エッセンシャルテキスト 光学（第１～第３章）

左貝潤一著「エッセンシャルテキスト　光学」森北出版社（2019.7）
www.amazon.co.jp/dp/4627776314

読後メモ（行間の補充等）

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• 
  
• 第１章　光学の基礎事項
  • p1　波数と角波数
  • p8　光線の単位ベクトル
  • p8　アイコナール
  • p8　波面の法線
  • p8　アイコナール方程式
  • p8　光線方程式
  • p11　合成波
  • p12　群速度
  • p12　位相速度
  • p12　群速度と位相速度の関係
• 第２章　屈折と反射
• 第３章　屈折・反射を用いた結像作用
  • p29　単一球面での屈折（式3.14）
  • p29　正弦定理
  • p36　行列法での基本式
  • p36　屈折行列

第１章　光学の基礎事項

p1　波数と角波数

波数$\kappa$、角波数$k$$$\kappa =\frac{1}{\lambda }\mathrm{単}\mathrm{位}\left[\frac{1}{m}\right]$$$$k=\frac{2\pi }{\lambda }\mathrm{単}\mathrm{位}\left[\frac{rad}{m}\right]$$

p8　光線の単位ベクトル

位置ベクトルを$\overrightarrow{r}=(x,y,z)$、点Ａの位置ベクトルを$\overrightarrow{r_A}$、点Ｂの位置ベクトルを$\overrightarrow{r_B}$、この位置ベクトルの変化を$d\overrightarrow{r}$とすると、$$\overrightarrow{r_A}=(x_A,y_A,z_A)$$$$\overrightarrow{r_B}=(x_B,y_B,z_B)$$ よって、$$\begin{array}{rcl}d\overrightarrow{r}& =& \overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}\\ & =& (x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\end{array}$$ この点ＡからＢへの変化が光線の経路上で起きる場合の光線に沿った点Ａと点Ｂとの間の幾何学的距離を$ds$、点Ａにおける光線の単位ベクトル（光線の方向を示す大きさ１のベクトル）を$\overrightarrow{s}$とすると、$$\overrightarrow{s}ds=d\overrightarrow{r}$$よって、$$\overrightarrow{s}=\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}$$$d\overrightarrow{r}$の方向余弦成分（x,y,z要素）を用いれば、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{s}& =& (\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds})\\ & =& (\frac{x_B-x_A}{ds},\frac{y_B-y_A}{ds},\frac{z_B-z_A}{ds})\end{array}$$
$\overrightarrow{s}$は単位ベクトルであるから、方向余弦成分として、$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=1$$となる$(\alpha ,\beta ,\gamma )$を用いて、$$\overrightarrow{s}=(\alpha ,\beta ,\gamma )$$と現わすこともできる。

p8　アイコナール

アイコナール$\phi$
光路長$\phi$は、空間上の位置によって値が異なるスカラー値であるから、位置ベクトルを$\overrightarrow{r}$とすると、$$\phi (\overrightarrow{r})$$と表現できる。
いま、同じ光路長Ｃ$$\begin{array}{rcl}\phi (\overrightarrow{r_a})& =& C\\ \phi (\overrightarrow{r_b})& =& C\\ \phi (\overrightarrow{r_c})& =& C\\ & \cdots & \end{array}$$を持つ空間上の各点$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{r_a}& =& (x_a,y_a,z_a)\\ \overrightarrow{r_b}& =& (x_b,y_b,z_b)\\ \overrightarrow{r_c}& =& (x_c,y_c,z_c)\\ & \cdots & \end{array}$$を$(x,y,z)$グラフ上に集めると三次元上の曲面となる。これは、特定の光路長（光源からの光路長が同じ場合、波動の位相値も等しい）$\phi$に対応した電磁波の波面Ｃであるが、他の特定の光路長$\phi$の集団についても、同様に対応する波面Ｃを考えることができるので、結局、光路長$\phi (\overrightarrow{r})$の等位面として$$\begin{array}{rcl}\phi (\overrightarrow{r})& =& C_1\\ \phi (\overrightarrow{r})& =& C_2\\ \phi (\overrightarrow{r})& =& C_3\\ & \cdots & \end{array}$$対応する各波面$C_1,C_2,C_3,\cdots$を(x,y,z)座標で表すことができる。

p8　波面の法線

波面の法線$grad\phi$

空間上の位置によって値が異なるスカラー値たる光路長$\phi$について、空間内の変化率（勾配）$$grad\phi =(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})$$と波面Cとの関係を考える。
波面Cに微小距離だけ離れた二つの点を考えると、両点を結ぶ直線ベクトル$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(dx,dy,dz)$$は、波面Ｃの接線となる。両ベクトルの内積を計算すると、$$\begin{array}{rcl}grad\phi \cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}& =& \frac{\partial \phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \phi }{\partial y}dy+\frac{\partial \phi }{\partial z}dz\\ & =& \mathrm{\Delta }\phi \end{array}$$となる。$\mathrm{\Delta }\phi$は、具体的には、両点間における$\phi$の変化量を意味するが、両点は、いずれも波面Ｃ上の点なのであるから、$\phi$の値に変動はない。よって、$\mathrm{\Delta }\phi$の値は、０である。従って、この内積の値も０となるので、$$\begin{array}{rcl}grad\phi \cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}& =& 0\\ |grad\phi ||\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|cos\frac{\pi }{2}& =& 0\end{array}$$と変形できる。すなわち、$grad\phi$は、波面Ｃの接線$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$と垂直の関係にある。そして、波面Ｃの接線$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$は、波面Ｃの接面上で360度どの方向にも想定できるから、結局、$grad\phi$は、波面Ｃに対して垂直な方向を示すベクトルであると言える。
なお、同ベクトルを同ベクトルの絶対値で除すると、大きさが１のベクトル（単位ベクトル）となるところ、これは光線の方向（波面Ｃに垂直）を示す大きさ１のベクトルと等しいから$$\overrightarrow{s}=\frac{grad\phi }{|grad\phi |}$$となる。

p8　アイコナール方程式

アイコナール方程式$(grad\phi {)}^2=n(\overrightarrow{r}{)}^2$
光線上の点Ａ及び点Ｂとの間の光路長（光学的距離）の差を${\phi }_{BA}$とし、点Ａと光線上にない点Ｃ（点Ｂから微小距離離れた点）との光路長の差を${\phi }_{CA}$とした場合の両者の差${\phi }_{CA}-{\phi }_{BA}$は、${\phi }_{CB}$に等しい。$${\phi }_{CA}-{\phi }_{BA}={\phi }_{CB}$$他方で、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であること（＝点Ｂや点Ｃが、点Ａからは相対的に十分に遠い距離に位置すること）を考えると、線分ＡＢと線分ＡＣとは平行であり、また、点Ｂの属する波面と点Ｃの属する波面とは平行であると近似できる。この場合、光線ＡＢが属する直線と点Ｃが属する波面の交点をＤとすれば、点Ｂ、Ｃ、Ｄの組合せからなる各線分は、幾何学的に、以下の関係にある（$\theta$は両線分のなす角度）。$$\overline{BC}cos\theta =\overline{BD}$$これを光路長に置き換えると、屈折率をｎ として、$$n\overline{BC}cos\theta =n\overline{BD}$$ベクトルとその内積で左辺を表記すると、$$n\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{s}=n\overline{BD}$$右辺を光路長$\phi$の差分として表現すると、$$n\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{s}=\mathrm{\Delta }\phi$$いま、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であることを前提とするので、$\overrightarrow{BC}$を$d\overrightarrow{r}$、$\mathrm{\Delta }\phi$を$d\phi$で表現しなおすと、$$nd\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{s}=d\phi$$ベクトル部分について、成分表示$$d\overrightarrow{r}=\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)$$ $$d\overrightarrow{s}=\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)$$ に置き換えたうえで、内積を演算すると、$$\begin{array}{rcl}d\phi & =& n\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right)\\ & =& n(\alpha dx+\beta dy+\gamma dz)\end{array}$$が得られる。
この式を、各々、$x,y,z$にて偏微分すると、$$\frac{\partial \phi }{\partial x}=n\alpha$$$$\frac{\partial \phi }{\partial y}=n\beta$$$$\frac{\partial \phi }{\partial z}=n\gamma$$となるので、各々を二乗して合計した値は、$\overrightarrow{s}$が単位ベクトルであることを踏まえれば$$\begin{array}{rcl}{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \phi }{\partial z}\right)}^2& =& n^2{\alpha }^2+n^2{\beta }^2+n^2{\gamma }^2\\ & =& n^2({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)\\ & =& n^2|\overrightarrow{s}|\\ & =& n^2\end{array}$$左辺を勾配（grad）で表現し、右辺の屈折率ｎが位置ベクトル$\overrightarrow{r}$の関数であることを踏まえて表現すると、$$(grad\phi {)}^2=n(\overrightarrow{r}{)}^2$$が得られる。

p8　光線方程式

$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{s}& =& \frac{grad\phi }{n(\overrightarrow{r})}\\ \frac{d\overrightarrow{r}}{ds}& =& \frac{grad\phi }{n(\overrightarrow{r})}\\ n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}& =& grad\phi \end{array}$$両辺をsで微分すると、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{ds}[n(\overrightarrow{r})\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}]& =& \frac{d}{ds}grad\phi \\ & =& grad\frac{d}{ds}\phi \\ & =& grad\frac{d}{ds}\int n(\overrightarrow{r})ds\\ & =& gradn(\overrightarrow{r})\end{array}$$

p11　合成波

進行波１（最大振幅（電界）Ａ、角速度${\omega }_1$、角波数$k_1$）の時刻ｔ、位置ｚの瞬時振幅（電界）$u_1$、$$u_1=A\cos ({\omega }_{1}t-k_{1}z)$$進行波２（最大振幅（電界）Ａ、角速度${\omega }_2$、角波数$k_2$）の時刻ｔ、位置ｚの瞬時振幅（電界）$u_2$、$$u_2=A\cos ({\omega }_{2}t-k_{2}z)$$の合成波Ｕの瞬時振幅は、$$\begin{array}{rcl}U& =& u_1+u_2\\ & =& A\cos ({\omega }_{1}t-k_{1}z)+A\cos ({\omega }_{2}t-k_{2}z)\end{array}$$となるところ、三角関数の公式$$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$$を用いると、$$\begin{array}{rcl}U& =& 2A\cos \frac{{\omega }_{1}t-k_{1}z+{\omega }_{2}t-k_{2}z}{2}\cos \frac{{\omega }_{1}t-k_{1}z-{\omega }_{2}t+k_{2}z}{2}\\ & =& 2A\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\\ & =& 2A\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\\ & =& 2A\cos (\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}t-\frac{k_1-k_2}{2}z)\cos (\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}t-\frac{k_1+k_2}{2}z)\end{array}$$となり、波長の異なる二種類の波の積の形に変形できる。
波１の波長を${\lambda }_1$、波２の波長を${\lambda }_2$とすると、$${\lambda }_1=\frac{2\pi }{k_1}$$$${\lambda }_2=\frac{2\pi }{k_2}$$であり、合成波を構成する二種類の波のうち波長の長い方（包絡線）の波長${\lambda }_g$は、$$\begin{array}{rcl}{\lambda }_g& =& \frac{2\pi }{k_g}\\ & =& \frac{2\pi }{\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)}\\ & =& \frac{2\times 2\pi }{(\frac{2\pi }{{\lambda }_1}-\frac{2\pi }{{\lambda }_2})}\\ & =& \frac{2}{(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2})}\\ & =& \frac{2{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}\end{array}$$となる（p11図1.6の包絡線の矢印間は半波長）。

p12　群速度

群速度$v_g$

一般に波速度$v$、波長$\lambda$、振動数（周波数）$\nu$、角波数$k$、角速度$\omega$との間には、$$\begin{array}{rcl}v& =& \lambda \nu \\ & =& \frac{\lambda }{2\pi }2\pi \nu \\ & =& \frac{1}{k}\omega \\ & =& \frac{\omega }{k}\end{array}$$の関係があるところ、p11の式（1.26）$$U=2A\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t-(k_1+k_2)z}{2}$$のうち、$$\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t-(k_1-k_2)z}{2}$$の部分が包絡線の要素であるから、同部分の速度（群速度）は、$$\begin{array}{rcl}{v}_g& =& \frac{{\omega }_g}{k_g}\\ & =& \frac{\left(\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{2}\right)}{\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)}\\ & =& \frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{k_1-k_2}\end{array}$$となる。ここで、平均値として、$$\bar{\omega }=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$$$$\bar{k}=\frac{k_1+k_2}{2}$$を考えると、ロピタルの定理$$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$より、${\omega }_1-{\omega }_2$や$k_1-k_2$が微小である場合には、$$\frac{{\omega }_1-{\omega }_2}{k_1-k_2}\fallingdotseq \frac{d\bar{\omega }}{d\bar{k}}$$であるから、$v_g$は、$$v_g\fallingdotseq \frac{d\bar{\omega }}{d\bar{k}}$$となる。
これを前提に、周波数$\bar{\omega }$によって屈折率ｎが変化する媒質中における群速度を検討すると、$$\begin{array}{rcl}{v}_g& =& \frac{1}{\frac{d\bar{k}}{d\omega }}\\ & =& \frac{1}{\frac{d}{d\omega }(n(\omega )\frac{\omega }{c})}\\ & =& \frac{c}{\frac{d}{d\omega }(n(\omega )\omega )}\\ & =& \frac{c}{\frac{d}{d\omega }(n(\omega ))\times \omega +n(\omega )\frac{d}{d\omega }\omega }\\ & =& \frac{c}{\omega \frac{d}{d\omega }(n(\omega ))+n(\omega )}\end{array}$$となる（式中の$\omega$は平均値）。

p12　位相速度

位相速度$v_p$

式（1.26）$$U=2A\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t-(k_1+k_2)z}{2}$$のうち、$$\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t-(k_1+k_2)z}{2}$$の部分が包絡線内部の周期的変化を示す要素であるから、同部分の速度（位相速度）は、$$\begin{array}{rcl}{v}_p& =& \frac{{\omega }_p}{k_p}\\ & =& \frac{\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}}{\frac{k_1+k_2}{2}}\\ & =& \frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{k_1+k_2}\\ & =& \frac{\bar{w}}{\bar{k}}\end{array}$$となる。

p12　群速度と位相速度の関係

群速度$v_g$と位相速度$v_p$の関係

$$\begin{array}{rcl}{v}_g& =& \frac{d\bar{\omega }}{d\bar{k}}\\ v_p& =& \frac{\bar{\omega }}{\bar{k}}\end{array}$$から、$$\begin{array}{rcl}{v}_g& =& \frac{d}{d\bar{k}}(v_p\times \bar{k})\\ & =& v_p\frac{d\bar{k}}{d\bar{k}}+\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{k}}\bar{k}\\ & =& v_p+\bar{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{k}}\end{array}$$であり、更に変形をすると、$$\begin{array}{rcl}{v}_g& =& v_p+\bar{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\times \frac{d\bar{\lambda }}{d\bar{k}}\\ & =& v_p+\bar{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\times \frac{d}{d\bar{k}}\left(\frac{2\pi }{\bar{k}}\right)\\ & =& v_p+\bar{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\times (-\frac{2\pi }{{\bar{k}}^2})\\ & =& v_p-\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\times \frac{2\pi }{\bar{k}}\\ & =& v_p-\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\times \bar{\lambda }\\ & =& v_p-\bar{\lambda }\frac{d\overline{v_p}}{d\bar{\lambda }}\end{array}$$

第２章　屈折と反射

p16　反射の法則

（誤）$AE=ABsin{\theta }_r$
（正）$AE=ABsin(\pi -{\theta }_r)$

p17　多層被膜の屈折角

光線が、屈折率$n_0$の空中から、入射角${\theta }_i$で、多数被膜を通過する場合における最終層の屈折角${\theta }_t$を求める。第１層の屈折率を$n_1$、第２層の屈折率を$n_2$、…第$m-1$層の屈折率を$n_{m-1}$、第$m$層（最終層）の屈折率を$n_m$とした場合、被膜層厚さが十分に小さい場合、各層は平行平面とみなせるので、各層での屈折角は次層への入射角に等しくなる。これらを順に、${\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{m-1}$として各層境界面でスネルの法則を適用すると、$$\{\begin{array}{l}{n}_0\sin {\theta }_i=n_1\sin {\theta }_1\\ n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2\\ \cdots \\ n_{m-1}\sin {\theta }_{m-1}=n_m\sin {\theta }_t\end{array}$$となるので、結局、$$n_0\sin {\theta }_i=n_m\sin {\theta }_t$$と整理される。
よって、最初の層での入射角${\theta }_i$、最初の層の屈折率$n_0$、最終層の屈折率$n_m$のみで、最終層からの屈折角${\theta }_t$は求められる。

p19　マリュスの定理（ラグランジュの積分不変量）

$n(\overrightarrow{r})$を位置ベクトル$\overrightarrow{r}$で定まる屈折率、光線の単位ベクトルを$\overrightarrow{s}$とすると、
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{s}& =& \frac{grad\phi }{n(\overrightarrow{r})}\\ n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}& =& grad\phi \\ rot[n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}]& =& rotgrad\phi \\ rot[n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}]& =& 0\end{array}$$ここで、閉曲線Ｃで囲まれた曲面Ｓについてベクトルの回転（rot）を面積分したものと、閉曲線Ｃに従ってベクトルを線積分したものとが等しいというストークスの定理$${\int }_{S}rot\overrightarrow{A}\cdot dS={\oint }_C\overrightarrow{A}\cdot d\overrightarrow{r}$$をベクトルである$n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}$に用いると、$$\begin{array}{rcl}{\int }_{S}rot[n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}]\cdot dS& =& {\oint }_{C}n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}\cdot d\overrightarrow{r}\\ 0& =& {\oint }_{C}n(\overrightarrow{r})\overrightarrow{s}\cdot d\overrightarrow{r}\end{array}$$

p21　プリズムの偏角

プリズムの偏角\(\delta\)
入射光線と出射光線との交点をＤとすると、P21図の三角形ＤＢＣにおいて、$$\mathrm{\angle }B={\theta }_1-{\theta }_1^{\prime }$$$$\mathrm{\angle }C={\theta }_2-{\theta }_2^{\prime }$$であるから、$$\begin{array}{rcl}\delta & =& \mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C\\ & =& ({\theta }_1-{\theta }_1^{\prime })+({\theta }_2-{\theta }_2^{\prime })\\ & =& {\theta }_1+{\theta }_2-({\theta }_1^{\prime }+{\theta }_2^{\prime })\end{array}$$となり、三角形ＡＢＣにおいて、、$$\mathrm{\angle }B=\frac{\pi }{2}-{\theta }_1^{\prime }$$$$\mathrm{\angle }C=\frac{\pi }{2}-{\theta }_2^{\prime }$$であるから、$$\begin{array}{rcl}\alpha & =& \mathrm{\angle }A\\ & =& \pi -(\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C)\\ & =& {\theta }_1^{\prime }+{\theta }_2^{\prime }\end{array}$$となるので、偏角$\delta$は、$$\delta ={\theta }_1+{\theta }_2-\alpha$$とまとめられる。

p21　最小偏角

最小偏角${\delta }_m$

スネルの法則$$1\cdot \sin {\theta }_1=n\cdot \sin {\theta }_1^{\prime }$$$$n\cdot \sin {\theta }_2^{\prime }=1\cdot \sin {\theta }_2$$即ち$${\theta }_1=\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })$$$${\theta }_2=\arcsin (n\sin {\theta }_2^{\prime })$$を$\delta$式に代入すると$$\begin{array}{rcl}\delta & =& \arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })＋\arcsin (n\sin {\theta }_2^{\prime })-\alpha \\ & =& \arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })＋\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))-\alpha \end{array}$$となる。最小偏角${\delta }_m$は、この式の極値が候補となるから、$$\frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}\delta =0$$となるような条件（${\theta }_1^{\prime }$の値）を求めてみる。$$\begin{array}{rcl}0& =& \frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}\delta \\ & =& \frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })＋\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))-\alpha ]\\ & =& \frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })]＋\frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))]\end{array}$$ここで、$\arcsin$の微分公式$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$を用いると、与式のうち$\frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })]$の部分は、$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })]& =& \frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}(n\sin {\theta }_1^{\prime })\times \frac{d}{d(n\sin {\theta }_1^{\prime })}[\arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })]\\ & =& n\cos {\theta }_1^{\prime }\times \frac{1}{\sqrt{1-(n\sin {\theta }_1^{\prime }{)}^2}}\\ & =& \frac{n\cos {\theta }_1^{\prime }}{\sqrt{1-(n\sin {\theta }_1^{\prime }{)}^2}}\end{array}$$また、与式のうち$\frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}[\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))]$の部分は、$$\begin{array}{rcl}\frac{d[\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))]}{d{\theta }_1^{\prime }}& =& \frac{d(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))}{d{\theta }_1^{\prime }}\times \frac{d[\arcsin (n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))]}{d(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))}\\ & =& \frac{d(\alpha -{\theta }_1^{\prime })}{d{\theta }_1^{\prime }}\times \frac{d(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }))}{d(\alpha -{\theta }_1^{\prime })}\times \frac{1}{\sqrt{1-(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }){)}^2}}\\ & =& -1\times n\cos (\alpha -{\theta }_1^{\prime })\times \frac{1}{\sqrt{1-(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }){)}^2}}\\ & =& -\frac{n\cos (\alpha -{\theta }_1^{\prime })}{\sqrt{1-(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }){)}^2}}\end{array}$$となるので、結局、与式は、$$\begin{array}{rcl}0& =& \frac{d}{d{\theta }_1^{\prime }}\delta \\ & =& \frac{n\cos {\theta }_1^{\prime }}{\sqrt{1-(n\sin {\theta }_1^{\prime }{)}^2}}-\frac{n\cos (\alpha -{\theta }_1^{\prime })}{\sqrt{1-(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }){)}^2}}\\ \frac{n\cos (\alpha -{\theta }_1^{\prime })}{\sqrt{1-(n\sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime }){)}^2}}& =& \frac{n\cos {\theta }_1^{\prime }}{\sqrt{1-(n\sin {\theta }_1^{\prime }{)}^2}}\end{array}$$となる。この方程式の分母どおし、分子どおしを比較すると、$$\{\begin{array}{l}\cos (\alpha -{\theta }_1^{\prime })=\cos {\theta }_1^{\prime }\\ \sin (\alpha -{\theta }_1^{\prime })=\sin {\theta }_1^{\prime }\end{array}$$であれば、方程式が満たされる。よって、$$\begin{array}{rcl}\alpha -{\theta }_1^{\prime }& =& {\theta }_1^{\prime }\\ \alpha & =& 2{\theta }_1^{\prime }\\ {\theta }_1^{\prime }& =& \frac{\alpha }{2}\end{array}$$がこの方程式の解となる（$\delta$が極値をとるための条件）。このとき、$$\begin{array}{rcl}{\theta }_2^{\prime }& =& \alpha -{\theta }_1^{\prime }\\ & =& \alpha -\frac{\alpha }{2}\\ & =& \frac{\alpha }{2}\end{array}$$であり、スネルの法則より、$$\begin{array}{rcl}{\theta }_1& =& \arcsin (n\sin {\theta }_1^{\prime })\\ & =& \arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})\end{array}$$$$\begin{array}{rcl}{\theta }_2& =& \arcsin (n\sin {\theta }_2^{\prime })\\ & =& \arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})\end{array}$$となり、$${\theta }_1={\theta }_2$$が成立し、最小偏角${\delta }_m$は、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_m& =& {\theta }_1+{\theta }_2-\alpha \\ & =& \arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})+\arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})-\alpha \\ & =& 2\arcsin (n\sin \frac{\alpha }{2})-\alpha \end{array}$$となる（屈折率ｎが既知のとき頂角αのプリズムで最小偏角${\delta }_m$を求める式）。
最小偏角${\delta }_m$で、入射角を表現すれば、$$\begin{array}{rcl}{\delta }_m& =& {\theta }_1+{\theta }_2-\alpha \\ {\delta }_m& =& 2{\theta }_1-\alpha \\ {\delta }_m+\alpha & =& 2{\theta }_1\\ {\theta }_1& =& \frac{{\delta }_m+\alpha }{2}\end{array}$$となる。
逆に、頂角αのプリズムを入射光線に対して回転させて最小偏角${\delta }_m$を測定すれば、以下のとおり、プリズムの材質の屈折率ｎを求めることができる（最小偏角法）。$$\begin{array}{rcl}1\cdot \sin {\theta }_1& =& n\sin {\theta }_1^{\prime }\\ n& =& \frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_1^{\prime }}\\ & =& \frac{\sin \frac{{\delta }_m+\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}\end{array}$$

p22　入射角等が微小の場合の近似

ラジアン角$\theta$に関して、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1$$が成立することから、微小角$\theta$について、$$\sin \theta \fallingdotseq \theta$$と近似できる。この場合、空気から媒質（屈折率ｎ）への光線入射にかかるスネルの法則は、入射角を$\theta$、屈折角を${\theta }^{\prime }$として、$$\begin{array}{rcl}1\cdot \sin {\theta }_1& =& n\sin {\theta }_1^{\prime }\\ {\theta }_1& \fallingdotseq & n{\theta }_1^{\prime }\end{array}$$と近似できる。出射角も同様に$${\theta }_2\fallingdotseq n{\theta }_2^{\prime }$$である。この場合（入射角${\theta }_1$及び出射角${\theta }_2$が微小の場合。なお、$\alpha ={\theta }_1+{\theta }_2$なので、$\alpha$も微小角である）、空気中のプリズムの偏角$\delta$は、$$\begin{array}{rcl}\delta & =& ({\theta }_1-{\theta }_1^{\prime })+({\theta }_2-{\theta }_2^{\prime })\\ & \fallingdotseq & (n{\theta }_1^{\prime }-{\theta }_1^{\prime })+(n{\theta }_2^{\prime }-{\theta }_2^{\prime })\\ & =& (n-1){\theta }_1^{\prime }+(n-1){\theta }_2^{\prime }\\ & =& (n-1)({\theta }_1^{\prime }+{\theta }_2^{\prime })\\ & =& (n-1)\alpha \end{array}$$と近似できる。

p23　ガウスのレンズ公式

物体位置$s_1$、後側焦点距離$f^{\prime }$、像の位置$s_2$として、$$\begin{array}{rcl}\frac{s_2}{s_1}& =& \frac{f^{\prime }-s_2}{f^{\prime }}\\ \frac{s_2}{s_1}& =& 1-\frac{s_2}{f^{\prime }}\\ \frac{1}{s_1}& =& \frac{1}{s_2}-\frac{1}{f^{\prime }}\\ \frac{1}{f^{\prime }}& =& -\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}\end{array}$$

第３章　屈折・反射を用いた結像作用

p29　単一球面での屈折（式3.14）

p29図3.3において、三角形の内角と外角の関係から、以下の二式が成立する。$${\zeta }_2+{\theta }_t=\mathrm{\angle }AOP$$$$\mathrm{\angle }AOP+{\zeta }_1={\theta }_i$$よって、$$\begin{array}{rcl}{\zeta }_2+{\theta }_t+{\zeta }_1& =& {\theta }_i\\ {\zeta }_2& =& {\theta }_i-{\theta }_t-{\zeta }_1\end{array}$$

p29　正弦定理

一般に三角形（頂点A,B,C。各頂点の対辺a,b,c）において、外接円の半径をＲとすると、以下の等式が成り立つ（正弦定理）。$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$これを、p29図3.3の三角形APOに適用すると、$$\frac{\overline{AO}}{\sin \mathrm{\angle }P}=\frac{\overline{PA}}{\sin \mathrm{\angle }O}=\frac{\overline{PO}}{\sin \mathrm{\angle }A}$$対応する値を入れると、$$\frac{R}{\sin {\zeta }_1}=\frac{{\eta }_1}{\sin ({\zeta }_2+{\theta }_t)}=\frac{-s_1+R}{\sin (\pi -{\theta }_i)}$$から、$$\frac{R}{\sin {\zeta }_1}=\frac{{\eta }_1}{\sin ({\theta }_i-{\zeta }_1)}=\frac{-s_1+R}{\sin {\theta }_i}$$を得る。左辺と右辺から、$$\begin{array}{rcl}R\sin {\theta }_i& =& (-s_1+R)\sin {\zeta }_1\\ \sin {\theta }_i& =& \frac{-s_1+R}{R}\sin {\zeta }_1\end{array}$$ここで、近軸光線近似として、$$\sin {\theta }_i\fallingdotseq {\theta }_i$$$$\sin {\zeta }_1\fallingdotseq {\zeta }_1$$$$-s_1\fallingdotseq {\eta }_1$$を用いると、与式は、$${\theta }_i\fallingdotseq \frac{{\eta }_1+R}{R}{\zeta }_1$$

p36　行列法での基本式

球面上の光線入射点での接平面におけるスネルの法則から、$$\begin{array}{rcl}{n}_j\sin {\theta }_j& =& n_{j+1}\sin {\theta }_{j+1}\\ n_j\sin ({\zeta }_j+{\theta }_0)& =& n_{j+1}\sin ({\zeta }_{j+1}+{\theta }_0)\end{array}$$ここで、${\zeta }_j$や${\zeta }_{j+1}$は微小角なので、$$\sin {\zeta }_j\fallingdotseq {\zeta }_j$$かつ$$\sin {\zeta }_{j+1}\fallingdotseq {\zeta }_{j+1}$$である。また、$$\sin {\theta }_0=\sin \frac{x_j}{R_j}\ll 1$$であるから、${\theta }_0$も微小角なので、$$\sin {\theta }_0\fallingdotseq {\theta }_0$$これらの合計である${\zeta }_j+{\theta }_0$や${\zeta }_{j+1}+{\theta }_0$も微小角と言えるから、$$\sin ({\zeta }_j+{\theta }_0)\fallingdotseq {\zeta }_j+{\theta }_0$$かつ$$\sin ({\zeta }_{j+1}+{\theta }_0)\fallingdotseq {\zeta }_{j+1}+{\theta }_0$$となるので、冒頭のスネルの法則の適用結果は、以下のように近似できる。$$n_j({\zeta }_j+{\theta }_0)=n_{j+1}({\zeta }_{j+1}+{\theta }_0)$$ここで、$${\zeta }_j+{\xi }_j=\frac{\pi }{2}$$かつ$${\zeta }_{j+1}+{\xi }_{j+1}=\frac{\pi }{2}$$であるから、$$\sin {\zeta }_j=\cos {\xi }_j$$かつ$$\sin {\zeta }_{j+1}=\cos {\xi }_{j+1}$$を上記式に各々代入して、$$\begin{array}{rcl}{n}_j(\cos {\xi }_j+{\theta }_0)& =& n_{j+1}(\cos {\xi }_{j+1}+{\theta }_0)\\ n_j(\cos {\xi }_j+\frac{x_j}{R_j})& =& n_{j+1}(\cos {\xi }_{j+1}+\frac{x_j}{R_j})\\ n_j\cos {\xi }_j+n_j\frac{x_j}{R_j}-n_{j+1}\frac{x_j}{R_j}& =& n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}\\ n_j\cos {\xi }_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}& =& n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}\\ n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}& =& n_j\cos {\xi }_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}\end{array}$$との近似結果を得る（屈折率$n$と光線方向余弦$cos\xi$との積の屈折面における変換則）。

p36　屈折行列

屈折行列$\overrightarrow{R_j}$
レンズ光軸を$z$軸、光軸からの距離を$x_j$、光線が$x$軸となす角を$x{i}_j$、屈折率を$n_j$とした場合、曲率半径$R_j$の屈折面前後での基底ベクトル（光軸距離、伝播方向）について、$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{Q_{j+1}}& =& \overrightarrow{R_j}\overrightarrow{Q_j}\\ \left(\begin{array}{c}{x}_{j+1}\\ -n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1} \end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}& 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ -n_j\cos {\xi }_j \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{x}_j\\ \frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos {\xi }_j \end{array}\right)\end{array}$$であり、屈折面前後で、光軸からの距離が不変であること（行列１行目）$$x_{j+1}=x_j$$また、屈折率$n$と光線方向余弦$cos\xi$との積$n\cos \xi$にかかる変換則（行列２行目）$$\begin{array}{rcl}-n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}& =& \frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos {\xi }_j\\ n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}& =& n_j\cos {\xi }_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}\end{array}$$が行列法で再現記述されている。

p36　転送行列

転送行列$\overrightarrow{T_{j+1}}$

曲面間の光線伝播の際の光軸からの距離$x_j$について、光軸上の球面間隔を$s_{j+1}$とすると、以下の近似式が成立しているところ、$$x_{j+1}-x_j\fallingdotseq s_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}$$転送行列$\overrightarrow{T_{j+1}}$を用いた記述法でも、
$$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{Q_{j+1}}& =& \overrightarrow{T_{j+1}}\overrightarrow{Q_j}\\ \left(\begin{array}{c}{x}_{j+1}\\ -n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1} \end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{cc}1& \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\\ 0& 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_j\\ -n_j\cos {\xi }_j \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{x}_j+\frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times (-n_j\cos {\xi }_j)\\ -n_j\cos {\xi }_j \end{array}\right)\\ & =& \left(\begin{array}{c}{x}_j+s_{j+1}\frac{n_j}{n_{j+1}}\cos {\xi }_j\\ -n_{j+1}\cos {\xi }_j \end{array}\right)\end{array}$$となるところ、２曲面間では屈折率に変動はなく（$n_{j+1}=n_j$）、また、光線の$x$軸角度にも変動がないこと（${\xi }_j={\xi }_{j+1}$）を踏まえると、行列１行目は、$$\begin{array}{rcl}{x}_{j+1}& =& x_j+s_{j+1}\frac{n_{j+1}}{n_{j+1}}cos{\xi }_{j+1}\\ x_{j+1}-x_j& =& s_{j+1}cos{\xi }_{j+1}\end{array}$$となり、上記近似式が再現記述されている（行列２行目は左辺・右辺ともに$-n_{j+1}\cos {\xi }_{j+1}$となり常に成立）。

p37　システム行列の行列式

屈折行列$$\overrightarrow{R_j}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}& 1\end{array}\right)$$の行列式の値は、$$\begin{array}{rcl}|\overrightarrow{R_j}|& =& 1\times 1+0\times \frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}\\ & =& 1\end{array}$$転送行列$$\overrightarrow{T_{j+1}}=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\\ 0& 1\end{array}\right)$$の行列式の値は、$$\begin{array}{rcl}|\overrightarrow{T_{j+1}}|& =& 1\times 1+\frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times 0\\ & =& 1\end{array}$$一般に、正方行列$A$と$B$の積$AB$の行列式は各行列の行列式の積に等しい$$|AB|=|A||B|$$から、システム行列$$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{R_2}\overrightarrow{T_L}\overrightarrow{R_1}$$の行列式についても$$\begin{array}{rcl}|\overrightarrow{S}|& =& |\overrightarrow{R_2}\overrightarrow{T_L}\overrightarrow{R_1}|\\ & =& |\overrightarrow{R_2}||\overrightarrow{T_L}||\overrightarrow{R_1}|\\ & =& 1\times 1\times 1\\ & =& 1\end{array}$$となる。

p38　物体から像までの光線伝播式

$$\overrightarrow{Q_{im}}=\overrightarrow{D}\overrightarrow{Q_{ob}}$$における行列$$\overrightarrow{D}=\overrightarrow{T_{im}}\overrightarrow{S}\overrightarrow{T_{ob}}$$において、システム行列$S$の行列式の値は１であり、転送行列$T_{ob}$と$T_{im}$の行列式の値も計算をするといずれも１であるから、$\overrightarrow{D}$の行列式の値も１となり、$$\begin{array}{rcl}|\overrightarrow{D}|& =& 1\\ (c-a\frac{s_2}{n_2})(b+a\frac{s_1}{n_1})+0\times a& =& 1\\ c-a\frac{s_2}{n_2}& =& \frac{1}{b+a\frac{s_1}{n_1}}\end{array}$$

p38　横倍率

横倍率$M$
式3.43 を展開した行列の１行目は、$$x_{im}=x_{ob}(c-a\frac{s_2}{n_2})$$であるので、横倍率$M$は、$$\begin{array}{rcl}M& \equiv & \frac{x_{im}}{x_{ob}}\\ & =& c-a\frac{s_2}{n_2}\end{array}$$となる。ここで、、$\overrightarrow{D}$の行列式の値が１であることから、 $$c-a\frac{s_2}{n_2}=\frac{1}{b+a\frac{s_1}{n_1}}$$であるので、 $$\begin{array}{rcl}b+a\frac{s_1}{n_1}& =& \frac{1}{c-a\frac{s_2}{n_2}}\\ & =& \frac{1}{M}\end{array}$$よって、$$\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{cc}M& 0\\ a& \frac{1}{M}\end{array}\right)$$

p39　角倍率

角倍率$\gamma$

$$\begin{array}{rcl}\gamma & \equiv & \frac{tan{\zeta }_2}{tan{\zeta }_1}\\ & =& \frac{\frac{1}{tan{\xi }_{im}}}{\frac{1}{tan\xi ob}}\\ & =& \frac{cot{\xi }_{im}}{cot{\xi }_{ob}}\end{array}$$近軸光線では、p29図3.2において、$$\begin{array}{rcl}cot{\xi }_{ob}& =& \frac{|H_1{A}_1|}{|O_1{H}_1|}\\ & \risingdotseq & \frac{|H_1{A}_1|}{|O_1{A}_1|}\\ & =& cos{\xi }_{ob}\end{array}$$同様に、$$cot{\xi }_{im}\risingdotseq cos{\xi }_{im}$$なので、$$\gamma \risingdotseq \frac{cos{\xi }_{im}}{cos{\xi }_{ob}}$$
なお、横倍率と角倍率の積は、レンズ前後の屈折率の比に等しく（p34式3.35）$$M\gamma =\frac{n_1}{n_2}$$なので、$$\begin{array}{rcl}\gamma & =& \frac{n_1}{n_2}\frac{1}{M}\\ & =& \frac{n_1}{n_2}(b+a\frac{s_1}{n_1})\end{array}$$

p40　焦点位置

式3.52 より、$$-\frac{n_1}{a}=f_A$$なので、焦点位置は、$$\begin{array}{rcl}{s}_{F1}& =& -b\frac{n_1}{a}\\ & =& -b(-f_A)\\ & =& (1+\frac{n_L-n_2}{R_2}\frac{d_L}{n_L})f_A\end{array}$$

p41　薄肉レンズのシステム行列

主点とレンズ頂点が一致する（p37図3.7 で$V_1=H_1$、$V_2=H_2$）ので、$$\{\begin{array}{l}{s}_{H1}=0\\ s_{H2}=0\end{array}$$また、レンズは空気中にあるので、$$\{\begin{array}{l}{n}_1=1\\ n_2=1\end{array}$$これを式3.46$$\{\begin{array}{l}{s}_{H1}=\frac{n_1(1-b)}{a}\\ s_{H2}=\frac{n_2(c-1)}{a}\end{array}$$に代入すると$$\{\begin{array}{l}0=\frac{1(1-b)}{a}\\ 0=\frac{1(c-1)}{a}\end{array}$$から、$$\{\begin{array}{l}b=1\\ c=1\end{array}$$が得られる。よって、薄肉レンズのシステム行列は、$$\overrightarrow{S_j}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a_j& 1\end{array}\right)$$

p42　色収差

合成系の後側焦点距離$f_c^{\prime }$についての公式3.60$$\frac{1}{f_c^{\prime }}=\sum _{j=1}^N\frac{1}{f_j^{\prime }}$$の両辺を波長$\lambda$で微分することを考える（変数は$\lambda \to n_j\to f^{\prime }$の入れ子構造）。
逆数の微分の公式$$\delta \left(\frac{1}{f}\right)=-\frac{\delta f}{f^2}$$より、$$\begin{array}{rcl}\delta \left(\frac{1}{f_c^{\prime }}\right)& =& \delta \left(\sum _{j=1}^N\frac{1}{f_j^{\prime }}\right)\\ -\frac{\delta f_c^{\prime }}{f_c^{\prime 2}}& =& -\sum _{j=1}^N\frac{\delta f_j^{\prime }}{f_j^{\prime 2}}\end{array}$$ここで、右辺の$\sum$の中身を考えると、（$f_j^{\prime }$を$f$と簡略表記して）$$\begin{array}{rcl}\frac{\delta f}{f^2}& =& \frac{1}{f}\frac{\delta f}{f}\\ & =& \frac{1}{f}\frac{\left(\frac{1}{f}\right)}{\left(\frac{1}{\delta f}\right)}\\ & =& \frac{1}{f}\frac{(n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}})}{\delta ((n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}}))}\\ & =& \frac{1}{f}\frac{n_j-1}{\delta (n_j-1)}\\ & =& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{d{n}_j}{d\lambda }\frac{d}{d{n}_j}\left(\frac{1}{n_j-1}\right)\\ & =& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{d{n}_j}{d\lambda }(-\frac{\frac{d}{d{n}_j}(n_j-1)}{(n_j-1{)}^2})\\ & =& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{d{n}_j}{d\lambda }(-\frac{1}{(n_j-1{)}^2})\\ & =& \frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\frac{d{n}_j}{d\lambda }\\ & =& \frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\delta n_j\end{array}$$よって、$f_j^{\prime }$を$f$と簡略表記していたのを戻すと、右辺の$\sum$の中身は、$$\frac{-1}{f_j^{\prime }}\frac{\delta n_j}{n_j-1}$$である。従って、色収差$\delta f_c^{\prime }$について、以下の式が成立する。$$\begin{array}{rcl}-\frac{\delta f_c^{\prime }}{f_c^{\prime 2}}& =& -\sum _{j=1}^N\frac{-1}{f_j^{\prime }}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\\ & =& \sum _{j=1}^N\frac{1}{f_j^{\prime }}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\end{array}$$

p43　薄肉レンズ２枚の色消し条件

レンズ２枚であるので、$j=1,2$を式3.60 及び式3.63に用いると、以下の式が得られる。$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{f_c^{\prime }}=\frac{1}{f_1^{\prime }}+\frac{1}{f_2^{\prime }}\\ \frac{1}{f_1^{\prime }{\nu }_1}+\frac{1}{f_2^{\prime }{\nu }_2}=0\end{array}$$第２式より、$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{f_1^{\prime }{\nu }_1}& =& -\frac{1}{f_2^{\prime }{\nu }_2}\\ f_1^{\prime }{\nu }_1& =& -f_2^{\prime }{\nu }_2\\ \frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}& =& -\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1}\end{array}$$となるので、これを第１式に用いると、$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{f_c^{\prime }}& =& \frac{f_2^{\prime }+f_1^{\prime }}{f_1^{\prime }{f}_2^{\prime }}\\ & =& \frac{1+\frac{f_1^{\prime }}{f_2^{\prime }}}{f_1^{\prime }}\\ & =& \frac{1-\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1}}{f_1^{\prime }}\\ f_1^{\prime }& =& f_c^{\prime }(1-\frac{{\nu }_2}{{\nu }_1})\\ & =& f_c^{\prime }\left(\frac{{\nu }_1-{\nu }_2}{{\nu }_1}\right)\end{array}$$第２式より、$$\begin{array}{rcl}{f}_2^{\prime }& =& -f_1^{\prime }\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\\ & =& -f_c^{\prime }\left(\frac{{\nu }_1-{\nu }_2}{{\nu }_1}\right)\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}\\ & =& -f_c^{\prime }\left(\frac{{\nu }_1-{\nu }_2}{{\nu }_2}\right)\end{array}$$

p45　球面反射鏡における結像式

p30式3.21において、$n_2=-n$とおくと、$$\begin{array}{rcl}-\frac{n}{s_1}-\frac{n}{s_2}& =& \frac{-n-n}{R}\\ -\frac{1}{s_1}-\frac{1}{s_2}& =& \frac{-2}{R}\\ & =& \frac{1}{f}\end{array}$$となる。

p46　横倍率

式3.65 より、$$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{s_1}-\frac{1}{s_2}& =& \frac{1}{f}\\ -(\frac{1}{s_1}+\frac{1}{f})& =& \frac{1}{s_2}\\ \frac{f+s_1}{s_{1}f}& =& -\frac{1}{s_2}\\ \frac{s_{1}f}{f+s_1}& =& -s_2\\ \frac{f}{f+s_1}& =& -\frac{s_2}{s_1}\end{array}$$よって、$$\begin{array}{rcl}M& =& \frac{x_{im}}{x_{ob}}\\ & =& -\frac{|PV|}{|QV|}\\ & =& -\frac{s_2}{s_1}\\ & =& \frac{f}{f+s_1}\end{array}$$

p46　放物線

放物線は焦点$F$と準線$l$からの距離が等しい点の軌跡であるところ、放物線の形状を仮に、$x=a{y}^2$と置いた場合、原点$O$と焦点$F$との間の距離は$f$であり、原点$O$と準線$l$すなわち$x=l$への垂線距離も$f$である。ここで、$x=f$のときの放物線上の対応点を$A$とすると、点$A$は$y$軸から$f$だけ離れているので、$y$軸から更に$f$だけ離れた準線$l$との距離は、$2f$となり、放物線の定義から、点$A$と焦点$F$との距離も$2f$である。よって、点$A$の座標は、$(x,y)=(f,2f)$となる。これを$x=a{y}^2$に代入して、$$\begin{array}{rcl}f& =& a(2f{)}^2\\ f& =& 4a{f}^2\\ a& =& \frac{1}{4f}\end{array}$$したがって、放物線の方程式は、$$\begin{array}{rcl}x& =& \frac{1}{4f}{y}^2\\ y^2& =& 4fx\end{array}$$