エッセンシャルテキスト 光学（第４章～）
左貝潤一著「エッセンシャルテキスト 光学」森北出版社（2019.7）
読後メモ（行間の補充等）
第４章 屈折・反射の波動論
p50 無損失媒質中の電界の発散
無損失（\(\rho=0\)）の媒質中の電束密度\(\vec{D}\)について、マクスウェル方程式（4.1c）より、\begin{eqnarray}div\vec{D}&=&\rho\nonumber\\div\vec{D}&=&0\nonumber\\div~\varepsilon\varepsilon_0\vec{E}&=&0\nonumber\\div\vec{E}&=&0\nonumber\end{eqnarray}
p50 媒質中の電磁波の波動方程式
\begin{eqnarray}\nabla\times(\nabla\times\vec{E})&=&-\varepsilon\mu\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\nonumber\\&=&-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\nonumber\end{eqnarray}ここで、ベクトル公式\[\nabla\times(\nabla\times~~)=grad~div-\nabla^2\]を左辺に用いると、\begin{eqnarray}grad~div\vec{E}-\nabla^2\vec{E}&=&-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\nonumber\\grad~0-\nabla^2\vec{E}&=&-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\nonumber\\0&=&\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\nonumber\end{eqnarray}が得られる（式4.6a右部分）\[v=\frac{c}{n}\]を代入すると、\[0=\nabla^2\vec{E}-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}\]も得られる（式4.6a左部分）。P50 ベクトル公式
ベクトル公式 \(\nabla\times(\nabla\times~~)=grad~div-\nabla^2\) の証明
電界\(\vec{E}\)を成分表示した\[ \vec{E} = \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\]について、回転\(rot\) （\(=\nabla\times\)） の定義に従い展開すると、
\begin{eqnarray}\nabla\times\vec{E}&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\nonumber\\&=& \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\
\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \\
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}よって、左辺は、\begin{eqnarray}\nabla\times(\nabla\times\vec{E})&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\
\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \\
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\end{array} \right)\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \\
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \\
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \right)
\end{array} \right)\nonumber\\ &=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2E_y}{\partial y~\partial x}-\frac{\partial^2E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} +\frac{\partial^2E_z}{\partial z ~\partial x} \\
\frac{\partial^2E_z}{\partial z~\partial y}-\frac{\partial^2E_y}{\partial z^2}-\frac{\partial^2E_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2E_z}{\partial x ~\partial y} \\
\frac{\partial^2E_x}{\partial x~\partial z}-\frac{\partial^2E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2E_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2E_y}{\partial y ~\partial z}
\end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}となる。他方で、右辺の第１項を見るに、発散\(div\) （\(=\nabla\cdot\)） の定義に従い\(div\vec{E}\)を展開すると、\begin{eqnarray}div\vec{E}&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\nonumber\\&=&
\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z}
\nonumber\end{eqnarray}となるから、その勾配\(grad\) （\(=\nabla\)）は、\begin{eqnarray}grad~div\vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right)
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\\
\frac{\partial}{\partial y}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\\
\frac{\partial}{\partial x}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)
\end{array} \right) \nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}また、右辺の第２項を見るに、ラプラシアン （\(=\nabla^2\)） の定義に従い\(\nabla^2 \vec{E}\)を展開すると、\begin{eqnarray}\nabla^2\vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
E_x\\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
E_x \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\\
E_y \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\\
E_z \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)
\end{array} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}よって、右辺は、\begin{eqnarray}grad~div\vec{E}-\nabla^2 \vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
-
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}- \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z}- \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}- \frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2E_z}{\partial y^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}左辺と右辺の各要素を比較すると一致するので、\[\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=grad~div\vec{E}-\nabla^2\vec{E}\]が成立する。
電界\(\vec{E}\)を成分表示した\[ \vec{E} = \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\]について、回転\(rot\) （\(=\nabla\times\)） の定義に従い展開すると、
\begin{eqnarray}\nabla\times\vec{E}&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\nonumber\\&=& \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\
\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \\
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}よって、左辺は、\begin{eqnarray}\nabla\times(\nabla\times\vec{E})&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \\
\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \\
\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\end{array} \right)\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \\
\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \\
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} \right)
\end{array} \right)\nonumber\\ &=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2E_y}{\partial y~\partial x}-\frac{\partial^2E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2E_x}{\partial z^2} +\frac{\partial^2E_z}{\partial z ~\partial x} \\
\frac{\partial^2E_z}{\partial z~\partial y}-\frac{\partial^2E_y}{\partial z^2}-\frac{\partial^2E_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2E_z}{\partial x ~\partial y} \\
\frac{\partial^2E_x}{\partial x~\partial z}-\frac{\partial^2E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2E_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2E_y}{\partial y ~\partial z}
\end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}となる。他方で、右辺の第１項を見るに、発散\(div\) （\(=\nabla\cdot\)） の定義に従い\(div\vec{E}\)を展開すると、\begin{eqnarray}div\vec{E}&=&\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc}
E_x \\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)\nonumber\\&=&
\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z}
\nonumber\end{eqnarray}となるから、その勾配\(grad\) （\(=\nabla\)）は、\begin{eqnarray}grad~div\vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} \\
\frac{\partial}{\partial y} \\
\frac{\partial}{\partial x}
\end{array} \right)
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\\
\frac{\partial}{\partial y}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)\\
\frac{\partial}{\partial x}
\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+
\frac{\partial E_y}{\partial y}+
\frac{\partial E_z}{\partial z} \right)
\end{array} \right) \nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}また、右辺の第２項を見るに、ラプラシアン （\(=\nabla^2\)） の定義に従い\(\nabla^2 \vec{E}\)を展開すると、\begin{eqnarray}\nabla^2\vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
E_x\\
E_y \\
E_z
\end{array} \right)
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
E_x \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\\
E_y \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\\
E_z \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)
\end{array} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}よって、右辺は、\begin{eqnarray}grad~div\vec{E}-\nabla^2 \vec{E}&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}+ \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
-
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}
\end{array} \right)
\nonumber\\&=&
\left( \begin{array}{ccc}
\frac{\partial^2 E_y}{\partial x~\partial y}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial x~\partial z}- \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial y~\partial x}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y~\partial z}- \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} \\
\frac{\partial^2 E_x}{\partial z~\partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z~\partial y}- \frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial ^2E_z}{\partial y^2}
\end{array} \right)
\nonumber\end{eqnarray}左辺と右辺の各要素を比較すると一致するので、\[\nabla\times(\nabla\times\vec{E})=grad~div\vec{E}-\nabla^2\vec{E}\]が成立する。
p50 媒質が非磁性のときの屈折率
屈折率\(n\)は、\begin{eqnarray}n&=&\frac{c}{v}\nonumber\\&=&\frac{\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}}{\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}}}\nonumber\\&=&\frac{\sqrt{\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0}}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}\nonumber\\&=& \sqrt{\varepsilon\mu}\nonumber\end{eqnarray}非磁性のとき、\(\mu=1\)なので、\[n=\sqrt{\varepsilon}\]
p51 波形
波形\(\Psi\)の導出
（web 付録\(A1\) https://www.morikita.co.jp/exclusive/download/2143）
式4.6a を\(\vec{E}\)について解く。
ここで、\(\vec{E}\)が、時間\(t\)に関する関数\(T(t)\)と位置\(\vec{r}\)に関する関数\( U(\vec{r}) \)の積であると仮定のうえ、解が求められるかを探る。\[\vec{E}=T(t)U( \vec{r} )\]
を式4.6a に代入すると\begin{eqnarray}\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}&=&0\nonumber\\ \nabla^2(T(t)U(\vec{r}))-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2~ T(t)U(\vec{r})}{\partial t^2}&=&0\nonumber\end{eqnarray}空間座標\((x,y,z)\)の演算子\(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \)との関係で\(T(t)\)は定数であるから、\[ \nabla^2 (T(t) U(\vec{r}))=T(t) \nabla^2 U(\vec{r})\]であり、時間微分\(\frac{\partial^2} {\partial t^2}\)との関係で\(U(\vec{r})\)は定数であるから、\[\frac{\partial^2 ~T(t) U(\vec{r})} {\partial t^2}=U(\vec{r})\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}\]であるから、与式は、\[T(t) \nabla^2 U(\vec{r})-\frac{1}{v^2}U(\vec{r})\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=0\]となるので、両辺を\(T(t)U(\vec{r})\)で除すれば、\begin{eqnarray}\frac{ \nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}-\frac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&0\nonumber\\ \frac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\\ \frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&v^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\\ \frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.1）が得られる。同式の左辺は\(t\)の関数であり、右辺は\(\vec{r}\)の関数であり、独立に変化し得るものであるところ、時間と位置の独立変動に関わらず常に等式が成立するということは、両辺がともにある定数となることを示す。よって、この定数を\(-\omega^2\)として置き、\[\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=-\omega^2=\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\]左辺と右辺とを分離すると、\[\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=-\omega^2\]及び\[\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}=-\omega^2\]が得られる。第１式を変形すると、\begin{eqnarray}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&-\omega^2\nonumber\\\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&-\omega^2 T(t)\nonumber\\ \frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}+\omega^2 T(t)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.2a）が得られ、第２式を変形すると、\begin{eqnarray}\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}&=&-\omega^2\nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})&=& -\omega^2 \left(\frac{n}{c}\right)^2 U(\vec{r}) \nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})&=& -\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2 U(\vec{r}) \nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})+ \left(\frac{n\omega}{c}\right)^2 U(\vec{r})&=&0 \nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.2b）が得られる。
式（A.1.2a）を\(T(t)\)について解くため、定理（微分方程式の解）を用いる。すなわち、微分方程式\[a\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+cx(t)=0\]の解は、\[x(t)=e^{pt}\]で現わすことができるところ、同定理を前提にすると、解\(e^{pt}\)を微分方程式に代入すれば式が成立する筈だから、\begin{eqnarray} a\frac{d^2e^{pt}}{dt^2}+b\frac{de^{pt}}{dt}+ce^{pt}&=&0 \nonumber\\ a\frac{d}{dt}pe^{pt}+bpe^{pt}+ce^{pt}&=&0\nonumber\\ ap^2e^{pt}+bpe^{pt}+ce^{pt}&=&0\nonumber\\ e^{pt}(ap^2+bp+c)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となり、\[e^{pt}\neq0\]を踏まえると、\[ap^2+bp+c=0\]すなわち、\[p=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]となる。
これを、式（4.1.2a）について適用すると、解は、\begin{eqnarray}T(t)&=&e^{pt}\nonumber\\&=&\exp\left[pt\right]\nonumber\\&=& \exp\left[ \frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\times 1\times \omega^2}}{2\times 1} t\right]\nonumber\\&=&\exp\left[ \frac{\pm\sqrt{-4\omega^2}}{2}t\right]\nonumber\\&=& \exp\left[ \frac{\pm2\omega\sqrt{-1}}{2}t \right]\nonumber\\&=&\exp\left[\pm i\omega t \right]\nonumber\end{eqnarray}と求められる。
次に、式（A.1.2b）を\(U(\vec{r})\)について解く。角周波数\(\omega\)、屈折率\(n\)の媒質中の波数\(k\)・光速度\(v\)、真空中の波数\(k_0\)・光速度\(c\)は、\begin{eqnarray}k&=&nk_0\nonumber\\&=&n\frac{\omega}{c}\nonumber\end{eqnarray}であることを参考に（分離定数\(-\omega^2\)における\(\omega\)と角周波数\(\omega\)が一致することは結果的に判明する）、式（A.1.2b）中の\(\frac{n\omega}{c}\)を\(|\vec{k}|\)と置くことにすると、\begin{eqnarray}\nabla^2 U+\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2&=&0\nonumber\\ \nabla^2 U+|\vec{k}|^2 U&=&0 \nonumber\end{eqnarray}となる。これを、\(x\)軸方向の一次元での要素にのみ着目して表現してみると、\[\frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+|k_x|^2 U_x=0\]となる。これは、式（A.1.2a）と同型であるから、その解も、\[U_x=\exp\left[ \pm ik_x x\right] \]である。元の三次元での式に表現しなおすと、\[U=\exp \left[ \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right] \]となる。これらの解は、特解であるから、電界振幅を\(E\)とすれば、電界は、\begin{eqnarray}\vec{E}&=&ETU\nonumber\\ &=&E\exp\left[ \pm i\omega t \right] \times \exp\left[ \pm i \vec{k}\cdot \vec{r} \right] \nonumber\\&=&E\exp \left[ i\omega t \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right] \nonumber\end{eqnarray}となる。同様に、磁界についても、\[\vec{H}=H\exp \left[ i\omega t \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right]\]となり、式（4.8）が得られた。
（web 付録\(A1\) https://www.morikita.co.jp/exclusive/download/2143）
式4.6a を\(\vec{E}\)について解く。
ここで、\(\vec{E}\)が、時間\(t\)に関する関数\(T(t)\)と位置\(\vec{r}\)に関する関数\( U(\vec{r}) \)の積であると仮定のうえ、解が求められるかを探る。\[\vec{E}=T(t)U( \vec{r} )\]
を式4.6a に代入すると\begin{eqnarray}\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}&=&0\nonumber\\ \nabla^2(T(t)U(\vec{r}))-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2~ T(t)U(\vec{r})}{\partial t^2}&=&0\nonumber\end{eqnarray}空間座標\((x,y,z)\)の演算子\(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} \)との関係で\(T(t)\)は定数であるから、\[ \nabla^2 (T(t) U(\vec{r}))=T(t) \nabla^2 U(\vec{r})\]であり、時間微分\(\frac{\partial^2} {\partial t^2}\)との関係で\(U(\vec{r})\)は定数であるから、\[\frac{\partial^2 ~T(t) U(\vec{r})} {\partial t^2}=U(\vec{r})\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}\]であるから、与式は、\[T(t) \nabla^2 U(\vec{r})-\frac{1}{v^2}U(\vec{r})\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=0\]となるので、両辺を\(T(t)U(\vec{r})\)で除すれば、\begin{eqnarray}\frac{ \nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}-\frac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&0\nonumber\\ \frac{1}{v^2}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\\ \frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&v^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\\ \frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.1）が得られる。同式の左辺は\(t\)の関数であり、右辺は\(\vec{r}\)の関数であり、独立に変化し得るものであるところ、時間と位置の独立変動に関わらず常に等式が成立するということは、両辺がともにある定数となることを示す。よって、この定数を\(-\omega^2\)として置き、\[\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=-\omega^2=\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}\]左辺と右辺とを分離すると、\[\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}=-\omega^2\]及び\[\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}=-\omega^2\]が得られる。第１式を変形すると、\begin{eqnarray}\frac{1}{T(t)}\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&-\omega^2\nonumber\\\frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}&=&-\omega^2 T(t)\nonumber\\ \frac{\partial^2 T(t)}{\partial t^2}+\omega^2 T(t)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.2a）が得られ、第２式を変形すると、\begin{eqnarray}\left(\frac{c}{n}\right)^2\frac{\nabla^2 U(\vec{r})}{U\vec(r)}&=&-\omega^2\nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})&=& -\omega^2 \left(\frac{n}{c}\right)^2 U(\vec{r}) \nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})&=& -\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2 U(\vec{r}) \nonumber\\ \nabla^2 U(\vec{r})+ \left(\frac{n\omega}{c}\right)^2 U(\vec{r})&=&0 \nonumber\end{eqnarray}となり、式（A.1.2b）が得られる。
式（A.1.2a）を\(T(t)\)について解くため、定理（微分方程式の解）を用いる。すなわち、微分方程式\[a\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+cx(t)=0\]の解は、\[x(t)=e^{pt}\]で現わすことができるところ、同定理を前提にすると、解\(e^{pt}\)を微分方程式に代入すれば式が成立する筈だから、\begin{eqnarray} a\frac{d^2e^{pt}}{dt^2}+b\frac{de^{pt}}{dt}+ce^{pt}&=&0 \nonumber\\ a\frac{d}{dt}pe^{pt}+bpe^{pt}+ce^{pt}&=&0\nonumber\\ ap^2e^{pt}+bpe^{pt}+ce^{pt}&=&0\nonumber\\ e^{pt}(ap^2+bp+c)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となり、\[e^{pt}\neq0\]を踏まえると、\[ap^2+bp+c=0\]すなわち、\[p=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]となる。
これを、式（4.1.2a）について適用すると、解は、\begin{eqnarray}T(t)&=&e^{pt}\nonumber\\&=&\exp\left[pt\right]\nonumber\\&=& \exp\left[ \frac{-0\pm\sqrt{0^2-4\times 1\times \omega^2}}{2\times 1} t\right]\nonumber\\&=&\exp\left[ \frac{\pm\sqrt{-4\omega^2}}{2}t\right]\nonumber\\&=& \exp\left[ \frac{\pm2\omega\sqrt{-1}}{2}t \right]\nonumber\\&=&\exp\left[\pm i\omega t \right]\nonumber\end{eqnarray}と求められる。
次に、式（A.1.2b）を\(U(\vec{r})\)について解く。角周波数\(\omega\)、屈折率\(n\)の媒質中の波数\(k\)・光速度\(v\)、真空中の波数\(k_0\)・光速度\(c\)は、\begin{eqnarray}k&=&nk_0\nonumber\\&=&n\frac{\omega}{c}\nonumber\end{eqnarray}であることを参考に（分離定数\(-\omega^2\)における\(\omega\)と角周波数\(\omega\)が一致することは結果的に判明する）、式（A.1.2b）中の\(\frac{n\omega}{c}\)を\(|\vec{k}|\)と置くことにすると、\begin{eqnarray}\nabla^2 U+\left(\frac{n\omega}{c}\right)^2&=&0\nonumber\\ \nabla^2 U+|\vec{k}|^2 U&=&0 \nonumber\end{eqnarray}となる。これを、\(x\)軸方向の一次元での要素にのみ着目して表現してみると、\[\frac{\partial^2 U_x}{\partial x^2}+|k_x|^2 U_x=0\]となる。これは、式（A.1.2a）と同型であるから、その解も、\[U_x=\exp\left[ \pm ik_x x\right] \]である。元の三次元での式に表現しなおすと、\[U=\exp \left[ \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right] \]となる。これらの解は、特解であるから、電界振幅を\(E\)とすれば、電界は、\begin{eqnarray}\vec{E}&=&ETU\nonumber\\ &=&E\exp\left[ \pm i\omega t \right] \times \exp\left[ \pm i \vec{k}\cdot \vec{r} \right] \nonumber\\&=&E\exp \left[ i\omega t \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right] \nonumber\end{eqnarray}となる。同様に、磁界についても、\[\vec{H}=H\exp \left[ i\omega t \pm i\vec{k}\cdot \vec{r}\right]\]となり、式（4.8）が得られた。
p51 電界の境界面
電界\(\vec{E}\)の境界面に対する接線成分が連続
p52のとおり、座標を設定すると、\[\vec{E_{1z}}=\vec{E_{2z}}\]の趣旨（境界を挟んだ媒質１側と媒質２側とで数値が同じとの意味）。
境界条件が成り立つ理由→https://eman-physics.net/electromag/fresnel.html（EMANの物理学）。
p52のとおり、座標を設定すると、\[\vec{E_{1z}}=\vec{E_{2z}}\]の趣旨（境界を挟んだ媒質１側と媒質２側とで数値が同じとの意味）。
境界条件が成り立つ理由→https://eman-physics.net/electromag/fresnel.html（EMANの物理学）。
p53 垂直成分 S の振幅反射率と振幅透過率
垂直成分\(S\)の振幅反射率\(r_S\)と振幅透過率\(t_S\)
式（A.2.5a）より、\begin{eqnarray}A_{iS}+A_{rS}&=&A_{tS}\nonumber\\1+\frac{A_{rS}}{A_{iS}}&=&\frac{A_{tS}}{A_{iS}}\nonumber\\1+r_s&=&t_s\nonumber\\t_s-r_s&=&1\nonumber\end{eqnarray}となり、式（4.14）が得られる。
式（A.2.5a）より、\begin{eqnarray}A_{iS}+A_{rS}&=&A_{tS}\nonumber\\1+\frac{A_{rS}}{A_{iS}}&=&\frac{A_{tS}}{A_{iS}}\nonumber\\1+r_s&=&t_s\nonumber\\t_s-r_s&=&1\nonumber\end{eqnarray}となり、式（4.14）が得られる。
p53 式4.17
\(\exp(\pm i\pi)\)
オイラーの公式より、\[e^{iax}=\cos(a\theta)+i~\sin(a\theta)\]であるところ、\(a=1\)、\(\theta=\pm\pi\)であるとき、\begin{eqnarray}e^{\pm i\pi}&=&\cos(\pm\pi)+i~\sin(\pm\pi)\nonumber\\&=&-1+i0\nonumber\\&=&-1\nonumber\end{eqnarray}
オイラーの公式より、\[e^{iax}=\cos(a\theta)+i~\sin(a\theta)\]であるところ、\(a=1\)、\(\theta=\pm\pi\)であるとき、\begin{eqnarray}e^{\pm i\pi}&=&\cos(\pm\pi)+i~\sin(\pm\pi)\nonumber\\&=&-1+i0\nonumber\\&=&-1\nonumber\end{eqnarray}
p54 図4.3
平行成分\(P\)の振幅反射率\(r_P\)の入射角\(\theta_i\)依存性
スネルの法則より、\begin{eqnarray}n_1\sin\theta_i&=&n_2\sin\theta_t\nonumber\\ \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i&=&\sin\theta_t\nonumber\\ \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2&=& \sin^2\theta_t\nonumber\\ \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2&=&1-\cos^2\theta_t\nonumber\\ \cos^2\theta_t&=&1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2\nonumber\\ \cos\theta_t&=&\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}\nonumber\end{eqnarray}であるので、これを式（4.12a）に用いると、\begin{eqnarray}r_p&=&\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}\nonumber\\&=&\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}}{n_2\cos\theta_i+n_1\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p54の設例\(n_1=1,~n_2=1.5\)の場合、計算結果は以下のようになり、
これをグラフ化すると、以下のようになる。
スネルの法則より、\begin{eqnarray}n_1\sin\theta_i&=&n_2\sin\theta_t\nonumber\\ \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i&=&\sin\theta_t\nonumber\\ \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2&=& \sin^2\theta_t\nonumber\\ \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2&=&1-\cos^2\theta_t\nonumber\\ \cos^2\theta_t&=&1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2\nonumber\\ \cos\theta_t&=&\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}\nonumber\end{eqnarray}であるので、これを式（4.12a）に用いると、\begin{eqnarray}r_p&=&\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i+n_1\cos\theta_t}\nonumber\\&=&\frac{n_2\cos\theta_i-n_1\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}}{n_2\cos\theta_i+n_1\sqrt{1- \left( \frac{n_1}{n_2}\sin\theta_i\right)^2}}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p54の設例\(n_1=1,~n_2=1.5\)の場合、計算結果は以下のようになり、
これをグラフ化すると、以下のようになる。
p55 高屈折率媒質から低屈折率媒質への伝播
\(n_1=1.5,~n_2=1.0\)の場合、計算結果及びグラフは以下のようになる。
p55 偏光角（Brewster 角）
振幅反射率\(r_P\)が\(0\)となるのは、\[r_P=\frac{\tan(\theta_i-\theta_t)}{\tan(\theta_i+\theta_t)}\]において、分子が\(0\)となるか分母が無限大に発散する場合のいずれかであるところ、分子側の条件については、\begin{eqnarray}\tan(\theta_i-\theta_t)&=&0\nonumber\\ \theta_i-\theta_t&=&0\nonumber\\\theta_i&=&\theta_t\nonumber\end{eqnarray}となる。この場合、\[\sin\theta_i=\sin\theta_t\]が成立すべきことになるが、同等式が成立するのは、スネルの法則\[n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t\]を踏まえると、\[n_1=n_2\]すなわち、同一屈折率間における光の進行の場面に限られることになる。これは、異なる屈折率の媒質間における屈折、反射を検討している題意からは不適。そこで、分母側の条件をみるに、\begin{eqnarray}\tan(\theta_i+\theta_t)&=&\infty\nonumber\\ \theta_i+\theta_t&=&\frac{\pi}{2}\nonumber\end{eqnarray}が条件となる。p56 屈折率
Brewster 角\(\theta_B\)と屈折率\(n\)
振幅反射率\(r_P\)が\(0\)となるときの入射角\(\theta_i\)を、\(\theta_B\)と表記すると、以下の式が成立するから、\[ \left\{ \begin{array}{l}0=\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\theta_t} \\ \theta_t=\frac{\pi}{2}-\theta_B \end{array} \right.\]第２式を第１式に代入すると、\begin{eqnarray}0&=&\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\theta_t} \nonumber\\ 0&=&\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) }{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) } \nonumber\\ 0&=&n_2\cos\theta_B- n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) \nonumber\\ n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) &=&n_2\cos\theta_B\nonumber\\ n_1\sin\theta_B &=&n_2\cos\theta_B\nonumber\\ \frac{\sin\theta_B}{\cos\theta_B}&=&\frac{n_2}{n_1}\nonumber\\ \tan\theta_B&=&\frac{n_2}{n_1}\nonumber\\ \theta_B&=&\tan^{-1}\frac{n_2}{n_1}\nonumber\end{eqnarray}となり、式（4.19）が得られる。
振幅反射率\(r_P\)が\(0\)となるときの入射角\(\theta_i\)を、\(\theta_B\)と表記すると、以下の式が成立するから、\[ \left\{ \begin{array}{l}0=\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\theta_t} \\ \theta_t=\frac{\pi}{2}-\theta_B \end{array} \right.\]第２式を第１式に代入すると、\begin{eqnarray}0&=&\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\theta_t} \nonumber\\ 0&=&\frac{n_2\cos\theta_B-n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) }{n_2\cos\theta_B+n_1\cos\left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) } \nonumber\\ 0&=&n_2\cos\theta_B- n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) \nonumber\\ n_1\cos \left( \frac{\pi}{2}-\theta_B\right) &=&n_2\cos\theta_B\nonumber\\ n_1\sin\theta_B &=&n_2\cos\theta_B\nonumber\\ \frac{\sin\theta_B}{\cos\theta_B}&=&\frac{n_2}{n_1}\nonumber\\ \tan\theta_B&=&\frac{n_2}{n_1}\nonumber\\ \theta_B&=&\tan^{-1}\frac{n_2}{n_1}\nonumber\end{eqnarray}となり、式（4.19）が得られる。