高校数学でわかるフーリエ変換―フーリエ級数からラプラス変換まで
竹内淳著「高校数学でわかるフーリエ変換―フーリエ級数からラプラス変換まで」講談社 (2009/11/20)
https://www.amazon.co.jp/dp/product/4062576570/
フーリエ変換、ラプラス変換が数式の形で理解できる良書。
正誤表
https://easyscience.webnode.jp/_files/200000067-122911323b/teisei.pdf?fbclid=IwAR3yCrzWKz5OYR9F3XZnb-FlJXyU4ph3hVcy2OtjiUHMwgx-TowXhzPtTUA
\(g(\theta)=sin2\theta\) は、奇関数
\(h(\theta)=sin\theta \cdot sin2\theta\) は、偶関数
&=&\frac{d}{d\theta}cos~a\theta \nonumber \\
&=&\frac{d}{d(a\theta)}cos~(a\theta)\times \frac{d}{d\theta}a\theta \nonumber\\
&=&-sin~a\theta\times a \nonumber \\
&=&-a~sin~a\theta \nonumber
\end{eqnarray}
&=&\frac{d}{d\theta}e^{a\theta} \nonumber \\
&=&\frac{d}{d(a\theta)}e^{a\theta}\times\frac{d}{d\theta}a\theta \nonumber\\
&=&e^{a\theta}\times~a\nonumber\\
&=&ae^{a\theta} \nonumber
\end{eqnarray}
e^{ik}&=&Re[e^{ik}]+Im[e^{ik}] \nonumber \\
&=&\overrightarrow{cos~k}+\overrightarrow{sin~k} \nonumber
\end{eqnarray}
\[
\overrightarrow{cos~5x}+\overrightarrow{sin~5x}
\]
\[
k = \frac{2\pi}{\lambda}
\]
光学では、波数 \(\nu\)は、単位長さあたりの波の数なので、
\[
\nu = \frac{1}{\lambda}
\]
c_n = \frac{1}{n\pi}sin\frac{n\pi}{2m}
\]
\begin{eqnarray}
\int\frac{1}{H(k,t)}\frac{∂}{∂t}H(k,t)∂t&=&\int-ak^2∂t \nonumber\\
\int\frac{1}{H(k,t)}∂~H(k,t)&=&\int-ak^2∂t \nonumber\\
\log_eH(k,t)+C_1&=& -ak^2~t+C_2 \nonumber\\
\log_eH(k,t)&=& -ak^2~t+C_2-C_1 \nonumber
\end{eqnarray}対数を外して指数関数に書き換えると、
\begin{eqnarray}
H(k,t)&=& e^{-ak^2~t+C_2-C_1} \nonumber\\
H(k,t)&=& e^{-ak^2~t} e^{C_2-C_1} \nonumber\\
H(k,t)&=& C e^{-ak^2~t} \nonumber
\end{eqnarray}
\(C_1, C_2, C\) は定数であり、\(C=1\)の例が、\[H(k,t)=e^{-ak^2~t}\] であり、\(C=H(k,0)\)の例が、\[H(k,t)=H(k,0)~e^{-ak^2~t}\]
https://www.amazon.co.jp/dp/product/4062576570/
フーリエ変換、ラプラス変換が数式の形で理解できる良書。
正誤表
https://easyscience.webnode.jp/_files/200000067-122911323b/teisei.pdf?fbclid=IwAR3yCrzWKz5OYR9F3XZnb-FlJXyU4ph3hVcy2OtjiUHMwgx-TowXhzPtTUA
第１章 フーリエ級数
p21 三角関数の直交性
\(f(\theta)=sin\theta\) は、奇関数\(g(\theta)=sin2\theta\) は、奇関数
\(h(\theta)=sin\theta \cdot sin2\theta\) は、偶関数
p21 tan θ
\(g(\theta)=sin3\theta \cdot sin3\theta\)は、偶関数
p24 cos の直交性
http://www.maroon.dti.ne.jp/koten-kairo/works/fft/intro6.html?fbclid=IwAR3EyiRFICfTsZt3IW1XMpTvwjoHhT6Rs3eXHrInzNW8H8hbfcKmwBZQV5Q（古典回路屋）p35 フーリエ級数による方形波の近似
\[f(\theta)=\frac{4}{\pi}\left(sin\theta+\frac{1}{3}sin3\theta+\frac{1}{5}sin5\theta+\frac{1}{7}sin7\theta+\frac{1}{9}sin9\theta\right)\]p36, 41 関数がフーリエ級数に展開できる根拠 →省略 (p46)
p49 フーリエ級数によるノコギリ波の近似
\[f(\theta)=\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1}\frac{2}{n}sin~n\theta\]p48 末行
\(a_n=0\) であり、\(a_0=0\)第２章 複素形式への拡張
p61 １行目 計算過程
\begin{eqnarray}&=&\frac{d}{d\theta}cos~a\theta \nonumber \\
&=&\frac{d}{d(a\theta)}cos~(a\theta)\times \frac{d}{d\theta}a\theta \nonumber\\
&=&-sin~a\theta\times a \nonumber \\
&=&-a~sin~a\theta \nonumber
\end{eqnarray}
p61 下部分の計算過程
\begin{eqnarray}&=&\frac{d}{d\theta}e^{a\theta} \nonumber \\
&=&\frac{d}{d(a\theta)}e^{a\theta}\times\frac{d}{d\theta}a\theta \nonumber\\
&=&e^{a\theta}\times~a\nonumber\\
&=&ae^{a\theta} \nonumber
\end{eqnarray}
p66 波動関数
\begin{eqnarray}e^{ik}&=&Re[e^{ik}]+Im[e^{ik}] \nonumber \\
&=&\overrightarrow{cos~k}+\overrightarrow{sin~k} \nonumber
\end{eqnarray}
\[
\overrightarrow{cos~5x}+\overrightarrow{sin~5x}
\]
p67 角波数、波長、波長
角波数 \(k\)は、波長を \(\lambda\)として、\[
k = \frac{2\pi}{\lambda}
\]
光学では、波数 \(\nu\)は、単位長さあたりの波の数なので、
\[
\nu = \frac{1}{\lambda}
\]
第３章 フーリエ変換への拡張
p93 図3.5
\[c_n = \frac{1}{n\pi}sin\frac{n\pi}{2m}
\]
p96～97 単一方形パルスのフーリエ変換
説明logic は、これで良いか。
Re[F(k)]&=&\frac{2}{2^2+k^2} \nonumber \\
Im[F(k)]&=&\frac{-k}{2^2+k^2} \nonumber
\end{eqnarray}
ln~1&=& t \nonumber \\
log_e~1 &=& t \nonumber\\
1&=& e^t \nonumber\\
t&=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
よって、\(ln1=0\)
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-bω^2}~e^{i\omega t}d\omega &=& \nonumber \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2b}}e^{-\frac{t^2}{4b}} \nonumber
\end{eqnarray}
包絡線\[f(\theta)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{\pi^2\theta^2}{2}}\]搬送波\[g(\theta)=sin(-50\theta)\]
\begin{eqnarray}I&=&<\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}>\nonumber\\ &=&\frac{ |\overrightarrow{E}|^2}{Z} \nonumber\end{eqnarray}となる。
&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ibx}-e^{-ibx}}{2i}~e^{-ikx}dx \nonumber\\
&=& \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (e^{ibx}-e^{-ibx})~e^{-ikx}dx\nonumber\\
&=& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (e^{i(b-k)x}-e^{i(-b-k)x})dx \nonumber\\
&=& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(b-k)x}dx- \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(-b-k)x}dx\nonumber\\
&=& -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(b-k)x}dx+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(-b-k)x}dx\nonumber\end{eqnarray}
ここで、デルタ関数について、\[\delta(k-b)=\delta(b-k)\]及び\[\delta(b-k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(b-k)x}dx\]
が成立するから、与式は、
\begin{eqnarray}&=&-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(b-k)+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(-b-k)\nonumber\\
&=&-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(k-b)+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(k+b)\nonumber\\
&=&i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\bigl\{\delta(k+b)-\delta(k-b)\bigr\}\nonumber\end{eqnarray}
第４章 代表的な関数のフーリエ変換
p105 Re と Im 座標上の立体形状
\begin{eqnarray}Re[F(k)]&=&\frac{2}{2^2+k^2} \nonumber \\
Im[F(k)]&=&\frac{-k}{2^2+k^2} \nonumber
\end{eqnarray}
p107 ガウス型関数
\[y=e^{-ax^2}\]
p107 計算過程
\begin{eqnarray}ln~1&=& t \nonumber \\
log_e~1 &=& t \nonumber\\
1&=& e^t \nonumber\\
t&=& 0 \nonumber
\end{eqnarray}
よって、\(ln1=0\)
p112 ガウシアンのフーリエ逆変換
ガウシアン \(e^{-bω^2}\) のフーリエ逆変換 （未証明）\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-bω^2}~e^{i\omega t}d\omega &=& \nonumber \\
&=& \frac{1}{\sqrt{2b}}e^{-\frac{t^2}{4b}} \nonumber
\end{eqnarray}
p115 末行
実数部分（Re）が計算から除外されているp117 時間軸上の電界パルス
\[h(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{\pi^2\theta^2}{2}}sin(-50\theta)\]包絡線\[f(\theta)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}e^{-\frac{\pi^2\theta^2}{2}}\]搬送波\[g(\theta)=sin(-50\theta)\]
p118～119 光の波の強度
光の波の強度\(I\)は、単位断面積を単位時間に通過するエネルギーとして、光の電場を\(\overrightarrow{E}\)、磁場を\(\overrightarrow{H}\)とすると、\(\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}\)の時間平均で与えられるから、\(Z\)をインピーダンスとすると、\begin{eqnarray}I&=&<\overrightarrow{E}\times \overrightarrow{H}>\nonumber\\ &=&\frac{ |\overrightarrow{E}|^2}{Z} \nonumber\end{eqnarray}となる。
p138 sin のフーリエ変換
\begin{eqnarray}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty sin~bx~e^{-ikx}dx \nonumber\\&=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{ibx}-e^{-ibx}}{2i}~e^{-ikx}dx \nonumber\\
&=& \frac{1}{2i\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (e^{ibx}-e^{-ibx})~e^{-ikx}dx\nonumber\\
&=& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty (e^{i(b-k)x}-e^{i(-b-k)x})dx \nonumber\\
&=& \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(b-k)x}dx- \frac{-i}{2\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(-b-k)x}dx\nonumber\\
&=& -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(b-k)x}dx+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty~e^{i(-b-k)x}dx\nonumber\end{eqnarray}
ここで、デルタ関数について、\[\delta(k-b)=\delta(b-k)\]及び\[\delta(b-k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(b-k)x}dx\]
が成立するから、与式は、
\begin{eqnarray}&=&-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(b-k)+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(-b-k)\nonumber\\
&=&-i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(k-b)+i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\delta(k+b)\nonumber\\
&=&i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\bigl\{\delta(k+b)-\delta(k-b)\bigr\}\nonumber\end{eqnarray}
第５章 フーリエ変換の性質
p151 パーセバルの等式
（未証明）
p155～156 計算過程
\[\frac{∂}{∂t}H(k,t)=-ak^2×H(k,t)\]をp111～112と同様の要領で変数分離して解く。左辺に\(H(k,t)\)を集め、 \[\frac{1}{H(k,t)}\frac{∂}{∂t}H(k,t)=-ak^2\]の両辺を\(t\)で積分すると、\begin{eqnarray}
\int\frac{1}{H(k,t)}\frac{∂}{∂t}H(k,t)∂t&=&\int-ak^2∂t \nonumber\\
\int\frac{1}{H(k,t)}∂~H(k,t)&=&\int-ak^2∂t \nonumber\\
\log_eH(k,t)+C_1&=& -ak^2~t+C_2 \nonumber\\
\log_eH(k,t)&=& -ak^2~t+C_2-C_1 \nonumber
\end{eqnarray}対数を外して指数関数に書き換えると、
\begin{eqnarray}
H(k,t)&=& e^{-ak^2~t+C_2-C_1} \nonumber\\
H(k,t)&=& e^{-ak^2~t} e^{C_2-C_1} \nonumber\\
H(k,t)&=& C e^{-ak^2~t} \nonumber
\end{eqnarray}
\(C_1, C_2, C\) は定数であり、\(C=1\)の例が、\[H(k,t)=e^{-ak^2~t}\] であり、\(C=H(k,0)\)の例が、\[H(k,t)=H(k,0)~e^{-ak^2~t}\]
p157 熱伝導関数
熱伝導関数\(h(u,t)\)\[h(u,t)=\frac{15}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\times 2t}}e^{-\frac{u^2}{4\times 2t}}\]
第６章 ラプラス変換
p166 ラプラス変換の定義
ラプラス変換の定義\begin{eqnarray}L[f(t)] &=& \int_0^{\infty} f(t)~e^{-st} dt \nonumber \\ &=& \int_0^{\infty} f(t)~e^{-(\alpha +i \beta)t} dt \nonumber \\ &\equiv & F(s) \nonumber\end{eqnarray}
p170 中
\[\frac{ω}{s}\int\cos …\]
は、正しくは、定積分であり、
\[\frac{ω}{s}\int_0^∞\cos …\]
cos ωt のラプラス変換\(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/Laplace-henkan/henkan-tex.cgi?target=%2Fmath%2Fcategory%2Fbibun%2FLaplace-henkan%2Flaplace_henkan_sankakukannsuu.html&fbclid=IwAR3EyiRFICfTsZt3IW1XMpTvwjoHhT6Rs3eXHrInzNW8H8hbfcKmwBZQV5Q
（KIT数学ナビゲーション）
\[ L[sin~\omega t] =\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\]
\[ L[cos~\omega t] =\frac{s}{s^2+\omega^2}\]
p170 中
\[\frac{ω}{s}\int\cos …\]
は、正しくは、定積分であり、
\[\frac{ω}{s}\int_0^∞\cos …\]
p172 表関数／裏関数
表関数\(t^n\)の裏関数\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)
cos ωt のラプラス変換\(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/Laplace-henkan/henkan-tex.cgi?target=%2Fmath%2Fcategory%2Fbibun%2FLaplace-henkan%2Flaplace_henkan_sankakukannsuu.html&fbclid=IwAR3EyiRFICfTsZt3IW1XMpTvwjoHhT6Rs3eXHrInzNW8H8hbfcKmwBZQV5Q
（KIT数学ナビゲーション）
\[ L[sin~\omega t] =\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\]
\[ L[cos~\omega t] =\frac{s}{s^2+\omega^2}\]
p176 ラプラス逆変換
（未証明）
でのシミュレーション結果（直流5V、C=150 μF、R=100Ω）
緑波形…コンデンサ電位差
黄波形…コンデンサ電流
（FNの高校物理）
（KIT数学ナビゲーション）
第７章 ラプラス変換を用いた演算子法
p189 図7.1 RC直列回路
http://www.falstad.com/circuit/circuitjs.htmlでのシミュレーション結果（直流5V、C=150 μF、R=100Ω）
緑波形…コンデンサ電位差
黄波形…コンデンサ電流
p191 I(s) への解法手順
p194 q(t) の裏関数
q(t) の裏関数を Q(s) とするp198 部分分数展開
p202 I(s) の部分分数展開
p201 図7.4 RL直列回路（直流5V、R=100Ω、L=1H）
p202, 209 i(t) の裏関数
i(t) の裏関数を I(s) とするp212 加法定理の図的理解
http://fnorio.com/0075trigonometric_function1/trigonometric_function1.htm（FNの高校物理）
p209 RL直列回路（交流40Hz、R=100Ω、L=1H）
付録
p214 積分を用いたテイラーの定理の導出
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suuretu/suuretu/henkan-tex.cgi?target=%2Fmath%2Fcategory%2Fsuuretu%2Fsuuretu%2Ftaylor-teiri2.html&fbclid=IwAR2fAvVMTL51eJUdDJ-7lYFVPDi2CytPUrO7LSqXuM_MYjFExTX0Kj7i6P0（KIT数学ナビゲーション）
p217 tanθ の微分
p220 計算過程
\(e^{-ar^2}r\) の積分