エッセンシャルテキスト 光学（第１～第３章）
左貝潤一著「エッセンシャルテキスト 光学」森北出版社（2019.7）
www.amazon.co.jp/dp/4627776314
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読後メモ（行間の補充等）
第１章 光学の基礎事項
p1 波数と角波数
波数\(\kappa\)、角波数\(k\)\[\kappa=\frac{1}{\lambda}~~~~~~~~単位\left[\frac{1}{m}\right]\]\[k=\frac{2\pi}{\lambda}~~~~~~~~単位\left[\frac{rad}{m}\right]\]
\(\vec{s}\)は単位ベクトルであるから、方向余弦成分として、\[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\]となる\((\alpha,\beta,\gamma)\)を用いて、\[\vec{s}=(\alpha,\beta,\gamma)\]と現わすこともできる。
（正）\(AE=AB~sin(\pi-\theta_r)\)
n_0\sin\theta_i =n_1\sin\theta_1\\ n_1\sin\theta_1 =n_2\sin\theta_2 \\ \cdots \\ n_{m-1}\sin\theta_{m-1} =n_m\sin\theta_t \end{array} \right.\]となるので、結局、\[n_0\sin\theta_i=n_m~\sin\theta_t\]と整理される。
よって、最初の層での入射角\(\theta_i\)、最初の層の屈折率\(n_0\)、最終層の屈折率\(n_{m}\)のみで、最終層からの屈折角\(\theta_t\)は求められる。
\begin{eqnarray}\vec{s}&=&\frac{grad~\varphi}{n(\vec{r})}\nonumber\\n(\vec{r})\vec{s}&=&grad~\varphi\nonumber\\rot\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]&=&rot~grad~\varphi\nonumber\\rot\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]&=&0\nonumber\end{eqnarray}ここで、閉曲線Ｃで囲まれた曲面Ｓについてベクトルの回転（rot）を面積分したものと、閉曲線Ｃに従ってベクトルを線積分したものとが等しいというストークスの定理\[\int_Srot~\vec{A}\cdot dS=\oint_C\vec{A}\cdot d\vec{r}\]をベクトルである\(n(\vec{r})\vec{s}\)に用いると、\begin{eqnarray}\int_Srot~\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]\cdot dS&=&\oint_C n(\vec{r})\vec{s}\cdot d\vec{r}\nonumber\\0&=&\oint_C n(\vec{r})\vec{s}\cdot d\vec{r}\nonumber\end{eqnarray}
スネルの法則\[1\cdot \sin\theta_1=n\cdot \sin\theta_1'\]\[n\cdot \sin\theta_2'=1\cdot \sin\theta_2\]即ち\[\theta_1=\arcsin(n~\sin\theta_1')\]\[\theta_2=\arcsin(n~\sin\theta_2')\]を\(\delta\)式に代入すると\begin{eqnarray}\delta&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin\theta_2')-\alpha\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))-\alpha\nonumber\end{eqnarray}となる。最小偏角\(\delta_m\)は、この式の極値が候補となるから、\[\frac{d}{d\theta_1'}\delta=0\]となるような条件（\(\theta_1'\)の値）を求めてみる。\begin{eqnarray}0&=&\frac{d}{d\theta_1'}\delta\nonumber\\ &=&\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))-\alpha]\nonumber\\ &=&\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]＋\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\arcsin\)の微分公式\[\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]を用いると、与式のうち\(\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]\)の部分は、\begin{eqnarray}\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]&=&\frac{d}{d\theta_1'}(n~\sin\theta_1')\times \frac{d}{d(n~\sin\theta_1')}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]\nonumber\\&=&n~\cos \theta_1'\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\\&=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\end{eqnarray}また、与式のうち\(\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]\)の部分は、\begin{eqnarray}\frac{d[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]}{d\theta_1'}&=&\frac{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}{d\theta_1'}\times \frac{d[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]}{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}\nonumber\\&=&\frac{d(\alpha-\theta_1')}{d\theta_1'}\times \frac{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}{d(\alpha-\theta_1')}\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\&=&-1\times n~\cos(\alpha-\theta_1')\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\&=&-\frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\end{eqnarray}となるので、結局、与式は、\begin{eqnarray}0&=&\frac{d}{d\theta_1'}\delta\nonumber\\ &=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}-\frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\ \frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}&=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\end{eqnarray}となる。この方程式の分母どおし、分子どおしを比較すると、\[ \left\{
\begin{array}{l} \cos~(\alpha-\theta_1')=\cos~\theta_1' \\ \sin~(\alpha-\theta_1')=\sin~\theta_1' \end{array} \right.\]であれば、方程式が満たされる。よって、\begin{eqnarray}\alpha-\theta_1'&=&\theta_1'\nonumber\\ \alpha&=&2\theta_1'\nonumber\\ \theta_1'&=&\frac{\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}がこの方程式の解となる（\(\delta\)が極値をとるための条件）。このとき、\begin{eqnarray}\theta_2'&=&\alpha-\theta_1'\nonumber\\&=&\alpha-\frac{\alpha}{2}\nonumber\\&=&\frac{\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}であり、スネルの法則より、\begin{eqnarray}\theta_1&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})\nonumber\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\theta_2&=&\arcsin(n~\sin\theta_2')\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})\nonumber\end{eqnarray}となり、\[\theta_1=\theta_2\]が成立し、最小偏角\(\delta_m\)は、\begin{eqnarray}\delta_m&=&\theta_1+\theta_2-\alpha\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})+\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})-\alpha\nonumber\\&=&2\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})-\alpha\nonumber\end{eqnarray}となる（屈折率ｎが既知のとき頂角αのプリズムで最小偏角\(\delta_m\)を求める式）。
最小偏角\(\delta_m\)で、入射角を表現すれば、\begin{eqnarray}\delta_m&=&\theta_1+\theta_2-\alpha\nonumber\\ \delta_m&=&2~\theta_1-\alpha\nonumber\\ \delta_m+\alpha&=&2~\theta_1\nonumber\\ \theta_1&=&\frac{\delta_m+\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
逆に、頂角αのプリズムを入射光線に対して回転させて最小偏角\(\delta_m\)を測定すれば、以下のとおり、プリズムの材質の屈折率ｎを求めることができる（最小偏角法）。\begin{eqnarray}1\cdot\sin\theta_1&=&n~\sin\theta_1'\nonumber\\n&=&\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_1'}\nonumber\\&=& \frac{\sin\frac{\delta_m+\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\nonumber\end{eqnarray}
p8 光線の単位ベクトル
位置ベクトルを\(\vec{r}=(x,y,z)\)、点Ａの位置ベクトルを\(\vec{r_A}\)、点Ｂの位置ベクトルを\(\vec{r_B}\)、この位置ベクトルの変化を\(d\vec{r}\)とすると、\[\vec{r_A}=(x_A,y_A,z_A)\]\[\vec{r_B}=(x_B,y_B,z_B)\] よって、\begin{eqnarray}d\vec{r}&=&\vec{r_B}-\vec{r_A}\nonumber\\&=&(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\nonumber\end{eqnarray} この点ＡからＢへの変化が光線の経路上で起きる場合の光線に沿った点Ａと点Ｂとの間の幾何学的距離を\(ds\)、点Ａにおける光線の単位ベクトル（光線の方向を示す大きさ１のベクトル）を\(\vec{s}\)とすると、\[\vec{s}~ds=d\vec{r}\]よって、\[\vec{s}=\frac{d\vec{r}}{ds}\]\(d\vec{r}\)の方向余弦成分（x,y,z要素）を用いれば、\begin{eqnarray}\vec{s}&=&\left(\frac{dx}{ds},\frac{dy}{ds},\frac{dz}{ds}\right)\nonumber\\&=&\left(\frac{x_B-x_A}{ds},\frac{y_B-y_A}{ds},\frac{z_B-z_A}{ds}\right)\nonumber\end{eqnarray}\(\vec{s}\)は単位ベクトルであるから、方向余弦成分として、\[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=1\]となる\((\alpha,\beta,\gamma)\)を用いて、\[\vec{s}=(\alpha,\beta,\gamma)\]と現わすこともできる。
p8 アイコナール
アイコナール\(\varphi\)
光路長\(\varphi\)は、空間上の位置によって値が異なるスカラー値であるから、位置ベクトルを\(\vec{r}\)とすると、\[\varphi(\vec{r})\]と表現できる。
いま、同じ光路長Ｃ\begin{eqnarray}\varphi(\vec{r_a})&=&C\nonumber\\ \varphi(\vec{r_b})&=&C\nonumber\\ \varphi(\vec{r_c})&=&C\nonumber\\ &\cdots&\nonumber\end{eqnarray}を持つ空間上の各点\begin{eqnarray}\vec{r_a}&=&(x_a,y_a,z_a)\nonumber\\\vec{r_b}&=&(x_b,y_b,z_b)\nonumber\\\vec{r_c}&=&(x_c,y_c,z_c)\nonumber\\&\cdots&\nonumber\end{eqnarray}を\((x,y,z)\)グラフ上に集めると三次元上の曲面となる。これは、特定の光路長（光源からの光路長が同じ場合、波動の位相値も等しい）\(\varphi\)に対応した電磁波の波面Ｃであるが、他の特定の光路長\(\varphi\)の集団についても、同様に対応する波面Ｃを考えることができるので、結局、光路長\(\varphi(\vec{r})\)の等位面として\begin{eqnarray}\varphi(\vec{r})&=&C_1\nonumber\\ \varphi(\vec{r})&=&C_2\nonumber\\\varphi(\vec{r})&=&C_3\nonumber\\ &\cdots&\nonumber\end{eqnarray}対応する各波面\(C_1,C_2,C_3,\cdots\)を(x,y,z)座標で表すことができる。
光路長\(\varphi\)は、空間上の位置によって値が異なるスカラー値であるから、位置ベクトルを\(\vec{r}\)とすると、\[\varphi(\vec{r})\]と表現できる。
いま、同じ光路長Ｃ\begin{eqnarray}\varphi(\vec{r_a})&=&C\nonumber\\ \varphi(\vec{r_b})&=&C\nonumber\\ \varphi(\vec{r_c})&=&C\nonumber\\ &\cdots&\nonumber\end{eqnarray}を持つ空間上の各点\begin{eqnarray}\vec{r_a}&=&(x_a,y_a,z_a)\nonumber\\\vec{r_b}&=&(x_b,y_b,z_b)\nonumber\\\vec{r_c}&=&(x_c,y_c,z_c)\nonumber\\&\cdots&\nonumber\end{eqnarray}を\((x,y,z)\)グラフ上に集めると三次元上の曲面となる。これは、特定の光路長（光源からの光路長が同じ場合、波動の位相値も等しい）\(\varphi\)に対応した電磁波の波面Ｃであるが、他の特定の光路長\(\varphi\)の集団についても、同様に対応する波面Ｃを考えることができるので、結局、光路長\(\varphi(\vec{r})\)の等位面として\begin{eqnarray}\varphi(\vec{r})&=&C_1\nonumber\\ \varphi(\vec{r})&=&C_2\nonumber\\\varphi(\vec{r})&=&C_3\nonumber\\ &\cdots&\nonumber\end{eqnarray}対応する各波面\(C_1,C_2,C_3,\cdots\)を(x,y,z)座標で表すことができる。
p8 波面の法線
波面の法線\(grad~\varphi\)
空間上の位置によって値が異なるスカラー値たる光路長\(\varphi\)について、空間内の変化率（勾配）\[grad~\varphi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)\]と波面Cとの関係を考える。
波面Cに微小距離だけ離れた二つの点を考えると、両点を結ぶ直線ベクトル\[\Delta\vec{r}=(dx,dy,dz)\]は、波面Ｃの接線となる。両ベクトルの内積を計算すると、\begin{eqnarray}grad~\varphi\cdot \Delta\vec{r}&=&\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi}{\partial z}dz\nonumber\\&=&\Delta\varphi\nonumber\end{eqnarray}となる。\(\Delta\varphi\)は、具体的には、両点間における\(\varphi\)の変化量を意味するが、両点は、いずれも波面Ｃ上の点なのであるから、\(\varphi\)の値に変動はない。よって、\(\Delta\varphi\)の値は、０である。従って、この内積の値も０となるので、\begin{eqnarray}grad~\varphi\cdot \Delta\vec{r}&=&0\nonumber\\|grad~\varphi|| \Delta\vec{r}|cos\frac{\pi}{2}&=&0\nonumber\end{eqnarray}と変形できる。すなわち、\(grad~\varphi\)は、波面Ｃの接線\(\Delta \vec{r}\)と垂直の関係にある。そして、波面Ｃの接線\(\Delta \vec{r}\)は、波面Ｃの接面上で360度どの方向にも想定できるから、結局、\(grad~\varphi\)は、波面Ｃに対して垂直な方向を示すベクトルであると言える。
なお、同ベクトルを同ベクトルの絶対値で除すると、大きさが１のベクトル（単位ベクトル）となるところ、これは光線の方向（波面Ｃに垂直）を示す大きさ１のベクトルと等しいから\[\vec{s}=\frac{grad~\varphi}{|grad~\varphi|}\]となる。
波面Cに微小距離だけ離れた二つの点を考えると、両点を結ぶ直線ベクトル\[\Delta\vec{r}=(dx,dy,dz)\]は、波面Ｃの接線となる。両ベクトルの内積を計算すると、\begin{eqnarray}grad~\varphi\cdot \Delta\vec{r}&=&\frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi}{\partial z}dz\nonumber\\&=&\Delta\varphi\nonumber\end{eqnarray}となる。\(\Delta\varphi\)は、具体的には、両点間における\(\varphi\)の変化量を意味するが、両点は、いずれも波面Ｃ上の点なのであるから、\(\varphi\)の値に変動はない。よって、\(\Delta\varphi\)の値は、０である。従って、この内積の値も０となるので、\begin{eqnarray}grad~\varphi\cdot \Delta\vec{r}&=&0\nonumber\\|grad~\varphi|| \Delta\vec{r}|cos\frac{\pi}{2}&=&0\nonumber\end{eqnarray}と変形できる。すなわち、\(grad~\varphi\)は、波面Ｃの接線\(\Delta \vec{r}\)と垂直の関係にある。そして、波面Ｃの接線\(\Delta \vec{r}\)は、波面Ｃの接面上で360度どの方向にも想定できるから、結局、\(grad~\varphi\)は、波面Ｃに対して垂直な方向を示すベクトルであると言える。
なお、同ベクトルを同ベクトルの絶対値で除すると、大きさが１のベクトル（単位ベクトル）となるところ、これは光線の方向（波面Ｃに垂直）を示す大きさ１のベクトルと等しいから\[\vec{s}=\frac{grad~\varphi}{|grad~\varphi|}\]となる。
p8 アイコナール方程式
アイコナール方程式\((grad~\varphi)^2=n(\vec{r})^2\)
光線上の点Ａ及び点Ｂとの間の光路長（光学的距離）の差を\(\varphi_{BA}\)とし、点Ａと光線上にない点Ｃ（点Ｂから微小距離離れた点）との光路長の差を\(\varphi_{CA}\)とした場合の両者の差\(\varphi_{CA}-\varphi_{BA}\)は、\(\varphi_{CB}\)に等しい。\[\varphi_{CA}-\varphi_{BA}=\varphi_{CB}\]他方で、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であること（＝点Ｂや点Ｃが、点Ａからは相対的に十分に遠い距離に位置すること）を考えると、線分ＡＢと線分ＡＣとは平行であり、また、点Ｂの属する波面と点Ｃの属する波面とは平行であると近似できる。この場合、光線ＡＢが属する直線と点Ｃが属する波面の交点をＤとすれば、点Ｂ、Ｃ、Ｄの組合せからなる各線分は、幾何学的に、以下の関係にある（\(\theta\)は両線分のなす角度）。\[\overline{BC}~cos\theta=\overline{BD}\]これを光路長に置き換えると、屈折率をｎ として、\[n\overline{BC}~cos\theta=n\overline{BD}\]ベクトルとその内積で左辺を表記すると、\[n\vec{BC}\cdot\vec{s}=n\overline{BD}\]右辺を光路長\(\varphi\)の差分として表現すると、\[n\vec{BC}\cdot\vec{s}=\Delta\varphi\]いま、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であることを前提とするので、\(\vec{BC}\)を\(d\vec{r}\)、\(\Delta\varphi\)を\(d\varphi\)で表現しなおすと、\[n~d\vec{r}\cdot\vec{s}=d\varphi\]ベクトル部分について、成分表示\[d\vec{r}=\begin{pmatrix} dx \\ dy\\dz \end{pmatrix}\] \[d\vec{s}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix}\] に置き換えたうえで、内積を演算すると、\begin{eqnarray}d\varphi&=&n\begin{pmatrix} dx \\ dy\\dz \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix}\nonumber\\ &=& n(\alpha~dx+\beta~dy+\gamma~dz)\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
この式を、各々、\(x,y,z\)にて偏微分すると、\[\frac{\partial\varphi}{\partial x}=n\alpha\]\[\frac{\partial\varphi}{\partial\ y}=n\beta\]\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}=n\gamma\]となるので、各々を二乗して合計した値は、\(\vec{s}\)が単位ベクトルであることを踏まえれば\begin{eqnarray}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)^2&=&n^2\alpha^2+n^2\beta^2+n^2\gamma^2\nonumber\\&=&n^2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)\nonumber\\&=&n^2|\vec{s}|\nonumber\\&=&n^2\nonumber\end{eqnarray}左辺を勾配（grad）で表現し、右辺の屈折率ｎが位置ベクトル\(\vec{r}\)の関数であることを踏まえて表現すると、\[(grad~\varphi)^2=n(\vec{r})^2\]が得られる。
波１の波長を\(\lambda_1\)、波２の波長を\(\lambda_2\)とすると、\[\lambda_1=\frac{2\pi}{k_1}\]\[\lambda_2=\frac{2\pi}{k_2}\]であり、合成波を構成する二種類の波のうち波長の長い方（包絡線）の波長\(\lambda_g\)は、\begin{eqnarray}\lambda_g&=&\frac{2\pi}{k_g}\nonumber\\&=&\frac{2\pi}{\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)}\nonumber\\&=&\frac{2\times 2\pi}{\left(\frac{2\pi}{\lambda_1}-\frac{2\pi}{\lambda_2}\right)}\nonumber\\&=& \frac{2}{\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)}\nonumber\\&=&\frac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\nonumber\end{eqnarray}となる（p11図1.6の包絡線の矢印間は半波長）。
光線上の点Ａ及び点Ｂとの間の光路長（光学的距離）の差を\(\varphi_{BA}\)とし、点Ａと光線上にない点Ｃ（点Ｂから微小距離離れた点）との光路長の差を\(\varphi_{CA}\)とした場合の両者の差\(\varphi_{CA}-\varphi_{BA}\)は、\(\varphi_{CB}\)に等しい。\[\varphi_{CA}-\varphi_{BA}=\varphi_{CB}\]他方で、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であること（＝点Ｂや点Ｃが、点Ａからは相対的に十分に遠い距離に位置すること）を考えると、線分ＡＢと線分ＡＣとは平行であり、また、点Ｂの属する波面と点Ｃの属する波面とは平行であると近似できる。この場合、光線ＡＢが属する直線と点Ｃが属する波面の交点をＤとすれば、点Ｂ、Ｃ、Ｄの組合せからなる各線分は、幾何学的に、以下の関係にある（\(\theta\)は両線分のなす角度）。\[\overline{BC}~cos\theta=\overline{BD}\]これを光路長に置き換えると、屈折率をｎ として、\[n\overline{BC}~cos\theta=n\overline{BD}\]ベクトルとその内積で左辺を表記すると、\[n\vec{BC}\cdot\vec{s}=n\overline{BD}\]右辺を光路長\(\varphi\)の差分として表現すると、\[n\vec{BC}\cdot\vec{s}=\Delta\varphi\]いま、点Ｂと点Ｃとの距離差は微小であることを前提とするので、\(\vec{BC}\)を\(d\vec{r}\)、\(\Delta\varphi\)を\(d\varphi\)で表現しなおすと、\[n~d\vec{r}\cdot\vec{s}=d\varphi\]ベクトル部分について、成分表示\[d\vec{r}=\begin{pmatrix} dx \\ dy\\dz \end{pmatrix}\] \[d\vec{s}=\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix}\] に置き換えたうえで、内積を演算すると、\begin{eqnarray}d\varphi&=&n\begin{pmatrix} dx \\ dy\\dz \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta\\ \gamma \end{pmatrix}\nonumber\\ &=& n(\alpha~dx+\beta~dy+\gamma~dz)\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
この式を、各々、\(x,y,z\)にて偏微分すると、\[\frac{\partial\varphi}{\partial x}=n\alpha\]\[\frac{\partial\varphi}{\partial\ y}=n\beta\]\[\frac{\partial\varphi}{\partial z}=n\gamma\]となるので、各々を二乗して合計した値は、\(\vec{s}\)が単位ベクトルであることを踏まえれば\begin{eqnarray}\left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)^2&=&n^2\alpha^2+n^2\beta^2+n^2\gamma^2\nonumber\\&=&n^2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)\nonumber\\&=&n^2|\vec{s}|\nonumber\\&=&n^2\nonumber\end{eqnarray}左辺を勾配（grad）で表現し、右辺の屈折率ｎが位置ベクトル\(\vec{r}\)の関数であることを踏まえて表現すると、\[(grad~\varphi)^2=n(\vec{r})^2\]が得られる。
p8 光線方程式
\begin{eqnarray}\vec{s}&=&\frac{grad~\varphi}{n(\vec{r})}\nonumber\\\frac{d\vec{r}}{ds}&=&\frac{grad~\varphi}{n(\vec{r})}\nonumber\\n(\vec{r})\frac{d\vec{r}}{ds}&=&grad~\varphi\nonumber\end{eqnarray}両辺をsで微分すると、\begin{eqnarray}\frac{d}{ds}\left[n(\vec{r})\frac{d\vec{r}}{ds}\right]&=&\frac{d}{ds}grad~\varphi\nonumber\\&=&grad~\frac{d}{ds}\varphi\nonumber\\&=&grad~\frac{d}{ds}\int n(\vec{r}) ds\nonumber\\&=&grad~n(\vec{r})\nonumber\end{eqnarray}p11 合成波
進行波１（最大振幅（電界）Ａ、角速度\(\omega_1\)、角波数\(k_1\)）の時刻ｔ、位置ｚの瞬時振幅（電界）\(u_1\)、\[u_1=A\cos(\omega_1t-k_1z)\]進行波２（最大振幅（電界）Ａ、角速度\(\omega_2\)、角波数\(k_2\)）の時刻ｔ、位置ｚの瞬時振幅（電界）\(u_2\)、\[u_2=A\cos(\omega_2t-k_2z)\]の合成波Ｕの瞬時振幅は、\begin{eqnarray}U&=&u_1+u_2\nonumber\\&=&A\cos(\omega_1t-k_1z)+A\cos(\omega_2t-k_2z)\nonumber\end{eqnarray}となるところ、三角関数の公式\[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\]を用いると、\begin{eqnarray}U&=&2A\cos\frac{\omega_1t-k_1z+\omega_2t-k_2z}{2}\cos\frac{\omega_1t-k_1z-\omega_2t+k_2z}{2}\nonumber\\&=&2A\cos\frac{(\omega_1+\omega_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\cos\frac{(\omega_1-\omega_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\nonumber\\&=&2A\cos\frac{(\omega_1-\omega_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos\frac{(\omega_1+\omega_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\nonumber\\&=&2A\cos\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t-\frac{k_1-k_2}{2}z\right)\cos\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t-\frac{k_1+k_2}{2}z\right)\nonumber\end{eqnarray}となり、波長の異なる二種類の波の積の形に変形できる。波１の波長を\(\lambda_1\)、波２の波長を\(\lambda_2\)とすると、\[\lambda_1=\frac{2\pi}{k_1}\]\[\lambda_2=\frac{2\pi}{k_2}\]であり、合成波を構成する二種類の波のうち波長の長い方（包絡線）の波長\(\lambda_g\)は、\begin{eqnarray}\lambda_g&=&\frac{2\pi}{k_g}\nonumber\\&=&\frac{2\pi}{\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)}\nonumber\\&=&\frac{2\times 2\pi}{\left(\frac{2\pi}{\lambda_1}-\frac{2\pi}{\lambda_2}\right)}\nonumber\\&=& \frac{2}{\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)}\nonumber\\&=&\frac{2\lambda_1\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\nonumber\end{eqnarray}となる（p11図1.6の包絡線の矢印間は半波長）。
p12 群速度
群速度\(v_g\)
一般に波速度\(v\)、波長\(\lambda\)、振動数（周波数）\(\nu\)、角波数\(k\)、角速度\(\omega\)との間には、\begin{eqnarray}v&=&\lambda\nu\nonumber\\&=&\frac{\lambda}{2\pi}2\pi\nu\nonumber\\&=&\frac{1}{k}\omega\nonumber\\&=&\frac{\omega}{k}\nonumber\end{eqnarray}の関係があるところ、p11の式（1.26）\[U=2A\cos\frac{(\omega_1-\omega_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos\frac{(\omega_1+\omega_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\]のうち、\[\cos\frac{(\omega_1-\omega_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\]の部分が包絡線の要素であるから、同部分の速度（群速度）は、\begin{eqnarray}v_g&=&\frac{\omega_g}{k_g}\nonumber\\&=&\frac{\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}\right)}{\left(\frac{k_1-k_2}{2}\right)}\nonumber\\&=&\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、平均値として、\[\overline{\omega}=\frac{\omega_1+\omega_2}{2}\]\[\overline{k}=\frac{k_1+k_2}{2}\]を考えると、ロピタルの定理\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]より、\(\omega_1-\omega_2\)や\(k_1-k_2\)が微小である場合には、\[\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}\fallingdotseq\frac{d\overline{\omega}}{d\overline{k}}\]であるから、\(v_g\)は、\[v_g\fallingdotseq\frac{d\overline{\omega}}{d\overline{k}}\]となる。
これを前提に、周波数\(\overline{ω}\)によって屈折率ｎが変化する媒質中における群速度を検討すると、\begin{eqnarray}v_g&=&\frac{1}{\frac{d\overline{k}}{d\omega}}\nonumber\\&=&\frac{1}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\frac{\omega}{c}\right)}\nonumber\\&=&\frac{c}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\omega\right)}\nonumber\\&=&\frac{c}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\right)\times\omega+n(\omega)\frac{d}{d\omega}\omega}\nonumber\\&=&\frac{c}{\omega\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\right)+n(\omega)}\nonumber\end{eqnarray}となる（式中の\(\omega\)は平均値）。
これを前提に、周波数\(\overline{ω}\)によって屈折率ｎが変化する媒質中における群速度を検討すると、\begin{eqnarray}v_g&=&\frac{1}{\frac{d\overline{k}}{d\omega}}\nonumber\\&=&\frac{1}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\frac{\omega}{c}\right)}\nonumber\\&=&\frac{c}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\omega\right)}\nonumber\\&=&\frac{c}{\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\right)\times\omega+n(\omega)\frac{d}{d\omega}\omega}\nonumber\\&=&\frac{c}{\omega\frac{d}{d\omega}\left(n(\omega)\right)+n(\omega)}\nonumber\end{eqnarray}となる（式中の\(\omega\)は平均値）。
p12 位相速度
位相速度\(v_p\)
式（1.26）\[U=2A\cos\frac{(\omega_1-\omega_2)t-(k_1-k_2)z}{2}\cos\frac{(\omega_1+\omega_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\]のうち、\[\cos\frac{(\omega_1+\omega_2)t-(k_1+k_2)z}{2}\]の部分が包絡線内部の周期的変化を示す要素であるから、同部分の速度（位相速度）は、\begin{eqnarray}v_p&=&\frac{\omega_p}{k_p}\nonumber\\&=&\frac{\frac{\omega_1+\omega_2}{2}}{\frac{k_1+k_2}{2}}\nonumber\\&=&\frac{\omega_1+\omega_2}{k_1+k_2}\nonumber\\&=&\frac{\overline{w}}{\overline{k}}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p12 群速度と位相速度の関係
群速度\(v_g\)と位相速度\(v_p\)の関係
\begin{eqnarray}v_g&=&\frac{d\overline{\omega}}{d\overline{k}}\nonumber\\v_p&=&\frac{\overline{\omega}}{\overline{k}}\nonumber\end{eqnarray}から、\begin{eqnarray}v_g&=&\frac{d}{d\overline{k}}(v_p\times \overline{k})\nonumber\\&=&v_p\frac{d\overline{k}}{d\overline{k}}+\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{k}}\overline{k}\nonumber\\&=&v_p+\overline{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{k}}\nonumber\end{eqnarray}であり、更に変形をすると、\begin{eqnarray}v_g&=&v_p+\overline{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\times\frac{d\overline{\lambda}}{d\overline{k}}\nonumber\\&=&v_p+\overline{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\times\frac{d}{d\overline{k}}\left(\frac{2\pi}{\overline{k}}\right)\nonumber\\&=&v_p+\overline{k}\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\times \left(-\frac{2\pi}{\overline{k}^2}\right)\nonumber\\&=&v_p-\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\times \frac{2\pi}{\overline{k}}\nonumber\\&=&v_p-\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\times \overline{\lambda}\nonumber\\&=&v_p-\overline{\lambda}\frac{d\overline{v_p}}{d\overline{\lambda}}\nonumber\end{eqnarray}
第２章 屈折と反射
p16 反射の法則
（誤）\(AE=AB~sin\theta_r\)（正）\(AE=AB~sin(\pi-\theta_r)\)
p17 多層被膜の屈折角
光線が、屈折率\(n_0\)の空中から、入射角\(\theta_i\)で、多数被膜を通過する場合における最終層の屈折角\(\theta_t\)を求める。第１層の屈折率を\(n_1\)、第２層の屈折率を\(n_2\)、…第\(m-1\)層の屈折率を\(n_{m-1}\)、第\(m\)層（最終層）の屈折率を\(n_m\)とした場合、被膜層厚さが十分に小さい場合、各層は平行平面とみなせるので、各層での屈折角は次層への入射角に等しくなる。これらを順に、\( \theta_1, ~\theta_2,~\cdots,~\theta_{m-1}\)として各層境界面でスネルの法則を適用すると、\[ \left\{ \begin{array}{l}n_0\sin\theta_i =n_1\sin\theta_1\\ n_1\sin\theta_1 =n_2\sin\theta_2 \\ \cdots \\ n_{m-1}\sin\theta_{m-1} =n_m\sin\theta_t \end{array} \right.\]となるので、結局、\[n_0\sin\theta_i=n_m~\sin\theta_t\]と整理される。
よって、最初の層での入射角\(\theta_i\)、最初の層の屈折率\(n_0\)、最終層の屈折率\(n_{m}\)のみで、最終層からの屈折角\(\theta_t\)は求められる。
p19 マリュスの定理（ラグランジュの積分不変量）
\(n(\vec{r})\)を位置ベクトル\(\vec{r}\)で定まる屈折率、光線の単位ベクトルを\(\vec{s}\)とすると、\begin{eqnarray}\vec{s}&=&\frac{grad~\varphi}{n(\vec{r})}\nonumber\\n(\vec{r})\vec{s}&=&grad~\varphi\nonumber\\rot\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]&=&rot~grad~\varphi\nonumber\\rot\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]&=&0\nonumber\end{eqnarray}ここで、閉曲線Ｃで囲まれた曲面Ｓについてベクトルの回転（rot）を面積分したものと、閉曲線Ｃに従ってベクトルを線積分したものとが等しいというストークスの定理\[\int_Srot~\vec{A}\cdot dS=\oint_C\vec{A}\cdot d\vec{r}\]をベクトルである\(n(\vec{r})\vec{s}\)に用いると、\begin{eqnarray}\int_Srot~\left[n(\vec{r})\vec{s}\right]\cdot dS&=&\oint_C n(\vec{r})\vec{s}\cdot d\vec{r}\nonumber\\0&=&\oint_C n(\vec{r})\vec{s}\cdot d\vec{r}\nonumber\end{eqnarray}
p21 プリズムの偏角
プリズムの偏角\\(\delta\)
入射光線と出射光線との交点をＤとすると、P21図の三角形ＤＢＣにおいて、\[\angle B=\theta_1-\theta_1'\]\[\angle C=\theta_2-\theta_2'\]であるから、\begin{eqnarray}\delta&=&\angle B+\angle C\nonumber\\&=&(\theta_1-\theta_1')+(\theta_2-\theta_2')\nonumber\\&=&\theta_1+\theta_2-(\theta_1'+\theta_2')\nonumber\end{eqnarray}となり、三角形ＡＢＣにおいて、、\[\angle B=\frac{\pi}{2}-\theta_1'\]\[\angle C=\frac{\pi}{2}-\theta_2'\]であるから、\begin{eqnarray}\alpha&=&\angle A\nonumber\\&=&\pi-(\angle B+\angle C)\nonumber\\&=&\theta_1'+\theta_2'\nonumber\end{eqnarray}となるので、偏角\(\delta\)は、\[\delta=\theta_1+\theta_2-\alpha\]とまとめられる。
入射光線と出射光線との交点をＤとすると、P21図の三角形ＤＢＣにおいて、\[\angle B=\theta_1-\theta_1'\]\[\angle C=\theta_2-\theta_2'\]であるから、\begin{eqnarray}\delta&=&\angle B+\angle C\nonumber\\&=&(\theta_1-\theta_1')+(\theta_2-\theta_2')\nonumber\\&=&\theta_1+\theta_2-(\theta_1'+\theta_2')\nonumber\end{eqnarray}となり、三角形ＡＢＣにおいて、、\[\angle B=\frac{\pi}{2}-\theta_1'\]\[\angle C=\frac{\pi}{2}-\theta_2'\]であるから、\begin{eqnarray}\alpha&=&\angle A\nonumber\\&=&\pi-(\angle B+\angle C)\nonumber\\&=&\theta_1'+\theta_2'\nonumber\end{eqnarray}となるので、偏角\(\delta\)は、\[\delta=\theta_1+\theta_2-\alpha\]とまとめられる。
p21 最小偏角
最小偏角\(\delta_m\)
スネルの法則\[1\cdot \sin\theta_1=n\cdot \sin\theta_1'\]\[n\cdot \sin\theta_2'=1\cdot \sin\theta_2\]即ち\[\theta_1=\arcsin(n~\sin\theta_1')\]\[\theta_2=\arcsin(n~\sin\theta_2')\]を\(\delta\)式に代入すると\begin{eqnarray}\delta&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin\theta_2')-\alpha\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))-\alpha\nonumber\end{eqnarray}となる。最小偏角\(\delta_m\)は、この式の極値が候補となるから、\[\frac{d}{d\theta_1'}\delta=0\]となるような条件（\(\theta_1'\)の値）を求めてみる。\begin{eqnarray}0&=&\frac{d}{d\theta_1'}\delta\nonumber\\ &=&\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')＋\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))-\alpha]\nonumber\\ &=&\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]＋\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\arcsin\)の微分公式\[\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]を用いると、与式のうち\(\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]\)の部分は、\begin{eqnarray}\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]&=&\frac{d}{d\theta_1'}(n~\sin\theta_1')\times \frac{d}{d(n~\sin\theta_1')}[\arcsin(n~\sin\theta_1')]\nonumber\\&=&n~\cos \theta_1'\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\\&=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\end{eqnarray}また、与式のうち\(\frac{d}{d\theta_1'}[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]\)の部分は、\begin{eqnarray}\frac{d[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]}{d\theta_1'}&=&\frac{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}{d\theta_1'}\times \frac{d[\arcsin(n~\sin(\alpha-\theta_1'))]}{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}\nonumber\\&=&\frac{d(\alpha-\theta_1')}{d\theta_1'}\times \frac{d(n~\sin(\alpha-\theta_1'))}{d(\alpha-\theta_1')}\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\&=&-1\times n~\cos(\alpha-\theta_1')\times \frac{1}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\&=&-\frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\end{eqnarray}となるので、結局、与式は、\begin{eqnarray}0&=&\frac{d}{d\theta_1'}\delta\nonumber\\ &=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}-\frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}\nonumber\\ \frac{n~\cos(\alpha-\theta_1')}{\sqrt{1-(n~\sin(\alpha-\theta_1'))^2}}&=&\frac{n~\cos\theta_1'}{\sqrt{1-(n~\sin\theta_1')^2}}\nonumber\end{eqnarray}となる。この方程式の分母どおし、分子どおしを比較すると、\[ \left\{
\begin{array}{l} \cos~(\alpha-\theta_1')=\cos~\theta_1' \\ \sin~(\alpha-\theta_1')=\sin~\theta_1' \end{array} \right.\]であれば、方程式が満たされる。よって、\begin{eqnarray}\alpha-\theta_1'&=&\theta_1'\nonumber\\ \alpha&=&2\theta_1'\nonumber\\ \theta_1'&=&\frac{\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}がこの方程式の解となる（\(\delta\)が極値をとるための条件）。このとき、\begin{eqnarray}\theta_2'&=&\alpha-\theta_1'\nonumber\\&=&\alpha-\frac{\alpha}{2}\nonumber\\&=&\frac{\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}であり、スネルの法則より、\begin{eqnarray}\theta_1&=&\arcsin(n~\sin\theta_1')\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})\nonumber\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\theta_2&=&\arcsin(n~\sin\theta_2')\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})\nonumber\end{eqnarray}となり、\[\theta_1=\theta_2\]が成立し、最小偏角\(\delta_m\)は、\begin{eqnarray}\delta_m&=&\theta_1+\theta_2-\alpha\nonumber\\&=&\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})+\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})-\alpha\nonumber\\&=&2\arcsin(n~\sin\frac{\alpha}{2})-\alpha\nonumber\end{eqnarray}となる（屈折率ｎが既知のとき頂角αのプリズムで最小偏角\(\delta_m\)を求める式）。
最小偏角\(\delta_m\)で、入射角を表現すれば、\begin{eqnarray}\delta_m&=&\theta_1+\theta_2-\alpha\nonumber\\ \delta_m&=&2~\theta_1-\alpha\nonumber\\ \delta_m+\alpha&=&2~\theta_1\nonumber\\ \theta_1&=&\frac{\delta_m+\alpha}{2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
逆に、頂角αのプリズムを入射光線に対して回転させて最小偏角\(\delta_m\)を測定すれば、以下のとおり、プリズムの材質の屈折率ｎを求めることができる（最小偏角法）。\begin{eqnarray}1\cdot\sin\theta_1&=&n~\sin\theta_1'\nonumber\\n&=&\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_1'}\nonumber\\&=& \frac{\sin\frac{\delta_m+\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\nonumber\end{eqnarray}
p22 入射角等が微小の場合の近似
ラジアン角\(\theta\)に関して、\[\lim_{n \to \infty}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\]が成立することから、微小角\(\theta\)について、\[\sin\theta\fallingdotseq\theta\]と近似できる。この場合、空気から媒質（屈折率ｎ）への光線入射にかかるスネルの法則は、入射角を\(\theta\)、屈折角を\(\theta'\)として、\begin{eqnarray}1\cdot\sin\theta_1&=&n~\sin\theta_1'\nonumber\\ \theta_1&\fallingdotseq&n~\theta_1'\nonumber\end{eqnarray}と近似できる。出射角も同様に\[\theta_2\fallingdotseq n~\theta_2'\]である。この場合（入射角\(\theta_1\)及び出射角\(\theta_2\)が微小の場合。なお、\(\alpha=\theta_1+\theta_2\)なので、\(\alpha\)も微小角である）、空気中のプリズムの偏角\(\delta\)は、\begin{eqnarray}\delta&=&(\theta_1-\theta_1')+(\theta_2-\theta_2')\nonumber\\&\fallingdotseq&(n\theta_1'-\theta_1')+(n\theta_2'-\theta_2')\nonumber\\&=&(n-1)\theta_1'+(n-1)\theta_2'\nonumber\\&=&(n-1)(\theta_1'+\theta_2')\nonumber\\&=&(n-1)\alpha\nonumber\end{eqnarray}と近似できる。p23 ガウスのレンズ公式
物体位置\(s_1\)、後側焦点距離\(f'\)、像の位置\(s_2\)として、\begin{eqnarray}\frac{s_2}{s_1}&=&\frac{f'-s_2}{f'}\nonumber\\\frac{s_2}{s_1}&=&1-\frac{s_2}{f'}\nonumber\\\frac{1}{s_1}&=&\frac{1}{s_2}-\frac{1}{f'}\nonumber\\ \frac{1}{f'}&=&-\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}\nonumber\end{eqnarray}第３章 屈折・反射を用いた結像作用
p29 単一球面での屈折（式3.14）
p29図3.3において、三角形の内角と外角の関係から、以下の二式が成立する。\[\zeta_2+\theta_t=\angle AOP\]\[\angle AOP+\zeta_1=\theta_i\]よって、\begin{eqnarray}\zeta_2+\theta_t +\zeta_1&=&\theta_i\nonumber\\\zeta_2&=&\theta_i-\theta_t-\zeta_1\nonumber\end{eqnarray}p29 正弦定理
一般に三角形（頂点A,B,C。各頂点の対辺a,b,c）において、外接円の半径をＲとすると、以下の等式が成り立つ（正弦定理）。\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]これを、p29図3.3の三角形APOに適用すると、\[\frac{\overline{AO}}{\sin \angle P}=\frac{\overline{PA}}{\sin \angle O}=\frac{\overline{PO}}{\sin \angle A}\]対応する値を入れると、\[\frac{R}{\sin \zeta_1}=\frac{\eta_1}{\sin (\zeta_2+\theta_t)}=\frac{-s_1+R}{\sin (\pi-\theta_i)}\]から、\[\frac{R}{\sin \zeta_1}=\frac{\eta_1}{\sin (\theta_i-\zeta_1)}=\frac{-s_1+R}{\sin \theta_i}\]を得る。左辺と右辺から、\begin{eqnarray}R~\sin \theta_i&=&(-s_1+R)\sin\zeta_1\nonumber\\\sin\theta_i&=&\frac{-s_1+R}{R}\sin\zeta_1\nonumber\end{eqnarray}ここで、近軸光線近似として、\[\sin\theta_i\fallingdotseq\theta_i\]\[\sin\zeta_1\fallingdotseq\zeta_1\]\[-s_1\fallingdotseq\eta_1\]を用いると、与式は、\[\theta_i\fallingdotseq\frac{\eta_1+R}{R}\zeta_1\]p36 行列法での基本式
球面上の光線入射点での接平面におけるスネルの法則から、\begin{eqnarray}n_j\sin\theta_j&=&n_{j+1}\sin\theta_{j+1}\nonumber\\n_j\sin(\zeta_j+\theta_0)&=&n_{j+1}\sin(\zeta_{j+1}+\theta_0)\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\zeta_j\)や\(\zeta_{j+1}\)は微小角なので、\[\sin\zeta_j\fallingdotseq\zeta_j\]かつ\[\sin\zeta_{j+1}\fallingdotseq\zeta_{j+1}\]である。また、\[\sin\theta_0=\sin\frac{x_j}{R_j}\ll1\]であるから、\(\theta_0\)も微小角なので、\[\sin\theta_0\fallingdotseq\theta_0\]これらの合計である\(\zeta_j+\theta_0\)や\(\zeta_{j+1}+\theta_0\)も微小角と言えるから、\[\sin(\zeta_j+\theta_0)\fallingdotseq\zeta_j+\theta_0\]かつ\[\sin(\zeta_{j+1}+\theta_0)\fallingdotseq\zeta_{j+1}+\theta_0\]となるので、冒頭のスネルの法則の適用結果は、以下のように近似できる。\[n_j(\zeta_j+\theta_0)=n_{j+1}(\zeta_{j+1}+\theta_0)\]ここで、\[\zeta_j+\xi_j=\frac{\pi}{2}\]かつ\[\zeta_{j+1}+\xi_{j+1}=\frac{\pi}{2}\]であるから、\[\sin\zeta_j=\cos\xi_j\]かつ\[\sin\zeta_{j+1}=\cos\xi_{j+1}\]を上記式に各々代入して、\begin{eqnarray}n_j(\cos\xi_j+\theta_0)&=&n_{j+1}(\cos\xi_{j+1}+\theta_0)\nonumber\\n_j(\cos\xi_j+\frac{x_j}{R_j})&=&n_{j+1}(\cos\xi_{j+1}+\frac{x_j}{R_j})\nonumber\\n_j\cos\xi_j+n_j\frac{x_j}{R_j}-n_{j+1}\frac{x_j}{R_j}&=&n_{j+1}\cos\xi_{j+1}\nonumber\\n_j\cos\xi_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}&=&n_{j+1}\cos\xi_{j+1}\nonumber\\n_{j+1}\cos\xi_{j+1}&=&n_j\cos\xi_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}\nonumber\end{eqnarray}との近似結果を得る（屈折率\(n\)と光線方向余弦\(cos\xi\)との積の屈折面における変換則）。p36 屈折行列
屈折行列\(\vec{R_j}\)
レンズ光軸を\(z\)軸、光軸からの距離を\(x_j\)、光線が\(x\)軸となす角を\(xi_j\)、屈折率を\(n_j\)とした場合、曲率半径\(R_j\)の屈折面前後での基底ベクトル（光軸距離、伝播方向）について、\begin{eqnarray}\vec{Q_{j+1}}&=&\vec{R_j}\vec{Q_j}\nonumber\\ \left( \begin{array}{ccc}
x_{j+1} \\
-n_{j+1}\cos\xi_{j+1} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
\frac{n_{j+1}-n_j}{R_j} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\&=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
\frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}であり、屈折面前後で、光軸からの距離が不変であること（行列１行目）\[x_{j+1}=x_j\]また、屈折率\(n\)と光線方向余弦\(cos\xi\)との積\(n\cos\xi\)にかかる変換則（行列２行目）\begin{eqnarray}-n_{j+1}\cos\xi_{j+1}&=&\frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos\xi_j\nonumber\\n_{j+1}\cos\xi_{j+1}&=&n_j\cos\xi_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}\nonumber\end{eqnarray}が行列法で再現記述されている。
レンズ光軸を\(z\)軸、光軸からの距離を\(x_j\)、光線が\(x\)軸となす角を\(xi_j\)、屈折率を\(n_j\)とした場合、曲率半径\(R_j\)の屈折面前後での基底ベクトル（光軸距離、伝播方向）について、\begin{eqnarray}\vec{Q_{j+1}}&=&\vec{R_j}\vec{Q_j}\nonumber\\ \left( \begin{array}{ccc}
x_{j+1} \\
-n_{j+1}\cos\xi_{j+1} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
\frac{n_{j+1}-n_j}{R_j} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\&=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
\frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\end{eqnarray}であり、屈折面前後で、光軸からの距離が不変であること（行列１行目）\[x_{j+1}=x_j\]また、屈折率\(n\)と光線方向余弦\(cos\xi\)との積\(n\cos\xi\)にかかる変換則（行列２行目）\begin{eqnarray}-n_{j+1}\cos\xi_{j+1}&=&\frac{x_j(n_{j+1}-n_j)}{R_j}-n_j\cos\xi_j\nonumber\\n_{j+1}\cos\xi_{j+1}&=&n_j\cos\xi_j+\frac{x_j(n_j-n_{j+1})}{R_j}\nonumber\end{eqnarray}が行列法で再現記述されている。
p36 転送行列
転送行列\(\vec{T_{j+1}}\)
曲面間の光線伝播の際の光軸からの距離\(x_j\)について、光軸上の球面間隔を\(s_{j+1}\)とすると、以下の近似式が成立しているところ、\[x_{j+1}-x_j\fallingdotseq s_{j+1}\cos\xi_{j+1}\]転送行列\(\vec{T_{j+1}}\)を用いた記述法でも、
\begin{eqnarray}\vec{Q_{j+1}}&=&\vec{T_{j+1}}\vec{Q_j}\nonumber\\ \left( \begin{array}{ccc}
x_{j+1} \\
-n_{j+1}\cos\xi_{j+1} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc}
1 & \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}} \\
0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\&=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j+\frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times(-n_j\cos\xi_j) \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\ &=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j+s_{j+1}\frac{n_j}{n_{j+1}}\cos\xi_j \\
-n_{j+1}\cos\xi_j \end{array} \right) \nonumber\end{eqnarray}となるところ、２曲面間では屈折率に変動はなく（\(n_{j+1}=n_j\)）、また、光線の\(x\)軸角度にも変動がないこと（\(\xi_j=\xi_{j+1}\)）を踏まえると、行列１行目は、\begin{eqnarray}x_{j+1}&=&x_j+s_{j+1}\frac{n_{j+1}}{n_{j+1}}cos\xi_{j+1}\nonumber\\x_{j+1}-x_j&=&s_{j+1}~cos\xi_{j+1}\nonumber\end{eqnarray}となり、上記近似式が再現記述されている（行列２行目は左辺・右辺ともに\(-n_{j+1}\cos\xi_{j+1}\)となり常に成立）。
\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
\frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}& 1
\end{array} \right)\]の行列式の値は、\begin{eqnarray}|\vec{R_j}|&=&1\times1+0\times \frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}転送行列\[\vec{T_{j+1}}= \left(
\begin{array}{ccc}
1 & \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}} \\
0 & 1
\end{array} \right)\]の行列式の値は、\begin{eqnarray}|\vec{T_{j+1}}|&=&1\times1+ \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times0\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}一般に、正方行列\(A\)と\(B\)の積\(AB\)の行列式は各行列の行列式の積に等しい\[|AB|=|A||B|\]から、システム行列\[\vec{S}=\vec{R_2}\vec{T_L}\vec{R_1}\]の行列式についても\begin{eqnarray}|\vec{S}|&=&|\vec{R_2}\vec{T_L}\vec{R_1}|\nonumber\\&=&|\vec{R_2}||\vec{T_L}||\vec{R_1}|\nonumber\\&=&1\times 1\times 1\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}となる。
\begin{eqnarray}\vec{Q_{j+1}}&=&\vec{T_{j+1}}\vec{Q_j}\nonumber\\ \left( \begin{array}{ccc}
x_{j+1} \\
-n_{j+1}\cos\xi_{j+1} \end{array} \right)&=& \left( \begin{array}{ccc}
1 & \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}} \\
0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc}
x_j \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\&=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j+\frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times(-n_j\cos\xi_j) \\
-n_j\cos\xi_j \end{array} \right)\nonumber\\ &=&\left( \begin{array}{ccc}
x_j+s_{j+1}\frac{n_j}{n_{j+1}}\cos\xi_j \\
-n_{j+1}\cos\xi_j \end{array} \right) \nonumber\end{eqnarray}となるところ、２曲面間では屈折率に変動はなく（\(n_{j+1}=n_j\)）、また、光線の\(x\)軸角度にも変動がないこと（\(\xi_j=\xi_{j+1}\)）を踏まえると、行列１行目は、\begin{eqnarray}x_{j+1}&=&x_j+s_{j+1}\frac{n_{j+1}}{n_{j+1}}cos\xi_{j+1}\nonumber\\x_{j+1}-x_j&=&s_{j+1}~cos\xi_{j+1}\nonumber\end{eqnarray}となり、上記近似式が再現記述されている（行列２行目は左辺・右辺ともに\(-n_{j+1}\cos\xi_{j+1}\)となり常に成立）。
p37 システム行列の行列式
屈折行列\[\vec{R_j}= \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
\frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}& 1
\end{array} \right)\]の行列式の値は、\begin{eqnarray}|\vec{R_j}|&=&1\times1+0\times \frac{n_{j+1}-n_j}{R_j}\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}転送行列\[\vec{T_{j+1}}= \left(
\begin{array}{ccc}
1 & \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}} \\
0 & 1
\end{array} \right)\]の行列式の値は、\begin{eqnarray}|\vec{T_{j+1}}|&=&1\times1+ \frac{-s_{j+1}}{n_{j+1}}\times0\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}一般に、正方行列\(A\)と\(B\)の積\(AB\)の行列式は各行列の行列式の積に等しい\[|AB|=|A||B|\]から、システム行列\[\vec{S}=\vec{R_2}\vec{T_L}\vec{R_1}\]の行列式についても\begin{eqnarray}|\vec{S}|&=&|\vec{R_2}\vec{T_L}\vec{R_1}|\nonumber\\&=&|\vec{R_2}||\vec{T_L}||\vec{R_1}|\nonumber\\&=&1\times 1\times 1\nonumber\\&=&1\nonumber\end{eqnarray}となる。
p38 物体から像までの光線伝播式
\[\vec{Q_{im}}=\vec{D}\vec{Q_{ob}}\]における行列\[\vec{D}=\vec{T_{im}}\vec{S}\vec{T_{ob}}\]において、システム行列\(S\)の行列式の値は１であり、転送行列\(T_{ob}\)と\(T_{im}\)の行列式の値も計算をするといずれも１であるから、\(\vec{D}\)の行列式の値も１となり、\begin{eqnarray}|\vec{D}|&=&1\nonumber\\ \left(c-a\frac{s_2}{n_2}\right) \left(b+a\frac{s_1}{n_1}\right)+0\times a &=&1\nonumber\\ c-a\frac{s_2}{n_2}&=& \frac{1}{b+a\frac{s_1}{n_1}}\nonumber\end{eqnarray}p38 横倍率
横倍率\(M\)
式3.43 を展開した行列の１行目は、\[x_{im}=x_{ob}\left(c-a\frac{s_2}{n_2}\right)\]であるので、横倍率\(M\)は、\begin{eqnarray}M &\equiv&\frac{x_{im}}{x_{ob}}\nonumber\\&=&c-a\frac{s_2}{n_2}\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、、\(\vec{D}\)の行列式の値が１であることから、 \[c-a\frac{s_2}{n_2}= \frac{1}{b+a\frac{s_1}{n_1}}\]であるので、 \begin{eqnarray} b+a\frac{s_1}{n_1}&=& \frac{1}{c-a\frac{s_2}{n_2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{M}\nonumber\end{eqnarray}よって、\[ \vec{D} = \left(
\begin{array}{ccc}
M & 0 \\
a & \frac{1}{M}
\end{array} \right)\]
式3.43 を展開した行列の１行目は、\[x_{im}=x_{ob}\left(c-a\frac{s_2}{n_2}\right)\]であるので、横倍率\(M\)は、\begin{eqnarray}M &\equiv&\frac{x_{im}}{x_{ob}}\nonumber\\&=&c-a\frac{s_2}{n_2}\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、、\(\vec{D}\)の行列式の値が１であることから、 \[c-a\frac{s_2}{n_2}= \frac{1}{b+a\frac{s_1}{n_1}}\]であるので、 \begin{eqnarray} b+a\frac{s_1}{n_1}&=& \frac{1}{c-a\frac{s_2}{n_2}}\nonumber\\&=&\frac{1}{M}\nonumber\end{eqnarray}よって、\[ \vec{D} = \left(
\begin{array}{ccc}
M & 0 \\
a & \frac{1}{M}
\end{array} \right)\]
p39 角倍率
角倍率\(\gamma\)
\begin{eqnarray}\gamma&\equiv&\frac{tan\zeta_2}{tan\zeta_1}\nonumber\\&=&\frac{\frac{1}{tan\xi_{im}}}{\frac{1}{tan\xi{ob}}}\nonumber\\&=&\frac{cot\xi_{im}}{cot\xi_{ob}}\nonumber\end{eqnarray}近軸光線では、p29図3.2において、\begin{eqnarray}cot\xi_{ob}&=&\frac{|H_1A_1|}{|O_1H_1|}\nonumber\\&\risingdotseq&\frac{|H_1A_1|}{|O_1A_1|}\nonumber\\&=&cos\xi_{ob}\nonumber\end{eqnarray}同様に、\[cot\xi_{im}\risingdotseq cos\xi_{im}\]なので、\[\gamma\risingdotseq\frac{cos\xi_{im}}{cos\xi_{ob}}\]
なお、横倍率と角倍率の積は、レンズ前後の屈折率の比に等しく（p34式3.35）\[M\gamma=\frac{n_1}{n_2}\]なので、\begin{eqnarray}\gamma&=&\frac{n_1}{n_2}\frac{1}{M}\nonumber\\&=&\frac{n_1}{n_2}\left(b+a\frac{s_1}{n_1}\right)\nonumber\end{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
s_{H1}=0 \\
s_{H2}=0
\end{array}
\right.
\]また、レンズは空気中にあるので、\[
\left\{
\begin{array}{l}
n_1=1 \\
n_2=1
\end{array}
\right.
\]これを式3.46\[
\left\{
\begin{array}{l}
s_{H1}=\frac{n_1(1-b)}{a} \\
s_{H2}=\frac{n_2(c-1)}{a}
\end{array}
\right.
\]に代入すると\[
\left\{
\begin{array}{l}
0=\frac{1(1-b)}{a} \\
0=\frac{1(c-1)}{a}
\end{array}
\right.
\]から、\[
\left\{
\begin{array}{l}
b=1\\
c=1
\end{array}
\right.
\]が得られる。よって、薄肉レンズのシステム行列は、\[
\vec{S_j} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
a_j & 1
\end{array}
\right)
\]
逆数の微分の公式\[\delta\left(\frac{1}{f}\right)=-\frac{\delta f}{f^2}\]より、\begin{eqnarray}\delta\left(\frac{1}{f_c'}\right)&=&\delta\left(\sum_{j=1}^N\frac{1}{f_j'}\right)\nonumber\\-\frac{\delta f_c'}{f_c'^2}&=&-\sum_{j=1}^N\frac{\delta f_j'}{f_j'^2}\nonumber\end{eqnarray}ここで、右辺の\(\sum\)の中身を考えると、（\(f_j'\)を\(f\)と簡略表記して）\begin{eqnarray}\frac{\delta f}{f^2}&=&\frac{1}{f}\frac{\delta f}{f}\nonumber\\&=&\frac{1}{f}\frac{\left(\frac{1}{f}\right)}{\left(\frac{1}{\delta f}\right)}\nonumber\\&=&\frac{1}{f}\frac{(n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}})}{\delta \left( (n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}}) \right)} \nonumber\\ &=& \frac{1}{f} \frac{n_j-1}{\delta (n_j-1)} \nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda}\frac{d}{dn_j}\left( \frac{1}{n_j-1}\right)\nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda} \left(-\frac{\frac{d}{dn_j}(n_j-1)}{(n_j-1)^2}\right) \nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda} \left( -\frac{1}{(n_j-1)^2}\right) \nonumber\\&=&\frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\frac{dn_j}{d\lambda}\nonumber\\&=& \frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\delta n_j \nonumber\end{eqnarray}よって、\(f_j'\)を\(f\)と簡略表記していたのを戻すと、右辺の\(\sum\)の中身は、\[\frac{-1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\]である。従って、色収差\(\delta f_c'\)について、以下の式が成立する。\begin{eqnarray}-\frac{\delta f_c'}{f_c'^2}&=&-\sum_{j=1}^N\frac{-1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\nonumber\\&=&\sum_{j=1}^N\frac{1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\nonumber\end{eqnarray}
\begin{array}{l}
\frac{1}{f_c'}=\frac{1}{f_1'}+\frac{1}{f_2'} \\
\frac{1}{f_1'\nu_1}+\frac{1}{f_2'\nu_2}=0
\end{array} \right.\]第２式より、\begin{eqnarray}\frac{1}{f_1'\nu_1}&=&-\frac{1}{f_2'\nu_2}\nonumber\\f_1'\nu_1{}&=&-f_2'\nu_2\nonumber\\\frac{f_1'}{f_2'}&=&-\frac{\nu_2}{\nu_1}\nonumber\end{eqnarray}となるので、これを第１式に用いると、\begin{eqnarray}\frac{1}{f_c'}&=&\frac{f_2'+f_1'}{f_1'f_2'}\nonumber\\&=&\frac{1+\frac{f_1'}{f_2'}}{f_1'}\nonumber\\&=&\frac{1-\frac{\nu_2}{\nu_1}}{f_1'}\nonumber\\f_1'&=&f_c'\left(1-\frac{\nu_2}{\nu_1}\right) \nonumber\\&=&f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_1}\right)\nonumber\end{eqnarray}第２式より、\begin{eqnarray}f_2'&=&-f_1'\frac{\nu_1}{\nu_2}\nonumber\\&=&-f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_1}\right) \frac{\nu_1}{\nu_2}\nonumber\\&=&-f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_2}\right)\nonumber\end{eqnarray}
なお、横倍率と角倍率の積は、レンズ前後の屈折率の比に等しく（p34式3.35）\[M\gamma=\frac{n_1}{n_2}\]なので、\begin{eqnarray}\gamma&=&\frac{n_1}{n_2}\frac{1}{M}\nonumber\\&=&\frac{n_1}{n_2}\left(b+a\frac{s_1}{n_1}\right)\nonumber\end{eqnarray}
p40 焦点位置
式3.52 より、\[-\frac{n_1}{a}=f_A\]なので、焦点位置は、\begin{eqnarray}s_{F1}&=&-b\frac{n_1}{a}\nonumber\\&=&-b(-f_A)\nonumber\\&=&\left( 1+\frac{n_L-n_2}{R_2} \frac{d_L}{n_L}\right) f_A \nonumber\end{eqnarray}p41 薄肉レンズのシステム行列
主点とレンズ頂点が一致する（p37図3.7 で\(V_1=H_1\)、\(V_2=H_2\)）ので、\[\left\{
\begin{array}{l}
s_{H1}=0 \\
s_{H2}=0
\end{array}
\right.
\]また、レンズは空気中にあるので、\[
\left\{
\begin{array}{l}
n_1=1 \\
n_2=1
\end{array}
\right.
\]これを式3.46\[
\left\{
\begin{array}{l}
s_{H1}=\frac{n_1(1-b)}{a} \\
s_{H2}=\frac{n_2(c-1)}{a}
\end{array}
\right.
\]に代入すると\[
\left\{
\begin{array}{l}
0=\frac{1(1-b)}{a} \\
0=\frac{1(c-1)}{a}
\end{array}
\right.
\]から、\[
\left\{
\begin{array}{l}
b=1\\
c=1
\end{array}
\right.
\]が得られる。よって、薄肉レンズのシステム行列は、\[
\vec{S_j} = \left(
\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
a_j & 1
\end{array}
\right)
\]
p42 色収差
合成系の後側焦点距離\(f_c'\)についての公式3.60\[\frac{1}{f_c'}=\sum_{j=1}^N\frac{1}{f_j'}\]の両辺を波長\(\lambda\)で微分することを考える（変数は\( \lambda \rightarrow n_j \rightarrow f'\)の入れ子構造）。逆数の微分の公式\[\delta\left(\frac{1}{f}\right)=-\frac{\delta f}{f^2}\]より、\begin{eqnarray}\delta\left(\frac{1}{f_c'}\right)&=&\delta\left(\sum_{j=1}^N\frac{1}{f_j'}\right)\nonumber\\-\frac{\delta f_c'}{f_c'^2}&=&-\sum_{j=1}^N\frac{\delta f_j'}{f_j'^2}\nonumber\end{eqnarray}ここで、右辺の\(\sum\)の中身を考えると、（\(f_j'\)を\(f\)と簡略表記して）\begin{eqnarray}\frac{\delta f}{f^2}&=&\frac{1}{f}\frac{\delta f}{f}\nonumber\\&=&\frac{1}{f}\frac{\left(\frac{1}{f}\right)}{\left(\frac{1}{\delta f}\right)}\nonumber\\&=&\frac{1}{f}\frac{(n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}})}{\delta \left( (n_j-1)(\frac{1}{R_{1j}}-\frac{1}{R_{2j}}) \right)} \nonumber\\ &=& \frac{1}{f} \frac{n_j-1}{\delta (n_j-1)} \nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda}\frac{d}{dn_j}\left( \frac{1}{n_j-1}\right)\nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda} \left(-\frac{\frac{d}{dn_j}(n_j-1)}{(n_j-1)^2}\right) \nonumber\\&=& \frac{1}{f}(n_j-1)\frac{dn_j}{d\lambda} \left( -\frac{1}{(n_j-1)^2}\right) \nonumber\\&=&\frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\frac{dn_j}{d\lambda}\nonumber\\&=& \frac{-1}{f}\frac{1}{n_j-1}\delta n_j \nonumber\end{eqnarray}よって、\(f_j'\)を\(f\)と簡略表記していたのを戻すと、右辺の\(\sum\)の中身は、\[\frac{-1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\]である。従って、色収差\(\delta f_c'\)について、以下の式が成立する。\begin{eqnarray}-\frac{\delta f_c'}{f_c'^2}&=&-\sum_{j=1}^N\frac{-1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\nonumber\\&=&\sum_{j=1}^N\frac{1}{f_j'}\frac{\delta n_j}{n_j-1}\nonumber\end{eqnarray}
p43 薄肉レンズ２枚の色消し条件
レンズ２枚であるので、\(j=1,2\)を式3.60 及び式3.63に用いると、以下の式が得られる。\[ \left\{\begin{array}{l}
\frac{1}{f_c'}=\frac{1}{f_1'}+\frac{1}{f_2'} \\
\frac{1}{f_1'\nu_1}+\frac{1}{f_2'\nu_2}=0
\end{array} \right.\]第２式より、\begin{eqnarray}\frac{1}{f_1'\nu_1}&=&-\frac{1}{f_2'\nu_2}\nonumber\\f_1'\nu_1{}&=&-f_2'\nu_2\nonumber\\\frac{f_1'}{f_2'}&=&-\frac{\nu_2}{\nu_1}\nonumber\end{eqnarray}となるので、これを第１式に用いると、\begin{eqnarray}\frac{1}{f_c'}&=&\frac{f_2'+f_1'}{f_1'f_2'}\nonumber\\&=&\frac{1+\frac{f_1'}{f_2'}}{f_1'}\nonumber\\&=&\frac{1-\frac{\nu_2}{\nu_1}}{f_1'}\nonumber\\f_1'&=&f_c'\left(1-\frac{\nu_2}{\nu_1}\right) \nonumber\\&=&f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_1}\right)\nonumber\end{eqnarray}第２式より、\begin{eqnarray}f_2'&=&-f_1'\frac{\nu_1}{\nu_2}\nonumber\\&=&-f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_1}\right) \frac{\nu_1}{\nu_2}\nonumber\\&=&-f_c'\left( \frac{\nu_1-\nu_2}{\nu_2}\right)\nonumber\end{eqnarray}