理系のための 微分・積分復習帳 高校の微積分からテイラー展開まで
竹内淳著「理系のための 微分・積分復習帳 高校の微積分からテイラー展開まで」講談社 (2017/12/14)
www.amazon.co.jp/dp/4065020433
式の展開説明が丁寧で分かりやすい本。
以下、読後用メモ(行間補充)
原関数、一階微分、二階微分、三階微分、四階微分…を\(t\) 表記で示すと、\begin{eqnarray}
f(x)&=&a+ bt+ct^2+dt^3+et^4+\cdots\nonumber\\
f'(x)&=&0+b+2ct+3dt^2+4et^3+\cdots\nonumber\\
f''(x)&=&0+0+2c+6dt+12et^2+\cdot\nonumber\\
f'''(x)&=&0+0+0+6d+24et+\cdots\nonumber\\
f'''(x)&=&0+0+0+0+24e+\cdots\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}これに、\[x=x_0\]すなわち\begin{eqnarray}x-x_0&=&0\nonumber\\&=&t\nonumber\end{eqnarray}を代入すると、\begin{eqnarray}
f(x_0)&=&a\nonumber\\
f'(x_0)&=&b\nonumber\\
f''(x_0)&=&2c\nonumber\\
f'''(x_0)&=&6d\nonumber\\
f'''(x_0)&=&24e\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}すなわち、\begin{eqnarray}
f(x_0)&=&a\nonumber\\
f'(x_0)&=&1b\nonumber\\
f''(x_0)&=&1\cdot 2c\nonumber\\
f'''(x_0)&=&1\cdot 2\cdot 3d\nonumber\\
f'''(x_0)&=&1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 e\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}となり、各係数\(a, b, c, d, e, \cdots \) が\begin{eqnarray}
a&=&\frac{1}{0!}f(x_0)\nonumber\\
b&=&\frac{1}{1!}f'(x_0)\nonumber\\
c&=&\frac{1}{2!}f''(x_0)\nonumber\\
d&=&\frac{1}{3!}f'''(x_0)\nonumber\\
e&=&\frac{1}{4!}f''''(x_0)\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}の形で求められるので、冒頭の\(f(x)\) は、\begin{split}f(x)=&\frac{1}{0!}f(x_0)+\\
&\frac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0)+\\
&\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\\
&\frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3+\\
&\frac{1}{4!}f''''(x_0)(x-x_0)^4+\\
&\qquad\vdots\\
&\frac{1}{n!}f^n(x_0)(x-x_0)^n\end{split}と表現することができる(式7-3)。
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式の展開説明が丁寧で分かりやすい本。
以下、読後用メモ(行間補充)
第1章 微分とはなんだろう
41頁 二項定理
第2章 関数の微分のルール
第3章 指数と対数
83頁 対数表示
電力比\(\frac{P_2}{P_1}\)の対数表示
ベル\([B]\)とデシベル\([dB]\)は、\[1~[B]=10~[dB]\]の関係にあるので、電力比\(\frac{P_2}{P_1}\)を対数基準で表示すると、\begin{eqnarray}L&=&\log_{10}\frac{P_2}{P_1}~~~~~~~[B]\nonumber\\&=&10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}~~~[dB]\nonumber\end{eqnarray}ここで、電力\(P\)と電圧\(V\)と抵抗値\(R\)間には、\[P=\frac{V^2}{R}\]の関係があるから、上記式に代入すると、\begin{eqnarray}L&=&10\log_{10}\frac{\left( \frac{V_2^2}{R}\right)}{\left(\frac{V_1^2}{R} \right)}\nonumber\\&=&10\log_{10}\frac{V_2^2}{V_1^2}\nonumber\\&=&10\log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2\nonumber\\&=&10\times 2\log_{10}\frac{V_2}{V_1}\nonumber\\&=&20\log_{10}\frac{V_2}{V_1}~~~[dB]\nonumber\end{eqnarray}
ベル\([B]\)とデシベル\([dB]\)は、\[1~[B]=10~[dB]\]の関係にあるので、電力比\(\frac{P_2}{P_1}\)を対数基準で表示すると、\begin{eqnarray}L&=&\log_{10}\frac{P_2}{P_1}~~~~~~~[B]\nonumber\\&=&10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}~~~[dB]\nonumber\end{eqnarray}ここで、電力\(P\)と電圧\(V\)と抵抗値\(R\)間には、\[P=\frac{V^2}{R}\]の関係があるから、上記式に代入すると、\begin{eqnarray}L&=&10\log_{10}\frac{\left( \frac{V_2^2}{R}\right)}{\left(\frac{V_1^2}{R} \right)}\nonumber\\&=&10\log_{10}\frac{V_2^2}{V_1^2}\nonumber\\&=&10\log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^2\nonumber\\&=&10\times 2\log_{10}\frac{V_2}{V_1}\nonumber\\&=&20\log_{10}\frac{V_2}{V_1}~~~[dB]\nonumber\end{eqnarray}
第4章 三角関数
96頁 sin(x) の微分
https://mathtrain.jp/sinxbibun (高校数学の美しい物語)96頁 cos(x) の微分
https://mathtrain.jp/cosxbibun (高校数学の美しい物語)第5章 積分は微分の逆
第6章 積分の公式(置換積分と部分積分)
155頁 e の微分
\begin{eqnarray}\frac{d}{dr}e^{-ar^2}&=&\frac{d}{dr}(-ar^2)\times \frac{d}{d(-ar^2)}e^{-ar^2}\nonumber\\&=&-2ar\times e^{-ar^2}\nonumber\end{eqnarray}第7章 大学につながる数学
173頁 テイラー展開
\[f(x)=a+b(x-x_0)+c(x-x_0)^2+d(x-x_0)^3+e(x-x_0)^4+\dots\]の\(x\)による微分を考える。\[x-x_0=t\]とおくと、\[f(x)=a+bt+ct^2+dt^3+et^4+\dots\]となるので、\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}f(x)&=&\frac{d}{dx}t\times \frac{d}{dt}\left( a+bt+ct^2+dt^3+et^4+\dots\right)\nonumber\\&=&\frac{d}{dx}(x-x_0)\times \left( 0+b+2ct+3dt^2+4et^3+\dots\right)\nonumber\\&=&1\times \left(b+2ct+3dt^2+4et^3+\dots\right)\nonumber\\&=&b+2c(x-x_0)+3d(x-x_0)^2+4e(x-x_0)^3+\cdots\nonumber\end{eqnarray}となる。これに、\[x=x_0\]を代入すると、\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}f(x_0)&=&b+2c\times 0+3d\times 0 + 4e\times 0+ \dots\nonumber\\&=&b\nonumber\end{eqnarray}となるので、係数\(b\) が\(f(x)\)の一階微分に\(x_0\)を代入した \(f'(x_0)\) で表されることがわかる。原関数、一階微分、二階微分、三階微分、四階微分…を\(t\) 表記で示すと、\begin{eqnarray}
f(x)&=&a+ bt+ct^2+dt^3+et^4+\cdots\nonumber\\
f'(x)&=&0+b+2ct+3dt^2+4et^3+\cdots\nonumber\\
f''(x)&=&0+0+2c+6dt+12et^2+\cdot\nonumber\\
f'''(x)&=&0+0+0+6d+24et+\cdots\nonumber\\
f'''(x)&=&0+0+0+0+24e+\cdots\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}これに、\[x=x_0\]すなわち\begin{eqnarray}x-x_0&=&0\nonumber\\&=&t\nonumber\end{eqnarray}を代入すると、\begin{eqnarray}
f(x_0)&=&a\nonumber\\
f'(x_0)&=&b\nonumber\\
f''(x_0)&=&2c\nonumber\\
f'''(x_0)&=&6d\nonumber\\
f'''(x_0)&=&24e\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}すなわち、\begin{eqnarray}
f(x_0)&=&a\nonumber\\
f'(x_0)&=&1b\nonumber\\
f''(x_0)&=&1\cdot 2c\nonumber\\
f'''(x_0)&=&1\cdot 2\cdot 3d\nonumber\\
f'''(x_0)&=&1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4 e\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}となり、各係数\(a, b, c, d, e, \cdots \) が\begin{eqnarray}
a&=&\frac{1}{0!}f(x_0)\nonumber\\
b&=&\frac{1}{1!}f'(x_0)\nonumber\\
c&=&\frac{1}{2!}f''(x_0)\nonumber\\
d&=&\frac{1}{3!}f'''(x_0)\nonumber\\
e&=&\frac{1}{4!}f''''(x_0)\nonumber\\
&\vdots&\nonumber\end{eqnarray}の形で求められるので、冒頭の\(f(x)\) は、\begin{split}f(x)=&\frac{1}{0!}f(x_0)+\\
&\frac{1}{1!}f'(x_0)(x-x_0)+\\
&\frac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+\\
&\frac{1}{3!}f'''(x_0)(x-x_0)^3+\\
&\frac{1}{4!}f''''(x_0)(x-x_0)^4+\\
&\qquad\vdots\\
&\frac{1}{n!}f^n(x_0)(x-x_0)^n\end{split}と表現することができる(式7-3)。