\int_V \rho(x,y,z)~dx~dy~dz\]となる。p86 球の質量（球座標による体積積分）
密度\(\rho\)は、球座標\((r,\theta, \phi)\) では、\[\rho(r,\theta,\phi)\]と表される。球内部の微小部分の体積\(\Delta V\)は、内部球の微小部分面積\(\Delta S\)に微小奥行き\(\Delta r\)を乗じたものなので、\begin{eqnarray}\Delta V &=& \Delta r \times \Delta S\nonumber\\&=&\Delta r \times r\sin\theta \Delta \phi \times r\Delta\theta \nonumber\end{eqnarray}である。よって、球の微小部分の質量は、\[\rho(r,\theta, \phi)\times \Delta r \times r\sin\theta \Delta \phi \times r\Delta\theta \]である。これを、全部分（球の半径を\(a\)とする）\[ \left\{ \begin{array}{l}0 \leqq \phi \leqq 2\pi\\
0\leqq \theta \leqq \pi\\
0\leqq r \leqq a
\end{array} \right.\]
について積算すれば、球の質量が求められるところ、\(\Delta \phi \) を \(d\phi\) 等として、積分形式にすると、 \begin{eqnarray}\int_V \rho(r,\theta,\phi) ~dV&=&\int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \rho(r,\theta, \phi)\times ~d r \times r\sin\theta ~d \phi \times r ~d\theta \nonumber\\&=&\int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \biggl( \rho(r,\theta, \phi) ~r^2 ~\sin\theta \biggr) ~d \phi ~d\theta ~dr \nonumber\end{eqnarray}となる。
p93 微小ベクトル
微小ベクトル\(d\vec{r_1}\)
ベクトル\(\vec{r_1}\)は、\(v\)の等位線に平行な\(u\)軸方向のベクトルであるから、\(u\)との関係でのみ変化を生ずる。よって、\(u\)で微分をしてみると、63頁式2.3.3より、\begin{eqnarray}\frac{d\vec{r_1}}{du}&=&\frac{dx}{du}\vec{i}+\frac{dy}{du}\vec{j}\nonumber\\d\vec{r_1}&=&\frac{dx}{du}\vec{i}du+\frac{dy}{du}\vec{j}du\nonumber\end{eqnarray}となり、微小ベクトル\(d\vec{r_1}\)を微分で表すことができる。これを、\((i,j)\)の成分表示で表記すると、\[d\vec{r_1}=\left( \frac{\partial x}{\partial u}du,~\frac{\partial y}{\partial u}du\right)\]
ベクトル\(\vec{r_1}\)は、\(v\)の等位線に平行な\(u\)軸方向のベクトルであるから、\(u\)との関係でのみ変化を生ずる。よって、\(u\)で微分をしてみると、63頁式2.3.3より、\begin{eqnarray}\frac{d\vec{r_1}}{du}&=&\frac{dx}{du}\vec{i}+\frac{dy}{du}\vec{j}\nonumber\\d\vec{r_1}&=&\frac{dx}{du}\vec{i}du+\frac{dy}{du}\vec{j}du\nonumber\end{eqnarray}となり、微小ベクトル\(d\vec{r_1}\)を微分で表すことができる。これを、\((i,j)\)の成分表示で表記すると、\[d\vec{r_1}=\left( \frac{\partial x}{\partial u}du,~\frac{\partial y}{\partial u}du\right)\]
p93 微小部分の面積
微小部分の面積\(dS\)
外積の定義（17頁）に従い計算すると、\begin{eqnarray}dS&=&\left|d\vec{r_1}\times d\vec{r_2}\right|\nonumber\\&=&\left|\left( \frac{\partial x}{\partial u}du,\frac{\partial y}{\partial u}du\right)\times \left( \frac{\partial x}{\partial v}dv,\frac{\partial y}{\partial v}dv\right)\right|\nonumber\\&=&\left| \frac{\partial x}{\partial u}du~\frac{\partial y}{\partial v}dv-\frac{\partial y}{\partial u}du~\frac{\partial x}{\partial v}dv\right|\nonumber\\&=&\left| \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right|dv~du\nonumber\end{eqnarray}
x=r~\cos\theta \\
y=r~\sin\theta
\end{array} \right.\]なので、\begin{eqnarray}dS&=&\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}\right|dr~d\theta\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{array} \right|\right|dr~d\theta\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\cos\theta & \frac{\partial ~r~\cos\theta}{\partial \theta} \\
\sin\theta & \frac{\partial ~r~\sin\theta}{\partial \theta}
\end{array} \right|\right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\cos\theta &-r~\sin\theta \\
\sin\theta & r~\cos\theta
\end{array} \right|\right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| r~\cos^2\theta +r~\sin^2\theta \right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\right|dr~d\theta \nonumber\\
&=&|r|dr~d\theta\nonumber\\
&=&r~dr~d\theta\nonumber\end{eqnarray}
外積の定義（17頁）に従い計算すると、\begin{eqnarray}dS&=&\left|d\vec{r_1}\times d\vec{r_2}\right|\nonumber\\&=&\left|\left( \frac{\partial x}{\partial u}du,\frac{\partial y}{\partial u}du\right)\times \left( \frac{\partial x}{\partial v}dv,\frac{\partial y}{\partial v}dv\right)\right|\nonumber\\&=&\left| \frac{\partial x}{\partial u}du~\frac{\partial y}{\partial v}dv-\frac{\partial y}{\partial u}du~\frac{\partial x}{\partial v}dv\right|\nonumber\\&=&\left| \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}-\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}\right|dv~du\nonumber\end{eqnarray}
p94 極座標のヤコビアン
64頁の図2.3.3より、\[ \left\{ \begin{array}{l}x=r~\cos\theta \\
y=r~\sin\theta
\end{array} \right.\]なので、\begin{eqnarray}dS&=&\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}\right|dr~d\theta\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{array} \right|\right|dr~d\theta\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\cos\theta & \frac{\partial ~r~\cos\theta}{\partial \theta} \\
\sin\theta & \frac{\partial ~r~\sin\theta}{\partial \theta}
\end{array} \right|\right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| \left| \begin{array}{ccc}
\cos\theta &-r~\sin\theta \\
\sin\theta & r~\cos\theta
\end{array} \right|\right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| r~\cos^2\theta +r~\sin^2\theta \right|dr~d\theta
\nonumber\\
&=&\left| r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\right|dr~d\theta \nonumber\\
&=&|r|dr~d\theta\nonumber\\
&=&r~dr~d\theta\nonumber\end{eqnarray}
p95 極座標による表示
極座標による\((x,y,z)\)表示
84頁の図より、\[z=r~\cos\theta\] \(z\)軸を中心とする\((x,y)\)平面に平行な小円で頂点角\(\theta\)に相当するものの半径\(r_{\theta}\)は、同図より、\(r_{\theta}=r~\sin\theta\)である。同小円の半径軸のうち平面角\(\phi\)のもの（長さ \(r~\sin\theta\)）の\(x\)軸への射影が\(x\)座標となるから、\begin{eqnarray}x&=&r_{\theta}~\cos\phi\nonumber\\&=&r~\sin\theta~\cos\phi\nonumber\end{eqnarray}同様に、\(y\)座標も、\begin{eqnarray}y&=&r_{\theta}~\sin\phi\nonumber\\&=&r~\sin\theta~\sin\phi\nonumber\end{eqnarray}
84頁の図より、\[z=r~\cos\theta\] \(z\)軸を中心とする\((x,y)\)平面に平行な小円で頂点角\(\theta\)に相当するものの半径\(r_{\theta}\)は、同図より、\(r_{\theta}=r~\sin\theta\)である。同小円の半径軸のうち平面角\(\phi\)のもの（長さ \(r~\sin\theta\)）の\(x\)軸への射影が\(x\)座標となるから、\begin{eqnarray}x&=&r_{\theta}~\cos\phi\nonumber\\&=&r~\sin\theta~\cos\phi\nonumber\end{eqnarray}同様に、\(y\)座標も、\begin{eqnarray}y&=&r_{\theta}~\sin\phi\nonumber\\&=&r~\sin\theta~\sin\phi\nonumber\end{eqnarray}