増補版 金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式
石村 貞夫・石村 園子著「増補版 金融・証券のためのブラック・ショールズ微分方程式」東京図書 (2008/9/6)
https://www.amazon.co.jp/dp/product/4489020406/
テイラー級数展開、フーリエ解析、偏微分方程式の解法、 Wiener 過程、Random Walk、伊藤過程、伊藤のレンマ、Black–Scholes 偏微分方程式の導出・解法、Call Option の公式、連続複利、リスク中立評価法、満期日株価の自然対数 \(log S_T\) の確率密度関数等を扱う。
以下、読後の備忘録・行間補充メモ。
二変数関数のテイラー展開の意味と具体例
https://mathtrain.jp/multitaylor
ランダムウォークに従う \(Z\) の差分\(\Delta Z\) は、\[\Delta Z \sim N(0, \Delta t)\]を充たすところ、これを、標準正規分布に従う\(\varepsilon\) の式表現、\begin{eqnarray}\varepsilon &\sim & N(0,1)\nonumber\\
\Longrightarrow \sqrt{\Delta t}~\varepsilon &\sim & N(0, \Delta t)\nonumber\end{eqnarray}と比較すると、\begin{eqnarray}\Delta Z&=&\sqrt{\Delta t}~\varepsilon\nonumber\\&=&\varepsilon \sqrt{\Delta t}\nonumber\end{eqnarray} が得られる。
伊藤過程に従う株価を\(S\)とすると、\begin{eqnarray}dS&=&\mu S~dt+\sigma S~dZ\nonumber\\
\frac{\partial f}{\partial S}dS&=&\frac{\partial f}{\partial S}\mu S~dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S~dZ\nonumber\end{eqnarray}
株価\(S\)の派生証券の価格を\(f(S,t)\) とすると、伊藤のレンマより、\[df=\left\{ \frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2\right\}dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S~dZ\]第１式から第２式を引くと、\[\frac{\partial f}{\partial S}dS-df=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]この左辺は、ポートフォリオ\(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\) の微小増加分を表す。つまり、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]である。同式を観察すると、右辺には正規分布に従う揺らぎ部分 \(dZ\) が含まれていない以上、右辺は揺らぎのない確定値であり、等号で結ばれた左辺もまた揺らぎのない確定値と言える。
ここで、その左辺 \(d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\) と、ポートフォリオ\(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\) 相当額に利子率 \(r\) と微小時間 \(dt\) を乗じたものとを比較してみる。仮に、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)>r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]の場合は、利子率 \(r\) で資金 \(\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\) を借り入れて、ポートフォリオ（現物株を\(\frac{\partial f}{\partial S}\) 単位だけ買い、派生証券 \(f\) を１単位売る）を買えば、必ず差額分の利益がでることになるし、逆に、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)<r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]の場合は、同ポートフォリオを空売りして、利子率 \(r\) で資金を貸し付けておけば、必ず差額分の利益がでることになる。このようなリスクのない利益確保を続けられる環境（すなわち、\(>\) または \(<\) の状態）は競争の激しい市場では永続しないと考えられ、むしろ、両者に差が生じない状況、すなわち、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)=r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]が、実際には現れる筈である。よって、与式の左辺 \[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\] について、\[r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\] へと置き換えた以下の式が得られる。\[r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]これを変形すると、\begin{eqnarray}r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)&=&-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \nonumber\\
r\frac{\partial f}{\partial S}S-rf&=&-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \nonumber\\
rf&=&\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2+r\frac{\partial f}{\partial S}S\nonumber\end{eqnarray}となり、p152のBS微分方程式が得られた。
株価\(S\)の派生証券がコールオプション（権利行使価格が\(X\)）である場合に、同コールオプションの価格を\(f(S,t)\)として、BS微分方程式を\(f(S,t)\) について解くと、以下のようになる。\[f(S,t)=S~N\left(\frac{u}{\sigma \sqrt{x}}+\sigma \sqrt{x}\right) -Xe^{-rx}~N\left(\frac{u}{\sigma \sqrt{x}}\right)\]ただし、
\(S\) を「現在の株価」としているが、実測値（定数）とする趣旨か。\(S\) は、伊藤過程で変数と扱われており（p146等）、BS微分方程式でも変数\(S\) での偏微分を考えている。
p160 \(f(S,t)=e^{-r(T-t)}\cdot y(u,x)\)
④が\(0\) であるのならば、③を展開する実益はない。
\(x=T-t\) であるところ、実際には、変数\(S\) は\(T-t\) に依存する関数であり、逆関数を考えると、\(T-t\) 即ち\(x\)は、\(S\) の関数となるのではないか。
（正） \(0<k\)
\(\lambda>0,~\lambda=0\) がp173 のとおり排除されるので、\(\lambda<0\) の場合のみを考えるところ、実数 \(k\) の二乗は\(k\neq 0\) のとき、\[k^2>0\]となるので、負の数\(\lambda\) を表すものとして、以後、\[-k^2\] を用いている。
すなわち、\begin{eqnarray}\lambda\equiv -k^2\nonumber&<&0\nonumber\end{eqnarray}であり、\[0<k^2<\infty\]
V_{uu}&=&-k^2V\nonumber\\
V_{uu}+k^2V&=&0\nonumber\\
\frac{d^2V}{du^2}+k^2V&=&0\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(V\) の解の形が、定数\(s\) （\(\neq\)株価の\(S\)） を用いて、\[V=e^{su}\]で表されると仮定した場合、\begin{eqnarray}\frac{dV}{du}&=&se^{su}\nonumber\\
\frac{d^2V}{du^2}&=&s^2e^{su}\nonumber\end{eqnarray}であるから、与式は、以下のようになり、\begin{eqnarray}s^2e^{su}+k^2e^{su}&=&0\nonumber\\
e^{su}(s^2+k^2)&=&0\nonumber\\
s^2+k^2&=&0\nonumber\\
s^2&=&-k^2\nonumber\\
s&=&\pm\sqrt{-k^2}\nonumber\\
&=&\pm ik\nonumber\end{eqnarray} \(s\)が求められるので、\(V\) の特殊解が、\[V=e^{\pm iku}\]であると求められる。
この解にオイラーの公式\[e^{ix}=\cos x+i~\sin x\]を用いると、＋解について、\begin{eqnarray}V&=&e^{iku}\nonumber\\
&=&\cos (ku)+i~\sin (ku)\nonumber\end{eqnarray}であり、また、－解について、\begin{eqnarray}V&=&e^{-iku}\nonumber\\
&=&\cos(-ku)+i~\sin(-ku)\nonumber\\
&=&\cos(ku)-i~\sin(ku)\nonumber\end{eqnarray}これら２つの特殊解は、元の方程式\(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たす筈であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{d^2}{du^2}\left\{\cos(ku)+i~\sin(ku)\right\}+\lambda \left\{\cos(ku)+i~\sin(ku)\right\}=0 \\
\frac{d^2}{du^2}\left\{\cos(ku)-i~\sin(ku)\right\}+\lambda \left\{\cos(ku)-i~\sin(ku)\right\}=0
\end{array} \right.\]この連立方程式の上式と下式とを足し合わせると、\begin{eqnarray}2\frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+2\lambda \cos(ku)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=\cos(ku)\] が元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の特殊解のひとつである。
同様にして、先ほどの連立方程式の上式から下式を引くと、
\begin{eqnarray}2\frac{d^2}{du^2}i~\sin(ku)+2\lambda i \sin(ku)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=\sin(ku)\] が元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の特殊解のひとつである。
これら新たな２つの特殊解\(\cos(ku),~\sin(ku)\)を元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) に代入したものを定数倍したものを考えると（定数\(C_1, C_2\)）、\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1\left\{ \frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)\right\}=0 \\
C_2\left\{ \frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)\right\}=0
\end{array} \right.\]が成立するところ、両式を足し合わせると、\begin{eqnarray} C_1\left\{ \frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)\right\}+C_2\left\{ \frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)\right\}&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\left\{C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right\}+\lambda\left\{C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right\}&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\]が、元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の解となる。
そして、\(C_1=1,~C_2=0\) とすれば、特殊解のひとつである\[V=\cos(ku)\]となり、\(C_1=0,~C_2=1\) とすれば、もう一つの特殊解である\[V=\sin(ku)\]となり、\(C_1=1,~C_2=\pm i\)とすれば、他の特殊解である\[V=\cos(ku)\pm\sin(ku)\]となることから、\[V=C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\]が、特殊解を包含する一般解であることが分かる。
s_1=\alpha+i\beta \\
s_2=\alpha-i\beta
\end{array} \right.\]であるとき、一般解が\[y=C_1~e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2~e^{\alpha x}\sin{\beta x}\]となることを用いると、
\(u\) の関数\(V\) の微分方程式\[V''+0\cdot V'+k^2V=0\]の特性方程式は、\[s^2+0\cdot s+k^2=0\]であるので、その２つの解は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
s_1=0+ik \\
s_2=0-ik
\end{array} \right.\]となるので、一般解は、\begin{eqnarray}V&=&C_1~e^{0\times u}\cos(ku)+C_2~e^{0\times u}\sin(ku)\nonumber\\&=&C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\nonumber\end{eqnarray}となる。
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テイラー級数展開、フーリエ解析、偏微分方程式の解法、 Wiener 過程、Random Walk、伊藤過程、伊藤のレンマ、Black–Scholes 偏微分方程式の導出・解法、Call Option の公式、連続複利、リスク中立評価法、満期日株価の自然対数 \(log S_T\) の確率密度関数等を扱う。
以下、読後の備忘録・行間補充メモ。
第１章 微分と偏微分のはなし
第２章 テイラー級数展開をすると
p42 二変数関数のテイラー級数展開
二変数関数のテイラー展開の意味と具体例
https://mathtrain.jp/multitaylor
第３章 積分と無限積分のはなし
p52 定数
解答２行目 \[\cdots+C\]となっているが、p50 最終行では、\[\cdots-C\]となっており整合しない。
もっとも、同箇所は定数なので、結果に影響しない。
もっとも、同箇所は定数なので、結果に影響しない。
p57 解答３行目
\(e^{-x}\sin x\) の積分
&=&\log|f(x)|+C\nonumber\end{eqnarray}を用いると、
与式は（定数を\(C_1\)と置き）、\[\log|f(\alpha)|+C_1=\int(-2\alpha)d\alpha\]右辺に公式\[\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\]を用いると、
与式は（定数を\(C_2\)と置き）、\begin{eqnarray}\log|f(\alpha)|+C_1&=&-2\times\frac{1}{1+1}\alpha^{1+1}+C_2\nonumber\\
\log|f(\alpha)|&=&-\alpha^2+C_2-C_1\nonumber\end{eqnarray}となる。
対数表記を戻すと、\begin{eqnarray}|f(\alpha)|&=&e^{-\alpha^2+C_2-C_1}\nonumber\\
&=&e^{-\alpha^2}\times e^{C_2-C_1}\nonumber\end{eqnarray}となる。
絶対値を外すと、\begin{eqnarray}f(\alpha)&=&\pm e^{-\alpha^2}\times e^{C_2-C_1}\nonumber\\
&=&e^{-\alpha^2}\times (\pm e^{C_2-C_1})\nonumber\end{eqnarray}となる。
ここで、\(\pm e^{C_2-C_1}\) は定数であるから、これを\(C\) と表記すると、与式は、\begin{eqnarray}f(\alpha)&=&e^{-\alpha^2}\times C\nonumber\\&=&Ce^{-\alpha^2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
部分積分の公式\[\int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx\]を用いると、\begin{eqnarray}\int e^{-x}\sin x ~dx&=&\left(\int e^{-x}dx\right)\sin x-\int\left\{\left(\int e^{-x}dx\right)\cos x\right\}dx\nonumber\\
&=&\frac{1}{-1}e^{-x}\sin x-\int\left(\frac{1}{-1}e^{-x}\cos x\right)dx\nonumber\\
&=&-e^{-x}\sin x+\int(e^{-x}\cos x)dx\nonumber\end{eqnarray}であり、右辺第２項に更に部分積分の公式を用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&-e^{-x}\sin x+\left(\int e^{-x}dx\right)\cos x-\int\left\{\left(\int e^{-x}dx\right)\times (-\sin x)\right\}dx\nonumber\\
&=&-e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-\int\left(-e^{-x}dx\times (-\sin x)\right)dx\nonumber\\
&=&e^{-x}(-\sin x-\cos x)-\int(e^{-x}\sin x)dx\nonumber\end{eqnarray}となるので、右辺第２項を左辺に移動して、\begin{eqnarray}2\int e^{-x}\sin x ~dx&=&e^{-x}(-\sin x-\cos x)\nonumber\\
\int e^{-x}\sin x ~dx&=&\frac{e^{-x}}{2}(-\sin x-\cos x)\nonumber\end{eqnarray}となり、\(e^{-x}\sin x\) の積分形が求められた。
&=&\frac{1}{-1}e^{-x}\sin x-\int\left(\frac{1}{-1}e^{-x}\cos x\right)dx\nonumber\\
&=&-e^{-x}\sin x+\int(e^{-x}\cos x)dx\nonumber\end{eqnarray}であり、右辺第２項に更に部分積分の公式を用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&-e^{-x}\sin x+\left(\int e^{-x}dx\right)\cos x-\int\left\{\left(\int e^{-x}dx\right)\times (-\sin x)\right\}dx\nonumber\\
&=&-e^{-x}\sin x-e^{-x}\cos x-\int\left(-e^{-x}dx\times (-\sin x)\right)dx\nonumber\\
&=&e^{-x}(-\sin x-\cos x)-\int(e^{-x}\sin x)dx\nonumber\end{eqnarray}となるので、右辺第２項を左辺に移動して、\begin{eqnarray}2\int e^{-x}\sin x ~dx&=&e^{-x}(-\sin x-\cos x)\nonumber\\
\int e^{-x}\sin x ~dx&=&\frac{e^{-x}}{2}(-\sin x-\cos x)\nonumber\end{eqnarray}となり、\(e^{-x}\sin x\) の積分形が求められた。
p65 f(α) の導出
\[\frac{f'(\alpha)}{f(\alpha)}=-2\alpha\]の両辺を\(\alpha\) で積分し、\[\int\frac{f'(\alpha)}{f(\alpha)}d\alpha=\int(-2\alpha)d\alpha\]左辺に公式\begin{eqnarray}\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx&=&\int\frac{t'}{t}dt\nonumber\\&=&\int\frac{1}{t}dt\nonumber\\&=&\log|t|+C\nonumber\\&=&\log|f(x)|+C\nonumber\end{eqnarray}を用いると、
与式は（定数を\(C_1\)と置き）、\[\log|f(\alpha)|+C_1=\int(-2\alpha)d\alpha\]右辺に公式\[\int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\]を用いると、
与式は（定数を\(C_2\)と置き）、\begin{eqnarray}\log|f(\alpha)|+C_1&=&-2\times\frac{1}{1+1}\alpha^{1+1}+C_2\nonumber\\
\log|f(\alpha)|&=&-\alpha^2+C_2-C_1\nonumber\end{eqnarray}となる。
対数表記を戻すと、\begin{eqnarray}|f(\alpha)|&=&e^{-\alpha^2+C_2-C_1}\nonumber\\
&=&e^{-\alpha^2}\times e^{C_2-C_1}\nonumber\end{eqnarray}となる。
絶対値を外すと、\begin{eqnarray}f(\alpha)&=&\pm e^{-\alpha^2}\times e^{C_2-C_1}\nonumber\\
&=&e^{-\alpha^2}\times (\pm e^{C_2-C_1})\nonumber\end{eqnarray}となる。
ここで、\(\pm e^{C_2-C_1}\) は定数であるから、これを\(C\) と表記すると、与式は、\begin{eqnarray}f(\alpha)&=&e^{-\alpha^2}\times C\nonumber\\&=&Ce^{-\alpha^2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
p65 ガウス積分
中段 \[=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\] は、ガウス積分
第４章 微分方程式の解の公式
p80 特性方程式による解法の根拠
https://physnotes.jp/diffeq/cc-2nd-hlde/ （高校物理の備忘録）
第５章 フーリエ解析
P94 ランダムウォーク
- 本書籍p32, 44, 66, 84, 94の方式（RAND関数）
- 本書籍p119 の条件（正規分布の乱数 NORMINV関数）
- RAND 関数の場合には、\(-0.5～+0.5\) の範囲で、等頻度で値が生ずる
- NORMINV(RAND) の場合には、正規分布の釣り鐘状の頻度で値が生ずる
時系列グラフに反映させた結果は、以下のとおり。
第６章 偏微分方程式の解の公式
p97 図6.1.1
式 \[2-u\]とあるのは、\[2-2u\]が正しい。
第７章 株価変動の不思議
p121 正規分布の性質 bX
確率変数\(X\) が、期待値（平均）\(\mu\) 、標準偏差\(\sigma\) の正規分布\(N(\mu, \sigma^2)\) に従うとき、すなわち、式で表現すると、\[X\sim N(\mu, \sigma^2)\] であるとき、\(X\) の定数倍である \(bX\) について、\[bX\sim N(b\mu, b^2\sigma^2)\]が成立する（定数倍に関する再生性。証明につき、「理数アラカルト」https://risalc.info/src/st-normal-distribution-summary.html#prod）。よって、標準正規分布（\(\mu=0\)、\(\sigma=1\)）においても、\begin{eqnarray}X&\sim & N(0,1^2)\nonumber\\ \Longrightarrow bX &\sim &N(0,b^2 1^2)\nonumber\end{eqnarray}となる。p121 ウィーナー過程に従う連続的な時系列 Z(t)
ランダムウォークに従う\(Z\) と標準正規分布に従う\(\varepsilon\) との関係
ランダムウォークに従う \(Z\) の差分\(\Delta Z\) は、\[\Delta Z \sim N(0, \Delta t)\]を充たすところ、これを、標準正規分布に従う\(\varepsilon\) の式表現、\begin{eqnarray}\varepsilon &\sim & N(0,1)\nonumber\\
\Longrightarrow \sqrt{\Delta t}~\varepsilon &\sim & N(0, \Delta t)\nonumber\end{eqnarray}と比較すると、\begin{eqnarray}\Delta Z&=&\sqrt{\Delta t}~\varepsilon\nonumber\\&=&\varepsilon \sqrt{\Delta t}\nonumber\end{eqnarray} が得られる。
p127 正規分布の性質
正規分布の性質（\(a+bX\)）
定数倍に関する再生性\begin{eqnarray}X&\sim & N(\mu,\sigma^2)\nonumber\\ \Longrightarrow bX &\sim &N(b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}を前提とする。ここで、\(a\) を定数とすると、
\Longrightarrow bX &\sim &N(b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow a+bX &\sim &N(a+b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}
\(\mu=0\) においては、\begin{eqnarray}X&\sim & N(0,\sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow bX &\sim &N(0,b^2 \sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow a+bX &\sim &N(a,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}となる。
確率変数\(X\) が標準正規分布に従うときの、確率変数\(X\) 及び\(a+bX\)の値を、\(a=1, b=0.5\) と設定して、Excelで1000件乱数で生じさせ、その分布状況を集計した結果は、以下のとおりであり、\(a+bX\) の平均値は\(0.998\fallingdotseq 1\) 、分散\(\sigma^2\)は\(0.256\fallingdotseq 0.5^2\)となっている。
時系列\(Z(t)\) がウイーナー過程に従うとき、その時間差分\[ \left\{ \begin{array}{l}
\Delta Z=Z(t_k)-Z(t_k-1) \\
\Delta t=t_k-t_{k-1}
\end{array} \right.\]について、\[\Delta Z\sim N(0, \Delta t)\]が成立するので、それを\(b\)倍し、\(a\Delta t\) を加えたものにつき、\[a\Delta t +b\Delta Z\sim N(a\Delta t, b^2\Delta t)\]が成立する。これを、時系列\(X(t)\)の変化量\(\Delta X\)とすると、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\Delta X=a\Delta t +b\Delta Z\\
\Delta X\sim N(a\Delta t, b^2\Delta t)
\end{array} \right.\]となる（一般化したウィーナー過程）。
一般化したウィーナー過程において、定数 \(a\)、\(b\) がともに、\(X\) と\(t\) の関数である場合には、\[\Delta X=a(X,t)\Delta t +b(X,t)\Delta Z\]と表される。関数\(a,b\) として変数\(t\)を含まない以下のものを考えると（\(\mu, \sigma\)は定数)、
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a(X,t)=\mu X\\
b(X,t)=\sigma X
\end{array} \right.\] \(\Delta X\) の式は、以下のようになる。\[\Delta X=\mu X\Delta t +\sigma X \Delta Z\]この微小形式は、\[dX=\mu X~dt +\sigma X~dZ\]であり、時系列\(X\) の微小変化量\(dX\) の具体例として、以後、株価\(S\) の微小変化量\(dS\) を考えることにすると、\[dS=\mu S~dt +\sigma S~dS\]が得られる（p136の伊藤過程の式）。
定数倍に関する再生性\begin{eqnarray}X&\sim & N(\mu,\sigma^2)\nonumber\\ \Longrightarrow bX &\sim &N(b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}を前提とする。ここで、\(a\) を定数とすると、
- \(a+bX\) の平均は、\(bX\) の平均に\(a\) を加えたものであり
- \(a+bX\) の分散は、定数\(a\) の部分に散らばりが無い以上、\(bX\) の分散に等しい
\Longrightarrow bX &\sim &N(b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow a+bX &\sim &N(a+b\mu,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}
\(\mu=0\) においては、\begin{eqnarray}X&\sim & N(0,\sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow bX &\sim &N(0,b^2 \sigma^2)\nonumber\\
\Longrightarrow a+bX &\sim &N(a,b^2 \sigma^2)\nonumber\end{eqnarray}となる。
確率変数\(X\) が標準正規分布に従うときの、確率変数\(X\) 及び\(a+bX\)の値を、\(a=1, b=0.5\) と設定して、Excelで1000件乱数で生じさせ、その分布状況を集計した結果は、以下のとおりであり、\(a+bX\) の平均値は\(0.998\fallingdotseq 1\) 、分散\(\sigma^2\)は\(0.256\fallingdotseq 0.5^2\)となっている。
p127 一般化したウィーナー過程（対数ウィーナー過程、算術ブラウン運動）
時系列\(Z(t)\) がウイーナー過程に従うとき、その時間差分\[ \left\{ \begin{array}{l}
\Delta Z=Z(t_k)-Z(t_k-1) \\
\Delta t=t_k-t_{k-1}
\end{array} \right.\]について、\[\Delta Z\sim N(0, \Delta t)\]が成立するので、それを\(b\)倍し、\(a\Delta t\) を加えたものにつき、\[a\Delta t +b\Delta Z\sim N(a\Delta t, b^2\Delta t)\]が成立する。これを、時系列\(X(t)\)の変化量\(\Delta X\)とすると、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\Delta X=a\Delta t +b\Delta Z\\
\Delta X\sim N(a\Delta t, b^2\Delta t)
\end{array} \right.\]となる（一般化したウィーナー過程）。
p128 伊藤過程
一般化したウィーナー過程において、定数 \(a\)、\(b\) がともに、\(X\) と\(t\) の関数である場合には、\[\Delta X=a(X,t)\Delta t +b(X,t)\Delta Z\]と表される。関数\(a,b\) として変数\(t\)を含まない以下のものを考えると（\(\mu, \sigma\)は定数)、
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a(X,t)=\mu X\\
b(X,t)=\sigma X
\end{array} \right.\] \(\Delta X\) の式は、以下のようになる。\[\Delta X=\mu X\Delta t +\sigma X \Delta Z\]この微小形式は、\[dX=\mu X~dt +\sigma X~dZ\]であり、時系列\(X\) の微小変化量\(dX\) の具体例として、以後、株価\(S\) の微小変化量\(dS\) を考えることにすると、\[dS=\mu S~dt +\sigma S~dS\]が得られる（p136の伊藤過程の式）。
第８章 伊藤のジレンマ
p134 二変数関数のテイラー展開
→ p42 参照
p136 解答４行目
\(f(S,t)\) の\(t\)での偏微分
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial t}&=&\frac{\partial \log S}{\partial t}\nonumber\\
&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる根拠は？
\begin{eqnarray}\frac{\partial f}{\partial t}&=&\frac{\partial \log S}{\partial t}\nonumber\\
&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる根拠は？
p139 χ二乗分布
\(X\) が標準正規分布に従うときの\(X^2\)
確率変数\(X\) が標準正規分布に従うときの、確率変数\(X\) 及び\(X^2\)の値を、Excelで1000件乱数で生じさせ、その分布状況を集計した結果は、以下のとおりであり、\(X^2\) の平均値は\(0.986\fallingdotseq 1\) 、分散\(\sigma^2\)は\(1.955\fallingdotseq 2\)となっている。
https://bellcurve.jp/statistics/course/9208.html （統計WEB）
確率変数\(X\) が標準正規分布に従うときの、確率変数\(X\) 及び\(X^2\)の値を、Excelで1000件乱数で生じさせ、その分布状況を集計した結果は、以下のとおりであり、\(X^2\) の平均値は\(0.986\fallingdotseq 1\) 、分散\(\sigma^2\)は\(1.955\fallingdotseq 2\)となっている。
（参考）カイ２乗分布（自由度１、２、…）のグラフhttps://bellcurve.jp/statistics/course/9208.html （統計WEB）
p140 (ΔZ)^2 の動き
\(\Delta Z\) の分布
（誤） \((\Delta Z)^2\) の動きは、平均\(\Delta t\)、分散\(2(\Delta t)^2\) の正規分布
（正） \((\Delta Z)^2\) の動きは、平均\(\Delta t\)、分散\(2(\Delta t)^2\) のカイ二乗分布
（誤） \((\Delta Z)^2\) の動きは、平均\(\Delta t\)、分散\(2(\Delta t)^2\) の正規分布
（正） \((\Delta Z)^2\) の動きは、平均\(\Delta t\)、分散\(2(\Delta t)^2\) のカイ二乗分布
第９章 ブラック・ショールズの偏微分方程式のつくり方
p146 BS微分方程式の導出
伊藤過程に従う株価を\(S\)とすると、\begin{eqnarray}dS&=&\mu S~dt+\sigma S~dZ\nonumber\\
\frac{\partial f}{\partial S}dS&=&\frac{\partial f}{\partial S}\mu S~dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S~dZ\nonumber\end{eqnarray}
株価\(S\)の派生証券の価格を\(f(S,t)\) とすると、伊藤のレンマより、\[df=\left\{ \frac{\partial f}{\partial S}\mu S+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2\right\}dt+\frac{\partial f}{\partial S}\sigma S~dZ\]第１式から第２式を引くと、\[\frac{\partial f}{\partial S}dS-df=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]この左辺は、ポートフォリオ\(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\) の微小増加分を表す。つまり、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]である。同式を観察すると、右辺には正規分布に従う揺らぎ部分 \(dZ\) が含まれていない以上、右辺は揺らぎのない確定値であり、等号で結ばれた左辺もまた揺らぎのない確定値と言える。
ここで、その左辺 \(d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\) と、ポートフォリオ\(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\) 相当額に利子率 \(r\) と微小時間 \(dt\) を乗じたものとを比較してみる。仮に、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)>r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]の場合は、利子率 \(r\) で資金 \(\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\) を借り入れて、ポートフォリオ（現物株を\(\frac{\partial f}{\partial S}\) 単位だけ買い、派生証券 \(f\) を１単位売る）を買えば、必ず差額分の利益がでることになるし、逆に、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)<r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]の場合は、同ポートフォリオを空売りして、利子率 \(r\) で資金を貸し付けておけば、必ず差額分の利益がでることになる。このようなリスクのない利益確保を続けられる環境（すなわち、\(>\) または \(<\) の状態）は競争の激しい市場では永続しないと考えられ、むしろ、両者に差が生じない状況、すなわち、\[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)=r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\]が、実際には現れる筈である。よって、与式の左辺 \[d\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)\] について、\[r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt\] へと置き換えた以下の式が得られる。\[r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)dt=\left\{-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right\}dt\]これを変形すると、\begin{eqnarray}r\left(\frac{\partial f}{\partial S}S-f\right)&=&-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \nonumber\\
r\frac{\partial f}{\partial S}S-rf&=&-\frac{\partial f}{\partial t}-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \nonumber\\
rf&=&\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial S^2}\sigma^2S^2+r\frac{\partial f}{\partial S}S\nonumber\end{eqnarray}となり、p152のBS微分方程式が得られた。
第１０章 ブラック・ショールズの偏微分方程式の解法
p157 BS微分方程式のコールオプションについての解
株価\(S\)の派生証券がコールオプション（権利行使価格が\(X\)）である場合に、同コールオプションの価格を\(f(S,t)\)として、BS微分方程式を\(f(S,t)\) について解くと、以下のようになる。\[f(S,t)=S~N\left(\frac{u}{\sigma \sqrt{x}}+\sigma \sqrt{x}\right) -Xe^{-rx}~N\left(\frac{u}{\sigma \sqrt{x}}\right)\]ただし、
- \(T ~~\cdots 満期日\)
- \(t ~~\cdots 現在\)
- \(N(d)=\int_{-\infty}^d\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}dz \cdots ~~~標準正規分布N(0,1)における確率\)
- \(u=\log\frac{S}{X}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)\)
- \(\sigma~~\cdots 株価の標準偏差(volatility) \)
- \(x=T-t ~~~[年]\)
- \(r~~\cdots 非危険利子率\)
p159 記号の説明
\(S\) を「現在の株価」としているが、実測値（定数）とする趣旨か。\(S\) は、伊藤過程で変数と扱われており（p146等）、BS微分方程式でも変数\(S\) での偏微分を考えている。
p160 \(f(S,t)=e^{-r(T-t)}\cdot y(u,x)\)
- \(e^{-r(T-t)}\)部分は、現在価値への割引に相当（p226）。
- 未知関数 \(y(u,x)\) は、満期日コールオプションの期待値に相当（p226）。
- 未知関数 \(y(u,x)\) は、p170～p186 で求められる。
p162 ③ 展開部分
④が\(0\) であるのならば、③を展開する実益はない。
p163, 165 ②
\(e^{-rx}\)を\(u\) に関して定数とみる部分
実際には、\begin{eqnarray}u&=&\log\frac{S}{X}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)\nonumber\\&=&\log\frac{S}{X}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)x\nonumber\\&=&\nonumber\log\frac{S}{X}+rx-\frac{\sigma^2}{2}x\end{eqnarray} であり、
\(u\) の微分\(\Delta u\) には、\(rx\) の微分 \(\Delta (rx)\) が含まれている。
実際には、\begin{eqnarray}u&=&\log\frac{S}{X}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)\nonumber\\&=&\log\frac{S}{X}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)x\nonumber\\&=&\nonumber\log\frac{S}{X}+rx-\frac{\sigma^2}{2}x\end{eqnarray} であり、
\(u\) の微分\(\Delta u\) には、\(rx\) の微分 \(\Delta (rx)\) が含まれている。
p163 ④
\(x\) を\(S\) に関して定数とみる部分
\(x=T-t\) であるところ、実際には、変数\(S\) は\(T-t\) に依存する関数であり、逆関数を考えると、\(T-t\) 即ち\(x\)は、\(S\) の関数となるのではないか。
p165 ③
\[\frac{\partial}{\partial t}\left(\log\frac{S}{X}\right)=0\] としているが、変数\(S\) は\(t\) に依存する関数ではないのか。p167 ⑤
- \(\frac{\partial u}{\partial S}=\frac{1}{S}\) （p163⑤）を前提とする。
- \(\frac{\partial x}{\partial S}=0\) （p163④）を前提とする。
p171 境界条件の変換
\(S_T\geqq X \rightarrow u\geqq 0\)
境界条件のうち、\begin{eqnarray}S_T \geqq X\nonumber\\ \frac{S_T}{X}\geqq 1\nonumber\end{eqnarray} に、p171の☆☆の結果である\begin{eqnarray}Xe^u&=&S_T\nonumber\\e^u&=&\frac{S_T}{X}\nonumber\end{eqnarray} を代入すると、\begin{eqnarray}e^u\geqq 1\nonumber\\u\geqq 0\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
\(S_T< X \rightarrow u< 0\) も同様に得られる。
境界条件のうち、\begin{eqnarray}S_T \geqq X\nonumber\\ \frac{S_T}{X}\geqq 1\nonumber\end{eqnarray} に、p171の☆☆の結果である\begin{eqnarray}Xe^u&=&S_T\nonumber\\e^u&=&\frac{S_T}{X}\nonumber\end{eqnarray} を代入すると、\begin{eqnarray}e^u\geqq 1\nonumber\\u\geqq 0\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
\(S_T< X \rightarrow u< 0\) も同様に得られる。
p172 中段
（誤） \(0\leqq k\)（正） \(0<k\)
\(\lambda>0,~\lambda=0\) がp173 のとおり排除されるので、\(\lambda<0\) の場合のみを考えるところ、実数 \(k\) の二乗は\(k\neq 0\) のとき、\[k^2>0\]となるので、負の数\(\lambda\) を表すものとして、以後、\[-k^2\] を用いている。
すなわち、\begin{eqnarray}\lambda\equiv -k^2\nonumber&<&0\nonumber\end{eqnarray}であり、\[0<k^2<\infty\]
p172 （ア）の微分方程式の解法
\begin{eqnarray}\frac{V_{uu}}{V}&=&-k^2\nonumber\\V_{uu}&=&-k^2V\nonumber\\
V_{uu}+k^2V&=&0\nonumber\\
\frac{d^2V}{du^2}+k^2V&=&0\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(V\) の解の形が、定数\(s\) （\(\neq\)株価の\(S\)） を用いて、\[V=e^{su}\]で表されると仮定した場合、\begin{eqnarray}\frac{dV}{du}&=&se^{su}\nonumber\\
\frac{d^2V}{du^2}&=&s^2e^{su}\nonumber\end{eqnarray}であるから、与式は、以下のようになり、\begin{eqnarray}s^2e^{su}+k^2e^{su}&=&0\nonumber\\
e^{su}(s^2+k^2)&=&0\nonumber\\
s^2+k^2&=&0\nonumber\\
s^2&=&-k^2\nonumber\\
s&=&\pm\sqrt{-k^2}\nonumber\\
&=&\pm ik\nonumber\end{eqnarray} \(s\)が求められるので、\(V\) の特殊解が、\[V=e^{\pm iku}\]であると求められる。
この解にオイラーの公式\[e^{ix}=\cos x+i~\sin x\]を用いると、＋解について、\begin{eqnarray}V&=&e^{iku}\nonumber\\
&=&\cos (ku)+i~\sin (ku)\nonumber\end{eqnarray}であり、また、－解について、\begin{eqnarray}V&=&e^{-iku}\nonumber\\
&=&\cos(-ku)+i~\sin(-ku)\nonumber\\
&=&\cos(ku)-i~\sin(ku)\nonumber\end{eqnarray}これら２つの特殊解は、元の方程式\(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たす筈であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{d^2}{du^2}\left\{\cos(ku)+i~\sin(ku)\right\}+\lambda \left\{\cos(ku)+i~\sin(ku)\right\}=0 \\
\frac{d^2}{du^2}\left\{\cos(ku)-i~\sin(ku)\right\}+\lambda \left\{\cos(ku)-i~\sin(ku)\right\}=0
\end{array} \right.\]この連立方程式の上式と下式とを足し合わせると、\begin{eqnarray}2\frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+2\lambda \cos(ku)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=\cos(ku)\] が元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の特殊解のひとつである。
同様にして、先ほどの連立方程式の上式から下式を引くと、
\begin{eqnarray}2\frac{d^2}{du^2}i~\sin(ku)+2\lambda i \sin(ku)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=\sin(ku)\] が元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の特殊解のひとつである。
これら新たな２つの特殊解\(\cos(ku),~\sin(ku)\)を元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) に代入したものを定数倍したものを考えると（定数\(C_1, C_2\)）、\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1\left\{ \frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)\right\}=0 \\
C_2\left\{ \frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)\right\}=0
\end{array} \right.\]が成立するところ、両式を足し合わせると、\begin{eqnarray} C_1\left\{ \frac{d^2}{du^2}\cos(ku)+\lambda \cos(ku)\right\}+C_2\left\{ \frac{d^2}{du^2}\sin(ku)+\lambda \sin(ku)\right\}&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\left\{C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right\}+\lambda\left\{C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right\}&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。これは、\[V=C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\]が、元の方程式 \(\frac{d^2V}{du^2}+\lambda V=0\) を充たしていることを示している。
よって、これも\(V\) の解となる。
そして、\(C_1=1,~C_2=0\) とすれば、特殊解のひとつである\[V=\cos(ku)\]となり、\(C_1=0,~C_2=1\) とすれば、もう一つの特殊解である\[V=\sin(ku)\]となり、\(C_1=1,~C_2=\pm i\)とすれば、他の特殊解である\[V=\cos(ku)\pm\sin(ku)\]となることから、\[V=C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\]が、特殊解を包含する一般解であることが分かる。
（公式による簡略解法）
\[y''+ay'+by=0\]で表されるとき、特性方程式\[s^2+as+b=0\]の２つの解 \(s_1,~s_2\) が共役複素数である場合、すなわち、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\(x\) の関数\(y\) の定数係数２階線形微分方程式が、\(a,~b\) を定数として、
s_1=\alpha+i\beta \\
s_2=\alpha-i\beta
\end{array} \right.\]であるとき、一般解が\[y=C_1~e^{\alpha x}\cos{\beta x}+C_2~e^{\alpha x}\sin{\beta x}\]となることを用いると、
\(u\) の関数\(V\) の微分方程式\[V''+0\cdot V'+k^2V=0\]の特性方程式は、\[s^2+0\cdot s+k^2=0\]であるので、その２つの解は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
s_1=0+ik \\
s_2=0-ik
\end{array} \right.\]となるので、一般解は、\begin{eqnarray}V&=&C_1~e^{0\times u}\cos(ku)+C_2~e^{0\times u}\sin(ku)\nonumber\\&=&C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\nonumber\end{eqnarray}となる。
p173 計算過程
\(W_x-\frac{\sigma^2}{2}\lambda W=0\) の解法
\begin{eqnarray}W_x-\frac{\sigma^2}{2}\lambda W&=&0\nonumber\\
W_x&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda W\nonumber\\
\frac{dW}{dx}&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda W\nonumber\\
\frac{1}{W}\frac{dW}{dx}&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda\nonumber\\
\frac{1}{W}dW &=& \frac{\sigma^2}{2}\lambda~dx\nonumber\\
\int \frac{1}{W}dW &=& \int \frac{\sigma^2}{2}\lambda ~dx\nonumber\\
\log W&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda \int 1 ~dx&\nonumber\\
\log W&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda x &\nonumber\\
W&=&e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\nonumber\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}W_x-\frac{\sigma^2}{2}\lambda W&=&0\nonumber\\
W_x&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda W\nonumber\\
\frac{dW}{dx}&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda W\nonumber\\
\frac{1}{W}\frac{dW}{dx}&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda\nonumber\\
\frac{1}{W}dW &=& \frac{\sigma^2}{2}\lambda~dx\nonumber\\
\int \frac{1}{W}dW &=& \int \frac{\sigma^2}{2}\lambda ~dx\nonumber\\
\log W&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda \int 1 ~dx&\nonumber\\
\log W&=&\frac{\sigma^2}{2}\lambda x &\nonumber\\
W&=&e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\nonumber\end{eqnarray}
p173 計算過程
\(V_{uu}-\lambda V=0\) の解法
\begin{eqnarray}V_{uu}-\lambda V&=&0 \nonumber\\ \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V&=&0 \nonumber\end{eqnarray}ここで、\(V\) の解の形が、定数\(s\) (\(\neq\)株価の\(S\))を用いて、\[V=e^{su}\] で表されると仮定した場合、\begin{eqnarray}\frac{dV}{du}&=&se^{su}\nonumber\\ \frac{d^2V}{du^2}&=&s^2e^{su}\nonumber\end{eqnarray}であるから、与式は、以下のようになり、\begin{eqnarray}s^2e^{su}-\lambda e^{su}&=&0\nonumber\\
e^{su}\left(s^2-\lambda\right)&=&0\nonumber\\
s^2-\lambda&=&0\nonumber\\
s^2&=&\lambda&\nonumber\\
s&=&\pm\sqrt{\lambda}\nonumber\end{eqnarray} \(s\) が求められ、\(V\) の特殊解が、\[V=e^{\pm\sqrt{\lambda}u}\]であることが求められる。
これら２つの特殊解は、元の方程式 \( \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V=0 \) を充たす筈であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}=0 \\
\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}=0
\end{array} \right.\]が成立し、右辺が\(0\) であることから、定数\(C_1, C_2\) について、\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1\left(\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}\right)=0 \\
C_2\left(\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)=0
\end{array} \right.\]が成立する。
両式を足し合わせると、\begin{eqnarray}C_1\left(\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}\right)+C_2\left(\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+
\frac{d^2}{du^2}C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\left(C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)-\lambda\left(C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。
これは、\[V=C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\] が、元の方程式 \( \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V=0 \) を充たしていることを示している。よって、これも\(V\) の解となる。
そして、\(C_1=1, C_2=0\) とすれば、特殊解のひとつである\[V=e^{+\sqrt{\lambda}u}\]となり、\(C_1=0, C_2=1\) とすれば、もう一つの特殊解のひとつである\[V=e^{-\sqrt{\lambda}u}\]となることから、\[V=C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\] が、特殊解を包含する一般解であることが分かる。
\begin{eqnarray}V_{uu}-\lambda V&=&0 \nonumber\\ \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V&=&0 \nonumber\end{eqnarray}ここで、\(V\) の解の形が、定数\(s\) (\(\neq\)株価の\(S\))を用いて、\[V=e^{su}\] で表されると仮定した場合、\begin{eqnarray}\frac{dV}{du}&=&se^{su}\nonumber\\ \frac{d^2V}{du^2}&=&s^2e^{su}\nonumber\end{eqnarray}であるから、与式は、以下のようになり、\begin{eqnarray}s^2e^{su}-\lambda e^{su}&=&0\nonumber\\
e^{su}\left(s^2-\lambda\right)&=&0\nonumber\\
s^2-\lambda&=&0\nonumber\\
s^2&=&\lambda&\nonumber\\
s&=&\pm\sqrt{\lambda}\nonumber\end{eqnarray} \(s\) が求められ、\(V\) の特殊解が、\[V=e^{\pm\sqrt{\lambda}u}\]であることが求められる。
これら２つの特殊解は、元の方程式 \( \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V=0 \) を充たす筈であるから、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}=0 \\
\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}=0
\end{array} \right.\]が成立し、右辺が\(0\) であることから、定数\(C_1, C_2\) について、\[ \left\{ \begin{array}{l}
C_1\left(\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}\right)=0 \\
C_2\left(\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)=0
\end{array} \right.\]が成立する。
両式を足し合わせると、\begin{eqnarray}C_1\left(\frac{d^2}{du^2}e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{+\sqrt{\lambda}u}\right)+C_2\left(\frac{d^2}{du^2}e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}-\lambda C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+
\frac{d^2}{du^2}C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}-\lambda C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}&=&0\nonumber\\
\frac{d^2}{du^2}\left(C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)-\lambda\left(C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)&=&0\nonumber\end{eqnarray}となる。
これは、\[V=C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\] が、元の方程式 \( \frac{d^2V}{du^2}-\lambda V=0 \) を充たしていることを示している。よって、これも\(V\) の解となる。
そして、\(C_1=1, C_2=0\) とすれば、特殊解のひとつである\[V=e^{+\sqrt{\lambda}u}\]となり、\(C_1=0, C_2=1\) とすれば、もう一つの特殊解のひとつである\[V=e^{-\sqrt{\lambda}u}\]となることから、\[V=C_1~e^{+\sqrt{\lambda}u}+C_2~e^{-\sqrt{\lambda}u}\] が、特殊解を包含する一般解であることが分かる。
p173 （ｉ）
\(\lambda>0\) の場合
\[y(u,x)=\left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\]に境界条件のひとつである\[y(u,0)=0\]を代入してみると、
\begin{eqnarray}\left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda \times 0}&=&0\nonumber\\ \left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)\times 1 &=&0\nonumber\\
C_1e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\nonumber\\
e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\frac{1}{e^{\sqrt{\lambda}u}}\nonumber\\
e^{\sqrt{\lambda}u}e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\nonumber\\
e^{2\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\nonumber\end{eqnarray}となる。左辺は\(u\) の変数であり定数とならないので（境界条件の他のひとつ \(u<0\) を追加しても同様）、同式を充たす定数\(C_1, C_2\) は存在しない。
（参考）\(C_1=2, ~C_2=-1, ~\lambda=3\) のときの \(y(u,0)\) グラフ
よって、\(\lambda>0\) の場合は、検討対象から排除される。
\[y(u,x)=\left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\]に境界条件のひとつである\[y(u,0)=0\]を代入してみると、
\begin{eqnarray}\left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda \times 0}&=&0\nonumber\\ \left(C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\right)\times 1 &=&0\nonumber\\
C_1e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}\nonumber\\
e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\frac{1}{e^{\sqrt{\lambda}u}}\nonumber\\
e^{\sqrt{\lambda}u}e^{\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\nonumber\\
e^{2\sqrt{\lambda}u}&=&-\frac{C_2}{C_1}\nonumber\end{eqnarray}となる。左辺は\(u\) の変数であり定数とならないので（境界条件の他のひとつ \(u<0\) を追加しても同様）、同式を充たす定数\(C_1, C_2\) は存在しない。
（参考）\(C_1=2, ~C_2=-1, ~\lambda=3\) のときの \(y(u,0)\) グラフ
\begin{eqnarray}C_1e^{\sqrt{\lambda}u}~&\cdots&Red\nonumber\\ C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}~&\cdots &Blue\nonumber\\ y(u,0)=C_1e^{\sqrt{\lambda}u}+C_2e^{-\sqrt{\lambda}u}~&\cdots &Green \nonumber\end{eqnarray}
よって、\(\lambda>0\) の場合は、検討対象から排除される。
p173 （ｉｉ）
\(\lambda=0\) の場合の \(V_{uu}-\lambda V=0\) の解法
微分すると\(0\) になる関数は定数であり（定数を\(C_2\)とする）、微分すると定数\(C_2\) になる関数は\(C_2\) を傾きとする一次関数に定数（\(C_1\) とする）を加えたものであるから、
\begin{eqnarray}V_{uu}-0\times V&=&0\nonumber\\V_{uu}
&=&0\nonumber\\
\int \frac{d^2V}{du^2}&=&0\nonumber\\
\int \frac{dV}{du}&=&C_2&\nonumber\\
V&=&C_1+C_2~ u\nonumber\end{eqnarray}
s^2-0&=&0\nonumber\\
s&=&0\nonumber\end{eqnarray}これは重解であるから、p80 の重解の場合の一般解の公式より、\begin{eqnarray}V&=&C_1~e^{0\times u}+C_2~ue^{0\times u}\nonumber\\
&=&C_1\times 1+C_2~u\times 1\nonumber\\
&=&C_1+C_2~u\nonumber\end{eqnarray}
微分すると\(0\) になる関数は定数であり（定数を\(C_2\)とする）、微分すると定数\(C_2\) になる関数は\(C_2\) を傾きとする一次関数に定数（\(C_1\) とする）を加えたものであるから、
\begin{eqnarray}V_{uu}-0\times V&=&0\nonumber\\V_{uu}
&=&0\nonumber\\
\int \frac{d^2V}{du^2}&=&0\nonumber\\
\int \frac{dV}{du}&=&C_2&\nonumber\\
V&=&C_1+C_2~ u\nonumber\end{eqnarray}
（特性方程式による別解）
特性方程式より、\begin{eqnarray}s^2-\lambda&=&0\nonumber\\s^2-0&=&0\nonumber\\
s&=&0\nonumber\end{eqnarray}これは重解であるから、p80 の重解の場合の一般解の公式より、\begin{eqnarray}V&=&C_1~e^{0\times u}+C_2~ue^{0\times u}\nonumber\\
&=&C_1\times 1+C_2~u\times 1\nonumber\\
&=&C_1+C_2~u\nonumber\end{eqnarray}
p173 境界条件の充足性
（ii）\(\lambda=0\) の場合の境界条件の充足性
\begin{eqnarray}y(u,x)&=&V\cdot W\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^{\frac{\sigma^2}{2}\times 0\times x}\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^0\nonumber\\
&=&C_1+C_2~u\nonumber\end{eqnarray}となることから、\(x=0\) のとき、\[y(u,0)=C_1+C_2~u\]となる。これは傾き\(C_2\)、切片\(C_1\) の直線であり、境界条件である
よって、\(\lambda=0\) の場合は、検討対象から排除される。
\begin{eqnarray}y(u,x)&=&V\cdot W\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^{\frac{\sigma^2}{2}\lambda x}\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^{\frac{\sigma^2}{2}\times 0\times x}\nonumber\\
&=&(C_1+C_2~u)e^0\nonumber\\
&=&C_1+C_2~u\nonumber\end{eqnarray}となることから、\(x=0\) のとき、\[y(u,0)=C_1+C_2~u\]となる。これは傾き\(C_2\)、切片\(C_1\) の直線であり、境界条件である
"\(u<0\) のとき、 \(y(u,0)=0\)"
を充たさない。よって、\(\lambda=0\) の場合は、検討対象から排除される。
p174 計算過程
\(\lambda<0\) の場合の \(y(u,x)\) の変形過程
BS微分方程式（p170）\[y_{uu}(u,x)-\frac{2}{\sigma^2}y_x(u,x)=0\]を \(y(u,x)\) について解くべく、\[y(u,x)=V(u)W(x)\] で表現してみたところ、\(V, W\) の形が、\(\lambda<0\) の条件下では、\begin{eqnarray}V(x)&=&C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\nonumber\\W(u)&=&C_3e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}を充たすべきであることが分かったので、\(y(u,x)\) は、\begin{eqnarray}y(u,x)&=&V(u)W(x)\nonumber\\&=&\left(C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right)C_3e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\\
&=&\left(C_1C_3\cos(ku)+C_2C_3\sin(ku)\right)e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}となり、定数について、\begin{eqnarray}C_1C_3&=&C\nonumber\\C_2C_3&=&D\nonumber\end{eqnarray}とおくと、与式は、\[y(u,x)=\left(C\cos(ku)+D\sin(ku)\right)e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\]の形となる。 \(u,x\) は変数なので、上記式が常に成立するためには、異なる\(k=k_1,k_2,\cdots k_n \) に対して、異なる\(C=C_{k1},C_{k2},\cdots k_n\) と \(D=D_{k1},D_{k2},\cdots k_n\) となる必要があるから、\begin{eqnarray}y(u,x)&=&\left\{C_{k1}\cos(k_1u)+D_{k1}\sin(k_1u)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_1^2}{2}x}\nonumber\\y(u,x)&=&\left\{C_{k2}\cos(k_2u)+D_{k2}\sin(k_2u)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_2^2}{2}x}\nonumber\\&\vdots&\nonumber\\ y(u,x)&=& \left\{C_{kn}\cos(k_nu)+D_{kn}\sin(k_nu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_n^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}が成立する。これら式を足し合わせると、\begin{eqnarray}n\cdot y(u,x)&=&\sum_{m=1}^n\left\{C_{km}\cos(k_mu)+D_{km}\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\nonumber\\ y(u,x)&=&\sum_{m=1}^n\left\{\frac{C_{km}}{n}\cos(k_mu)+\frac{D_{km}}{n}\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}となり、\(\frac{C_{km}}{n}=C(k),~\frac{D_{km}}{n}=D(k)\) と関数表記すると、\[y(u,x)=\sum_{m=1}^n\left\{C(k)\cos(k_mu)+D(k)\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\]この極限を \(0<k<\infty \) で採ると、
\[y(u,x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}x}~dk\]となる。
BS微分方程式（p170）\[y_{uu}(u,x)-\frac{2}{\sigma^2}y_x(u,x)=0\]を \(y(u,x)\) について解くべく、\[y(u,x)=V(u)W(x)\] で表現してみたところ、\(V, W\) の形が、\(\lambda<0\) の条件下では、\begin{eqnarray}V(x)&=&C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\nonumber\\W(u)&=&C_3e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}を充たすべきであることが分かったので、\(y(u,x)\) は、\begin{eqnarray}y(u,x)&=&V(u)W(x)\nonumber\\&=&\left(C_1\cos(ku)+C_2\sin(ku)\right)C_3e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\\
&=&\left(C_1C_3\cos(ku)+C_2C_3\sin(ku)\right)e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}となり、定数について、\begin{eqnarray}C_1C_3&=&C\nonumber\\C_2C_3&=&D\nonumber\end{eqnarray}とおくと、与式は、\[y(u,x)=\left(C\cos(ku)+D\sin(ku)\right)e^{-\frac{\sigma^2k^2}{2}x}\]の形となる。 \(u,x\) は変数なので、上記式が常に成立するためには、異なる\(k=k_1,k_2,\cdots k_n \) に対して、異なる\(C=C_{k1},C_{k2},\cdots k_n\) と \(D=D_{k1},D_{k2},\cdots k_n\) となる必要があるから、\begin{eqnarray}y(u,x)&=&\left\{C_{k1}\cos(k_1u)+D_{k1}\sin(k_1u)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_1^2}{2}x}\nonumber\\y(u,x)&=&\left\{C_{k2}\cos(k_2u)+D_{k2}\sin(k_2u)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_2^2}{2}x}\nonumber\\&\vdots&\nonumber\\ y(u,x)&=& \left\{C_{kn}\cos(k_nu)+D_{kn}\sin(k_nu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_n^2}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}が成立する。これら式を足し合わせると、\begin{eqnarray}n\cdot y(u,x)&=&\sum_{m=1}^n\left\{C_{km}\cos(k_mu)+D_{km}\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\nonumber\\ y(u,x)&=&\sum_{m=1}^n\left\{\frac{C_{km}}{n}\cos(k_mu)+\frac{D_{km}}{n}\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\nonumber\end{eqnarray}となり、\(\frac{C_{km}}{n}=C(k),~\frac{D_{km}}{n}=D(k)\) と関数表記すると、\[y(u,x)=\sum_{m=1}^n\left\{C(k)\cos(k_mu)+D(k)\sin(k_mu)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k_m}{2}x}\]この極限を \(0<k<\infty \) で採ると、
\[y(u,x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}x}~dk\]となる。
p176 係数C(k), D(k)
境界条件を充足する\(C(k),~D(k)\) の導出
境界条件（p158）\[ f(S_T,T)= \left\{ \begin{array}{l}
S_T-X &\cdots& if~S_T\geqq X \\
0 &\cdots& if~S_T<X
\end{array} \right.\]は、変数変換の結果（p170）、\[ y(u,0) = \left\{ \begin{array}{l}
X(e^u-1) &\cdots& if~u\geqq 0 \\
0 &\cdots& if~u<0
\end{array} \right.\]である。\[y(u,x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}x}~dk\]が境界条件を充足するか否かを検討する。そこで、\(x=0\) のときの上記式の形（\(g(u)\)）を考えると、\begin{eqnarray}g(u)&=&y(u,0)\nonumber\\&=&\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}\times 0}~dk\nonumber\\
&=&\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}~dk\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、フーリエの積分定理\[g(x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(kx)+D(k)\sin(kx)\right\}~dk\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cos(kx)~dx \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\sin(kx)~dx
\end{array}\right.\] \[or ~(積分結果に変数 x は残らないので\\~~~~他の変数 a で代替してもよく)\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\cos(ka)~da \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\sin(ka)~da
\end{array}\right.\]を用いると、与式は、\[g(u)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}~dk\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\cos(ka)~da \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\sin(ka)~da
\end{array}\right.\]となるので、同式が、境界条件（p177）\begin{eqnarray} g(a)&=& \left\{ \begin{array}{l} X(e^a-1) &\cdots& if~a\geqq 0 \\ 0 &\cdots& if~a<0 \end{array} \right.\nonumber\end{eqnarray}を充たすか否かを、以後、検討すればよい（→p182 末尾4行目以下で境界条件を適用して式を特定）。
新変数 \(v\) を用いて、\(g(a)\) の境界条件を示すと、\begin{eqnarray} g(u+\sigma\sqrt{x}v)&=& \left\{ \begin{array}{l} X(e^{u+\sigma\sqrt{x}v}-1) &\cdots& if~~v\geqq -\frac{u}{\sigma\sqrt{x}} \\ 0 &\cdots& if~~v<-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}} \end{array} \right.\nonumber\end{eqnarray}この条件を丸呑みして、そのまま、\(g(a)\) の定義とすれば、\(g(a)\) は同境界条件を常に充たすことになるので、そのように \(g(a)\) を定義した。
\(v\) を含む項を変形して、確率密度関数 \[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\] の形にしたうえで、その定積分 \begin{eqnarray}N(d)&=&\int_{-\infty}^de^{-\frac{z^2}{2}} ~dz\nonumber\\
&=&\int_{-d}^{\infty}e^{-\frac{z^2}{2}} ~dz\nonumber\end{eqnarray} に表現変えしている。
INPUT 変数 \(\cdots ~\sigma,~S,~X,~r,~T,~t\)
（正） \(=e^{rx}e…\)
\(z\) については、既に、p184 で、\[z=v-\sigma\sqrt{x}\]と定義しているので、これと矛盾する定義\[z=v\]をおこなうのは不適切。
なお、同新定義をせずとも、\(N(~)\) の定義より、\[X\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{+\infty}e^{-\frac{v^2}{2}}~dv=X\cdot N\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\right)\]のように、問題なく、\(v\) を消去して、\(N(~)\) の形に表現変えできる。
境界条件（p158）\[ f(S_T,T)= \left\{ \begin{array}{l}
S_T-X &\cdots& if~S_T\geqq X \\
0 &\cdots& if~S_T<X
\end{array} \right.\]は、変数変換の結果（p170）、\[ y(u,0) = \left\{ \begin{array}{l}
X(e^u-1) &\cdots& if~u\geqq 0 \\
0 &\cdots& if~u<0
\end{array} \right.\]である。\[y(u,x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}x}~dk\]が境界条件を充足するか否かを検討する。そこで、\(x=0\) のときの上記式の形（\(g(u)\)）を考えると、\begin{eqnarray}g(u)&=&y(u,0)\nonumber\\&=&\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}e^{-\frac{\sigma^2k}{2}\times 0}~dk\nonumber\\
&=&\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}~dk\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、フーリエの積分定理\[g(x)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(kx)+D(k)\sin(kx)\right\}~dk\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cos(kx)~dx \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\sin(kx)~dx
\end{array}\right.\] \[or ~(積分結果に変数 x は残らないので\\~~~~他の変数 a で代替してもよく)\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\cos(ka)~da \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\sin(ka)~da
\end{array}\right.\]を用いると、与式は、\[g(u)=\int_0^{\infty}\left\{C(k)\cos(ku)+D(k)\sin(ku)\right\}~dk\]\[ \left\{\begin{array}{l}
C(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\cos(ka)~da \\
D(k)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}g(a)\sin(ka)~da
\end{array}\right.\]となるので、同式が、境界条件（p177）\begin{eqnarray} g(a)&=& \left\{ \begin{array}{l} X(e^a-1) &\cdots& if~a\geqq 0 \\ 0 &\cdots& if~a<0 \end{array} \right.\nonumber\end{eqnarray}を充たすか否かを、以後、検討すればよい（→p182 末尾4行目以下で境界条件を適用して式を特定）。
p182 境界条件を充足する g(a)
新変数 \(v\) を用いて、\(g(a)\) の境界条件を示すと、\begin{eqnarray} g(u+\sigma\sqrt{x}v)&=& \left\{ \begin{array}{l} X(e^{u+\sigma\sqrt{x}v}-1) &\cdots& if~~v\geqq -\frac{u}{\sigma\sqrt{x}} \\ 0 &\cdots& if~~v<-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}} \end{array} \right.\nonumber\end{eqnarray}この条件を丸呑みして、そのまま、\(g(a)\) の定義とすれば、\(g(a)\) は同境界条件を常に充たすことになるので、そのように \(g(a)\) を定義した。
p184～186 変数 v の消去
\(v\) を含む項を変形して、確率密度関数 \[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}\] の形にしたうえで、その定積分 \begin{eqnarray}N(d)&=&\int_{-\infty}^de^{-\frac{z^2}{2}} ~dz\nonumber\\
&=&\int_{-d}^{\infty}e^{-\frac{z^2}{2}} ~dz\nonumber\end{eqnarray} に表現変えしている。
p184 変数変換と変換先
INPUT 変数 \(\cdots ~\sigma,~S,~X,~r,~T,~t\)
p185 中段②
（誤） \(=e^{re}e…\)（正） \(=e^{rx}e…\)
p186 z=v との変数変換
\(z\) については、既に、p184 で、\[z=v-\sigma\sqrt{x}\]と定義しているので、これと矛盾する定義\[z=v\]をおこなうのは不適切。
なお、同新定義をせずとも、\(N(~)\) の定義より、\[X\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}}^{+\infty}e^{-\frac{v^2}{2}}~dv=X\cdot N\left(\frac{u}{\sigma\sqrt{x}}\right)\]のように、問題なく、\(v\) を消去して、\(N(~)\) の形に表現変えできる。
第１１章 リスク中立評価法によるブラック・ショールズの公式
p196 連続複利（単年）
http://oto-suu.seesaa.net/article/291512417.html （大人が学び直す数学）
p199 連続複利
連続複利（期間\(T－t\)）
http://www.musashi.jp/~kagraoka/financeIV/220_continuous_compound_003.pdf?fbclid=IwAR2pHvoW-Rt7qSB1iXhvfe3Nj-yIq_wFPEoLuuQMRsY9lxMpPF8U2Vet0yc
（KAGRAOKA）の８～９頁
p199, 215 リスク中立評価法
証券の期待収益率を\(\mu\)、無リスク金利を\(r\) 、将来の期待値を\(E\)、現在価値を\(f\)としたとき、\[\mu=r\]と仮定して、\[f=Ee^{-\mu}\]ではなく、\[f=Ee^{-r}\]により、現在価値を求めているが、仮定 \(\mu=r\) の根拠をp225～226では、BS微分方程式に\(\mu\) が含まれていないことに求めている。このため、リスク中立評価法によりBS微分方程式を導出する本書第11章は、循環論法に陥っている。p214 コールオプションの価格式
\[f=e^{-r}…\] とあるのは、\[f=e^{-r(T-t)}…\] が正しい。
p225, 233 正規分布の確率密度関数
https://mathtrain.jp/gaussdistribution （高校数学の美しい物語）
p225 確率密度関数
\(\log S_T\) の確率密度関数
正規分布の確率密度関数は、標準偏差を\(\overline{\sigma}\)、平均を\(\overline{\mu}\) とすると、\[f(x)=\frac{1}{\overline{\sigma}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\overline{\mu}}{\overline{\sigma}} \right)^2 }\]株価\(S\)が伊藤過程\(dS=\mu S~dt+\sigma S~dB\) に従っているとき、時点\(t\) の株価\(S_t\) の対数\(\log S_T\) は、\[\log S_T\sim N\left(\log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t),\sigma^2(T-t)\right)\]であるから(p224)、
\(\log S_T\) の確率密度関数\(f(\log S_T)\)は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\overline{ \mu}=\log S+\left( \mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t) \\
\overline{ \sigma}=\sigma\sqrt{T-t}
\end{array} \right.\]を正規分布の確率密度関数に代入して、 \[f(\log S_T)=\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2}\]
これを無リスク金利\(r\) で割り引いたものが、現在のコールオプションの価値\(f\)であるから、\[f=e^{-r(T-t)}E[max\{S_T-X, 0\}]\]となる。ここで、期待値\(E\) の定義\[E[Y]=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot f(y)~dy\]より、確率変数の関数\(g(Y)\) についても、\[E[g(Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(y)\cdot f(y)~dy\]が成立しているので（p252）、\[ \left\{ \begin{array}{l}
g(\log S_T)=max\{ S_T-X,0\} \\
\\
f(\log S_T)=\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2}
\end{array} \right.\]を期待値\(E\) の式に代入すると、\begin{eqnarray}f&=&e^{-r(T-t)}E[max\{S_T-X, 0\}]\nonumber\\
&=&e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{\infty}max\{ S_T-X,0\}\cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2} ~d(\log S_T)\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
これに、リスク中立評価法の前提である\[\mu=r\]及び\begin{eqnarray}\log S_T&=&\log S_T\nonumber\\ S_T &=&e^{\log S_T}\nonumber\end{eqnarray}を代入すると、\[e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{\infty}max\{ e^{\log S_T}-X,0\}\cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2} ~d(\log S_T)\] となり（p234式⑦はそのうちの\(\int\) 部分）、同式を変形整理すると、p244 の式⑳が得られる。
正規分布の確率密度関数は、標準偏差を\(\overline{\sigma}\)、平均を\(\overline{\mu}\) とすると、\[f(x)=\frac{1}{\overline{\sigma}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\overline{\mu}}{\overline{\sigma}} \right)^2 }\]株価\(S\)が伊藤過程\(dS=\mu S~dt+\sigma S~dB\) に従っているとき、時点\(t\) の株価\(S_t\) の対数\(\log S_T\) は、\[\log S_T\sim N\left(\log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t),\sigma^2(T-t)\right)\]であるから(p224)、
\(\log S_T\) の確率密度関数\(f(\log S_T)\)は、\[ \left\{ \begin{array}{l}
\overline{ \mu}=\log S+\left( \mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t) \\
\overline{ \sigma}=\sigma\sqrt{T-t}
\end{array} \right.\]を正規分布の確率密度関数に代入して、 \[f(\log S_T)=\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2}\]
p230 リスク中立評価法によるBS微分方程式の導出の流れ
時点\(T\)の株価を\(S_T\)、コールオプションの権利行使価格を\(X\) とすると、満期日のコールオプションの価値は、\(S_T-X\) （但し、その値がマイナスとなるときは行使しないので価値０）であるから、\[max \{S_T-X, 0\}\]と表され、その期待値は、\[E[max \{S_T-X, 0\}]\]と表される。これを無リスク金利\(r\) で割り引いたものが、現在のコールオプションの価値\(f\)であるから、\[f=e^{-r(T-t)}E[max\{S_T-X, 0\}]\]となる。ここで、期待値\(E\) の定義\[E[Y]=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot f(y)~dy\]より、確率変数の関数\(g(Y)\) についても、\[E[g(Y)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(y)\cdot f(y)~dy\]が成立しているので（p252）、\[ \left\{ \begin{array}{l}
g(\log S_T)=max\{ S_T-X,0\} \\
\\
f(\log S_T)=\frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2}
\end{array} \right.\]を期待値\(E\) の式に代入すると、\begin{eqnarray}f&=&e^{-r(T-t)}E[max\{S_T-X, 0\}]\nonumber\\
&=&e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{\infty}max\{ S_T-X,0\}\cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2} ~d(\log S_T)\nonumber\end{eqnarray}が得られる。
これに、リスク中立評価法の前提である\[\mu=r\]及び\begin{eqnarray}\log S_T&=&\log S_T\nonumber\\ S_T &=&e^{\log S_T}\nonumber\end{eqnarray}を代入すると、\[e^{-r(T-t)}\int_{-\infty}^{\infty}max\{ e^{\log S_T}-X,0\}\cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{T-t}\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\log S_T-\left( \log S+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right) (T-t)\right)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right)^2} ~d(\log S_T)\] となり（p234式⑦はそのうちの\(\int\) 部分）、同式を変形整理すると、p244 の式⑳が得られる。
p234 ⑨式
{ 記載は不要。
連立方程式の趣旨ではなく、上式両辺をv で微分し、dv を乗じたものが⑨式。
p236 ２～３行目
{ 記載は不要。
連立方程式の趣旨ではなく、上式を式変形したものが下式。
p236 式の変形過程
\(log~S_T=\) 式の変形過程
\begin{eqnarray}\log S_T&=&\log S+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\log S_T-\log S&=&\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\log \frac{S_T}{S}&=&\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\frac{S_T}{S}&=&exp\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}\nonumber\\
S_T&=&S~exp\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}\nonumber\\
&=&S~e^{\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}}\nonumber\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\log S_T&=&\log S+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\log S_T-\log S&=&\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\log \frac{S_T}{S}&=&\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v\nonumber\\
\frac{S_T}{S}&=&exp\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}\nonumber\\
S_T&=&S~exp\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}\nonumber\\
&=&S~e^{\left\{ \left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\sqrt{T-t}~v \right\}}\nonumber\end{eqnarray}