高校数学でわかるフーリエ変換―フーリエ級数からラプラス変換まで

竹内淳著「高校数学でわかるフーリエ変換―フーリエ級数からラプラス変換まで」講談社 (2009/11/20)
https://www.amazon.co.jp/dp/product/4062576570/

フーリエ変換、ラプラス変換が数式の形で理解できる良書。

正誤表
https://easyscience.webnode.jp/_files/200000067-122911323b/teisei.pdf?fbclid=IwAR3yCrzWKz5OYR9F3XZnb-FlJXyU4ph3hVcy2OtjiUHMwgx-TowXhzPtTUA

Table of Contents[hide]

• 
  
• 第１章　フーリエ級数
  • p21　三角関数の直交性
  • p21　tan θ
  • p24　cos の直交性
  • p35　フーリエ級数による方形波の近似
  • p36, 41　関数がフーリエ級数に展開できる根拠 →省略 (p46)
  • p49　フーリエ級数によるノコギリ波の近似
  • p48 末行
• 第２章　複素形式への拡張
  • p61　１行目　計算過程
  • p61　下部分の計算過程
  • p66　波動関数
  • p67　角波数、波長、波長
• 第３章　フーリエ変換への拡張
  • p93　図3.5
  • p96～97　単一方形パルスのフーリエ変換
  • p155～156　計算過程
  • p157　熱伝導関数
  • p166　ラプラス変換の定義
  • p172　表関数／裏関数
  • p176　ラプラス逆変換
• 第４章　代表的な関数のフーリエ変換
  • p105　Re と Im 座標上の立体形状
  • p107　ガウス型関数
  • p107　計算過程
  • p112　ガウシアンのフーリエ逆変換
  • p115 末行
  • p117　時間軸上の電界パルス
  • p118～119　光の波の強度
  • p138　sin のフーリエ変換
• 第５章　フーリエ変換の性質
  • p151　パーセバルの等式
• 第６章　ラプラス変換
• 第７章　ラプラス変換を用いた演算子法
  • p189　図7.1　RC直列回路
  • p191　I(s) への解法手順
  • p194　q(t) の裏関数
  • p198　部分分数展開
  • p202　I(s) の部分分数展開
  • p201　図7.4　RL直列回路（直流5V、R=100Ω、L=1H）
  • p202, 209　i(t) の裏関数
  • p212　加法定理の図的理解
  • p209　RL直列回路（交流40Hz、R=100Ω、L=1H）
• 付録
  • p214　積分を用いたテイラーの定理の導出
  • p217　tanθ の微分
  • p220　計算過程

第１章　フーリエ級数

p21　三角関数の直交性

$f(\theta )=sin\theta$ は、奇関数
$g(\theta )=sin2\theta$ は、奇関数
$h(\theta )=sin\theta \cdot sin2\theta$ は、偶関数

p21　tan θ

$g(\theta )=sin3\theta \cdot sin3\theta$は、偶関数

p24　cos の直交性

http://www.maroon.dti.ne.jp/koten-kairo/works/fft/intro6.html?fbclid=IwAR3EyiRFICfTsZt3IW1XMpTvwjoHhT6Rs3eXHrInzNW8H8hbfcKmwBZQV5Q（古典回路屋）

p35　フーリエ級数による方形波の近似

$$f(\theta )=\frac{4}{\pi }(sin\theta +\frac{1}{3}sin3\theta +\frac{1}{5}sin5\theta +\frac{1}{7}sin7\theta +\frac{1}{9}sin9\theta )$$

p36, 41　関数がフーリエ級数に展開できる根拠 →省略 (p46)

p49　フーリエ級数によるノコギリ波の近似

$$f(\theta )=\sum _{n=1}^5(-1{)}^{n+1}\frac{2}{n}sinn\theta$$

p48 末行

$a_n=0$ であり、$a_0=0$

第２章　複素形式への拡張

p61　１行目　計算過程

$$\begin{array}{rcl}& =& \frac{d}{d\theta }cosa\theta \\ & =& \frac{d}{d(a\theta )}cos(a\theta )\times \frac{d}{d\theta }a\theta \\ & =& -sina\theta \times a\\ & =& -asina\theta \end{array}$$

p61　下部分の計算過程

$$\begin{array}{rcl}& =& \frac{d}{d\theta }{e}^{a\theta }\\ & =& \frac{d}{d(a\theta )}{e}^{a\theta }\times \frac{d}{d\theta }a\theta \\ & =& e^{a\theta }\times a\\ & =& a{e}^{a\theta }\end{array}$$

p66　波動関数

$$\begin{array}{rcl}{e}^{ik}& =& Re[e^{ik}]+Im[e^{ik}]\\ & =& \overrightarrow{cosk}+\overrightarrow{sink}\end{array}$$

$$\overrightarrow{cos5x}+\overrightarrow{sin5x}$$

p67　角波数、波長、波長

角波数 $k$は、波長を $\lambda$として、
$$k=\frac{2\pi }{\lambda }$$
光学では、波数 $\nu$は、単位長さあたりの波の数なので、
$$\nu =\frac{1}{\lambda }$$

第３章　フーリエ変換への拡張

p93　図3.5

$$c_n=\frac{1}{n\pi }sin\frac{n\pi }{2m}$$

p96～97　単一方形パルスのフーリエ変換

説明logic は、これで良いか。

第４章　代表的な関数のフーリエ変換

p105　Re と Im 座標上の立体形状

$$\begin{array}{rcl}Re[F(k)]& =& \frac{2}{2^2+k^2}\\ Im[F(k)]& =& \frac{-k}{2^2+k^2}\end{array}$$

p107　ガウス型関数

$$y=e^{-a{x}^2}$$

p107　計算過程

$$\begin{array}{rcl}ln1& =& t\\ lo{g}_{e}1& =& t\\ 1& =& e^t\\ t& =& 0\end{array}$$
よって、$ln1=0$

p112　ガウシアンのフーリエ逆変換

ガウシアン $e^{-b{\omega }^2}$ のフーリエ逆変換　（未証明）

$$\begin{array}{rcl}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-b{\omega }^2}{e}^{i\omega t}d\omega & =& \\ & =& \frac{1}{\sqrt{2b}}{e}^{-\frac{t^2}{4b}}\end{array}$$

p115 末行

実数部分（Re）が計算から除外されている

p117　時間軸上の電界パルス

$$h(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{-\frac{{\pi }^2{\theta }^2}{2}}sin(-50\theta )$$

包絡線$$f(\theta )=\sqrt{\frac{\pi }{2}}{e}^{-\frac{{\pi }^2{\theta }^2}{2}}$$搬送波$$g(\theta )=sin(-50\theta )$$

p118～119　光の波の強度

光の波の強度$I$は、単位断面積を単位時間に通過するエネルギーとして、光の電場を$\overrightarrow{E}$、磁場を$\overrightarrow{H}$とすると、$\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}$の時間平均で与えられるから、$Z$をインピーダンスとすると、
$$\begin{array}{rcl}I& =& <\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}>\\ & =& \frac{|\overrightarrow{E}{|}^2}{Z}\end{array}$$となる。

p138　sin のフーリエ変換

$$\begin{array}{r}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}sinbx{e}^{-ikx}dx\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{ibx}-e^{-ibx}}{2i}{e}^{-ikx}dx\\ & =& \frac{1}{2i\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(e^{ibx}-e^{-ibx})e^{-ikx}dx\\ & =& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(e^{i(b-k)x}-e^{i(-b-k)x})dx\\ & =& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(b-k)x}dx-\frac{-i}{2\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(-b-k)x}dx\\ & =& -i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(b-k)x}dx+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(-b-k)x}dx\end{array}$$
ここで、デルタ関数について、$$\delta (k-b)=\delta (b-k)$$及び$$\delta (b-k)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i(b-k)x}dx$$
が成立するから、与式は、
$$\begin{array}{rcl}& =& -i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (b-k)+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (-b-k)\\ & =& -i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (k-b)+i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\delta (k+b)\\ & =& i\sqrt{\frac{\pi }{2}}\{\delta (k+b)-\delta (k-b)\}\end{array}$$

第５章　フーリエ変換の性質

p151　パーセバルの等式

　（未証明）

p155～156　計算過程

$$\frac{\partial }{\partial t}H(k,t)=-a{k}^2\times H(k,t)$$をp111～112と同様の要領で変数分離して解く。左辺に$H(k,t)$を集め、 $$\frac{1}{H(k,t)}\frac{\partial }{\partial t}H(k,t)=-a{k}^2$$の両辺を$t$で積分すると、 
$$\begin{array}{rcl}\int \frac{1}{H(k,t)}\frac{\partial }{\partial t}H(k,t)\partial t& =& \int -a{k}^2\partial t\\ \int \frac{1}{H(k,t)}\partial H(k,t)& =& \int -a{k}^2\partial t\\ {\log }_{e}H(k,t)+C_1& =& -a{k}^{2}t+C_2\\ {\log }_{e}H(k,t)& =& -a{k}^{2}t+C_2-C_1\end{array}$$対数を外して指数関数に書き換えると、
$$\begin{array}{rcl}H(k,t)& =& e^{-a{k}^{2}t+C_2-C_1}\\ H(k,t)& =& e^{-a{k}^{2}t}{e}^{C_2-C_1}\\ H(k,t)& =& C{e}^{-a{k}^{2}t}\end{array}$$
$C_1,C_2,C$ は定数であり、$C=1$の例が、$$H(k,t)=e^{-a{k}^{2}t}$$ であり、$C=H(k,0)$の例が、$$H(k,t)=H(k,0)e^{-a{k}^{2}t}$$

p157　熱伝導関数

熱伝導関数$h(u,t)$$$h(u,t)=\frac{15}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{\sqrt{2\times 2t}}{e}^{-\frac{u^2}{4\times 2t}}$$

  

第６章　ラプラス変換

p166　ラプラス変換の定義

ラプラス変換の定義$$\begin{array}{rcl}L[f(t)]& =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-st}dt\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-(\alpha +i\beta )t}dt\\ & \equiv & F(s)\end{array}$$
p170 中
$$\frac{\omega }{s}\int \cos \dots$$

は、正しくは、定積分であり、
$$\frac{\omega }{s}{\int }_0^{\infty }\cos \dots$$

p172　表関数／裏関数

表関数$t^n$の裏関数$\frac{n!}{s^{n+1}}$

cos ωt のラプラス変換$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/Laplace-henkan/henkan-tex.cgi?target=%2Fmath%2Fcategory%2Fbibun%2FLaplace-henkan%2Flaplace_henkan_sankakukannsuu.html&fbclid=IwAR3EyiRFICfTsZt3IW1XMpTvwjoHhT6Rs3eXHrInzNW8H8hbfcKmwBZQV5Q
（KIT数学ナビゲーション） 
$$L[sin\omega t]=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
$$L[cos\omega t]=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$

p176　ラプラス逆変換

　（未証明）

第７章　ラプラス変換を用いた演算子法

p189　図7.1　RC直列回路

http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.html
でのシミュレーション結果（直流5V、C=150 μF、R=100Ω）
緑波形…コンデンサ電位差
黄波形…コンデンサ電流

p191　I(s) への解法手順

      

p194　q(t) の裏関数

q(t) の裏関数を Q(s) とする

p198　部分分数展開

p202　I(s) の部分分数展開

p201　図7.4　RL直列回路（直流5V、R=100Ω、L=1H）

p202, 209　i(t) の裏関数

i(t) の裏関数を I(s) とする

p212　加法定理の図的理解

http://fnorio.com/0075trigonometric_function1/trigonometric_function1.htm
　（FNの高校物理）

p209　RL直列回路（交流40Hz、R=100Ω、L=1H）

付録

p214　積分を用いたテイラーの定理の導出

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=%2Fmath%2Fcategory%2Fsuuretu%2Fsuuretu%2Ftaylor-teiri2.html&fbclid=IwAR2fAvVMTL51eJUdDJ-7lYFVPDi2CytPUrO7LSqXuM_MYjFExTX0Kj7i6P0
（KIT数学ナビゲーション）

p217　tanθ の微分

p220　計算過程

$e^{-a{r}^2}r$ の積分