今日から使える微分方程式 普及版 例題で身につく理系の必須テクニック
飽本一裕著「今日から使える微分方程式 普及版 例題で身につく理系の必須テクニック」講談社 (2018/8/22)
https://www.amazon.co.jp/dp/4065129044/
ブルーバックス。
設例が具体的でわかりやすい。
・人口予測モデル
・放射性炭素年代測定
・電気回路
・燃料噴射型ロケット
・細胞成長モデル
・落下物
・水時計
・化学反応生成物濃度
・濃度拡散
・ばね振子
・荷電粒子
・棒振子
・銅線中電子分布
・過渡電流
・ダンパー
・自励振動
・共鳴振動
・懸垂曲線
ラプラス変換表を使った解法についても触れている。
以下、読書メモ(行間の補充)
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}e^{kx}&=&\frac{d}{dx}kx\times \frac{d}{d(kx)}e^{kx}\nonumber\\&=&k\times e^{kx}\nonumber\end{eqnarray}
● p22 ⑨
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}e^{f(x)}&=&\frac{d}{dx}f(x)\times \frac{d}{d(f(x))}e^{f(x)}\nonumber\\&=&\frac{d}{dx}f(x)\times e^{f(x)}\nonumber\end{eqnarray}
● p33 \(\sin (2x)\) の積分
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\cos(2x)&=&\frac{d}{dx}2x\times\frac{d}{d(2x)}\cos(2x)\nonumber\\&=&2\times (-\sin(2x))\nonumber\\&=&-2\sin(2x)\nonumber\end{eqnarray}両辺を\(x\)で積分すると、\begin{eqnarray}\int\frac{d}{dx}\cos(2x)dx&=&\int(-2\sin(2x))dx\nonumber\\ \cos(2x)&=&-2\int\sin(2x)dx\nonumber\\ -\frac{\cos(2x)}{2}&=&\int\sin(2x)dx\nonumber\\ \int\sin(2x)dx&=&-\frac{\cos(2x)}{2}\nonumber\end{eqnarray}
https://www.amazon.co.jp/dp/4065129044/
ブルーバックス。
設例が具体的でわかりやすい。
・人口予測モデル
・放射性炭素年代測定
・電気回路
・燃料噴射型ロケット
・細胞成長モデル
・落下物
・水時計
・化学反応生成物濃度
・濃度拡散
・ばね振子
・荷電粒子
・棒振子
・銅線中電子分布
・過渡電流
・ダンパー
・自励振動
・共鳴振動
・懸垂曲線
ラプラス変換表を使った解法についても触れている。
以下、読書メモ(行間の補充)
第1章 座頭市の自由きままな世界旅行(微積分のおさらい)
● p22 ⑦\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}e^{kx}&=&\frac{d}{dx}kx\times \frac{d}{d(kx)}e^{kx}\nonumber\\&=&k\times e^{kx}\nonumber\end{eqnarray}
● p22 ⑨
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}e^{f(x)}&=&\frac{d}{dx}f(x)\times \frac{d}{d(f(x))}e^{f(x)}\nonumber\\&=&\frac{d}{dx}f(x)\times e^{f(x)}\nonumber\end{eqnarray}
● p33 \(\sin (2x)\) の積分
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\cos(2x)&=&\frac{d}{dx}2x\times\frac{d}{d(2x)}\cos(2x)\nonumber\\&=&2\times (-\sin(2x))\nonumber\\&=&-2\sin(2x)\nonumber\end{eqnarray}両辺を\(x\)で積分すると、\begin{eqnarray}\int\frac{d}{dx}\cos(2x)dx&=&\int(-2\sin(2x))dx\nonumber\\ \cos(2x)&=&-2\int\sin(2x)dx\nonumber\\ -\frac{\cos(2x)}{2}&=&\int\sin(2x)dx\nonumber\\ \int\sin(2x)dx&=&-\frac{\cos(2x)}{2}\nonumber\end{eqnarray}
第2章 マルサスの今日からできる大予言(1階微分方程式入門)
● p65 1行 \[\frac{M_0}{M(t)}=e^{s\Delta t}\] は、正しくは、\[\frac{M_0}{M(\Delta t)}=e^{s\Delta t}\]
● p79 末1行
\(t-t_0\) は、正しくは、\(t=t_0\) か。
\(f(t)\) と \(f\) とは別。
\(h(t)\) と \(h\) とも別。
● p130 冒頭部分(分数の積分形)
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\log_e(ax+b)&=&\frac{d}{dx}(ax+b)\times \frac{d}{d(ax+b)}\log_e(ax+b)\nonumber\\&=&a\times \frac{1}{ax+b}\nonumber\end{eqnarray}両辺を\(x\)で積分すると、\begin{eqnarray}\int\frac{d}{dx}\log_e(ax+b) dx &=&\int a\frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \log_e(ax+b)&=&a\int \frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \frac{1}{a}\log_e(ax+b)&=&\int\frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \int\frac{1}{ax+b}dx&=&\frac{1}{a}\log_e(ax+b)\nonumber\end{eqnarray}
● p176 複素指数関数\(e^{(a+ib)x}\)の微分
\(a\)及び\(b\)を実数、\(i\)を虚数単位とする複素数 \(a+ib\) を要素に持つ \(x\)についての指数関数 \(e^{(a+ib)x}\) の\(x\) による微分を考える。
\[\frac{d}{dx}e^{(a+ib)x}=\frac{d}{dx}\left(e^{ax}e^{ibx}\right)\]の右辺に積の微分公式\[(fg)'=f'g+fg'\]を用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\\&=&\left(\frac{d}{dx}ax\times \frac{d}{d(ax)}e^{ax}\right)e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\end{eqnarray}ここで、オイラーの公式\[e^{i\theta}=\cos\theta+i~\sin\theta\]を第2項内の \(e^{ibx}\) に用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}(\cos bx+i~\sin bx)\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(-b\sin bx+ib\cos bx\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}ib\left(i\sin bx+\cos bx\right)\nonumber\end{eqnarray}となるので、ここでオイラーの公式を第2項内の \(i \sin bx+\cos bx\) に再び用いて、\begin{eqnarray}&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}ibe^{ibx}\nonumber\\&=&ae^{ax+ibx}+e^{ax}ibe^{ibx}\nonumber\\&=&ae^{(a+ib)x}+ibe^{ax+ibx}\nonumber\\&=&ae^{(a+ib)x}+ibe^{(a+ib)x}\nonumber\\&=&(a+ib)e^{(a+ib)x}\nonumber\end{eqnarray}となる。よって、複素数\(a+ib\) について、\[\frac{d}{dx}e^{(a+ib)x}=(a+ib)e^{(a+ib)x}\]が成立する。本書籍では、複素数 \(a+ib\) を\(a\) と表現し(\(a\) は別文字)、\(x\) ではなく\(t\) での微分を考えているので、本書籍の表現に置きなおすと、\[\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at}\]となる。
● p79 末1行
\(t-t_0\) は、正しくは、\(t=t_0\) か。
第3章 ロケットから水時計までガリレオ博士の超科学(1階微分方程式の一般化)
● p129\(f(t)\) と \(f\) とは別。
\(h(t)\) と \(h\) とも別。
● p130 冒頭部分(分数の積分形)
\begin{eqnarray}\frac{d}{dx}\log_e(ax+b)&=&\frac{d}{dx}(ax+b)\times \frac{d}{d(ax+b)}\log_e(ax+b)\nonumber\\&=&a\times \frac{1}{ax+b}\nonumber\end{eqnarray}両辺を\(x\)で積分すると、\begin{eqnarray}\int\frac{d}{dx}\log_e(ax+b) dx &=&\int a\frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \log_e(ax+b)&=&a\int \frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \frac{1}{a}\log_e(ax+b)&=&\int\frac{1}{ax+b}dx\nonumber\\ \int\frac{1}{ax+b}dx&=&\frac{1}{a}\log_e(ax+b)\nonumber\end{eqnarray}
第4章 変幻自在ゆらゆらの振動と波動(2階線形微分方程式)
● p176 複素指数関数\(e^{(a+ib)x}\)の微分
\(a\)及び\(b\)を実数、\(i\)を虚数単位とする複素数 \(a+ib\) を要素に持つ \(x\)についての指数関数 \(e^{(a+ib)x}\) の\(x\) による微分を考える。
\[\frac{d}{dx}e^{(a+ib)x}=\frac{d}{dx}\left(e^{ax}e^{ibx}\right)\]の右辺に積の微分公式\[(fg)'=f'g+fg'\]を用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&\left(\frac{d}{dx}e^{ax}\right)e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\\&=&\left(\frac{d}{dx}ax\times \frac{d}{d(ax)}e^{ax}\right)e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}e^{ibx}\right)\nonumber\end{eqnarray}ここで、オイラーの公式\[e^{i\theta}=\cos\theta+i~\sin\theta\]を第2項内の \(e^{ibx}\) に用いると、与式は、\begin{eqnarray}&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(\frac{d}{dx}(\cos bx+i~\sin bx)\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}\left(-b\sin bx+ib\cos bx\right)\nonumber\\&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}ib\left(i\sin bx+\cos bx\right)\nonumber\end{eqnarray}となるので、ここでオイラーの公式を第2項内の \(i \sin bx+\cos bx\) に再び用いて、\begin{eqnarray}&=&ae^{ax}e^{ibx}+e^{ax}ibe^{ibx}\nonumber\\&=&ae^{ax+ibx}+e^{ax}ibe^{ibx}\nonumber\\&=&ae^{(a+ib)x}+ibe^{ax+ibx}\nonumber\\&=&ae^{(a+ib)x}+ibe^{(a+ib)x}\nonumber\\&=&(a+ib)e^{(a+ib)x}\nonumber\end{eqnarray}となる。よって、複素数\(a+ib\) について、\[\frac{d}{dx}e^{(a+ib)x}=(a+ib)e^{(a+ib)x}\]が成立する。本書籍では、複素数 \(a+ib\) を\(a\) と表現し(\(a\) は別文字)、\(x\) ではなく\(t\) での微分を考えているので、本書籍の表現に置きなおすと、\[\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at}\]となる。
第5章 摩擦力と駆動力の不思議なコラボレーション(2階非斉次微分方程式)
第6章 天の助け 超簡単秘技を伝授(ラプラス変換)
● p255 \(f(t)=t\) のラプラス変換
\(f(t)=t\)をラプラス変換の定義式に代入すると、\begin{eqnarray}L\{t\}&=&\int_0^{\infty}te^{-st}~dt\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(te^{-st}\) に部分積分法\[\int_a^bf(x)g'(x)~dx=\left[ f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)~dx\]を用いるべく、\(e^{-st}\) の積分形を考えると、複素指数関数の微分の公式(\(a\)は別文字)\[\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at}\]で、\(a=-s\) とした\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}e^{-st}&=&-se^{-st}\nonumber\\-\frac{1}{s}\frac{d}{dt}e^{-st}&=&e^{-st}\nonumber\\e^{-st}&=&-\frac{1}{s}\frac{d}{dt}e^{-st}\nonumber\end{eqnarray}から、両辺を\(t\) で不定積分した\begin{eqnarray}\int e^{-st}dt &=&-\frac{1}{s}\int\frac{d}{dt}e^{-st}dt\nonumber\\&=&-\frac{1}{s}e^{-st}+C\nonumber\end{eqnarray}より(\(C\)は積分定数)、\(e^{-st}\) の定積分形は\(-\frac{1}{s}e^{-st}\)であることが分かるから、与式\(L\{t\}\)に部分積分法を用いたものは、\begin{eqnarray}&=&\int_0^{\infty}te^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\int_0^{\infty}t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)'~dt\nonumber\\
&=&\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}t'\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left( \infty\times\left(-\frac{1}{s}e^{-s\times\infty}\right)-0\times\left( -\frac{1}{s}e^{-s\times 0}\right)\right)+\int_0^{\infty}t' \left( \frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times\left( -\frac{1}{s}e^{-\infty}\right)-0\times\left(-\frac{1}{s}e^0\right)\right)+\int_0^{\infty}1\times\ \left( \frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times\left( -\frac{1}{s}\times 0\right)-0\times\left(-\frac{1}{s}\times 1\right)\right)+ \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times 0 -0\right)+ \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\infty\times 0+\frac{1}{s}\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\\
&=&\infty\times 0-\frac{1}{s^2}\left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\infty\times 0\) は不定形であり、計算結果に意味が生じない。
そこで、方針を変え、与式の中途段階から極限表示での式変形に切り替えてみると、\begin{eqnarray}&=&\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}t'\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]-\lim_{t\to 0}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]+\int_0^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]-0-\frac{1}{s^2}\left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、第1項の値につき、試みに、ロピタルの定理\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(s)}\]を用いて、目星をつけてみると(式が意味を持つように、以下、\(s\neq0\) とする)、\begin{eqnarray}\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]&=&\lim_{t\to\infty}\frac{-t}{se^{st}}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{\left(-t\right)'}{\left(se^{st}\right)'}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{-1}{s\times se^{st}}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{(-1)'}{(s^2e^{st})'}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{0}{s^2\times se^{st}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3e^{s\times \infty}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3e^{\infty}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3\times \infty}\nonumber\\
&=&\frac{0}{\infty}\nonumber\\
&=&0\nonumber\end{eqnarray}となるので、第1項は、\(0\) の値であると推測される。そこで、以下、場合を分けて更に検討してみると、\(e\) の指数を構成する複素数 \(s=a+ib\) に \(a>0\) の条件を与えたとき、\(-\frac{1}{s}e^{-st}\) は、マイナスから\(0\) に近づいて収束する一方、\(t\) は直線的に単調増加する。前者が\(0\) に近づく度合いは、後者が増加するより度合いよりも十分に大きいため、両者を乗じた関数\(t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\) は、\(t\to\infty\) のとき、\(0\) に近づく(下記図は\(s=2+i0\) とした場合のグラフ)。
他方で、\(a<0\) とした場合には、両者を乗じた関数 \(t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\) は、\(t\to\infty\) のとき、\(\infty\) に発散し、意味ある結果を返さない(下記図は\(s=-2+i0\) とした場合のグラフ)。
そこで、以下では、\(a>0\) の場合のみを考えることにする。この条件の下での与式\(L\{t\}\)は、第1項が\(0\) に収束し、第2項は確定値\(0\) を返し、第3項のみが残るので、\begin{eqnarray}L\{t\}
&=& -\frac{1}{s^2} \left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2}\left( e^{-s\times \infty}-e^{-s\times 0}\right)\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2}\left(e^{-\infty}-e^0\right)\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2} (0-1) \nonumber\\
&=& \frac{1}{s^2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
よって、\(f(t)=t\) のラプラス変換\(L\{t\}\)(\(s\)についての関数)は、\(F(s)=\frac{1}{s^2}\)であること(p237表6-1⑤)が確認できた。
● p261

\(f(t)=t\)をラプラス変換の定義式に代入すると、\begin{eqnarray}L\{t\}&=&\int_0^{\infty}te^{-st}~dt\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(te^{-st}\) に部分積分法\[\int_a^bf(x)g'(x)~dx=\left[ f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^bf'(x)g(x)~dx\]を用いるべく、\(e^{-st}\) の積分形を考えると、複素指数関数の微分の公式(\(a\)は別文字)\[\frac{d}{dt}e^{at}=ae^{at}\]で、\(a=-s\) とした\begin{eqnarray}\frac{d}{dt}e^{-st}&=&-se^{-st}\nonumber\\-\frac{1}{s}\frac{d}{dt}e^{-st}&=&e^{-st}\nonumber\\e^{-st}&=&-\frac{1}{s}\frac{d}{dt}e^{-st}\nonumber\end{eqnarray}から、両辺を\(t\) で不定積分した\begin{eqnarray}\int e^{-st}dt &=&-\frac{1}{s}\int\frac{d}{dt}e^{-st}dt\nonumber\\&=&-\frac{1}{s}e^{-st}+C\nonumber\end{eqnarray}より(\(C\)は積分定数)、\(e^{-st}\) の定積分形は\(-\frac{1}{s}e^{-st}\)であることが分かるから、与式\(L\{t\}\)に部分積分法を用いたものは、\begin{eqnarray}&=&\int_0^{\infty}te^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\int_0^{\infty}t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)'~dt\nonumber\\
&=&\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}t'\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left( \infty\times\left(-\frac{1}{s}e^{-s\times\infty}\right)-0\times\left( -\frac{1}{s}e^{-s\times 0}\right)\right)+\int_0^{\infty}t' \left( \frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times\left( -\frac{1}{s}e^{-\infty}\right)-0\times\left(-\frac{1}{s}e^0\right)\right)+\int_0^{\infty}1\times\ \left( \frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times\left( -\frac{1}{s}\times 0\right)-0\times\left(-\frac{1}{s}\times 1\right)\right)+ \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\left(\infty\times 0 -0\right)+ \frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}~dt\nonumber\\
&=&\infty\times 0+\frac{1}{s}\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\\
&=&\infty\times 0-\frac{1}{s^2}\left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\end{eqnarray}ここで、\(\infty\times 0\) は不定形であり、計算結果に意味が生じない。
そこで、方針を変え、与式の中途段階から極限表示での式変形に切り替えてみると、\begin{eqnarray}&=&\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}t'\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)~dt\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]-\lim_{t\to 0}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]+\int_0^{\infty}\frac{1}{s}e^{-st}dt\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]-0-\frac{1}{s^2}\left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\end{eqnarray}となる。ここで、第1項の値につき、試みに、ロピタルの定理\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(s)}\]を用いて、目星をつけてみると(式が意味を持つように、以下、\(s\neq0\) とする)、\begin{eqnarray}\lim_{t\to\infty}\left[t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\right]&=&\lim_{t\to\infty}\frac{-t}{se^{st}}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{\left(-t\right)'}{\left(se^{st}\right)'}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{-1}{s\times se^{st}}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{(-1)'}{(s^2e^{st})'}\nonumber\\
&=&\lim_{t\to\infty}\frac{0}{s^2\times se^{st}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3e^{s\times \infty}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3e^{\infty}}\nonumber\\
&=&\frac{0}{s^3\times \infty}\nonumber\\
&=&\frac{0}{\infty}\nonumber\\
&=&0\nonumber\end{eqnarray}となるので、第1項は、\(0\) の値であると推測される。そこで、以下、場合を分けて更に検討してみると、\(e\) の指数を構成する複素数 \(s=a+ib\) に \(a>0\) の条件を与えたとき、\(-\frac{1}{s}e^{-st}\) は、マイナスから\(0\) に近づいて収束する一方、\(t\) は直線的に単調増加する。前者が\(0\) に近づく度合いは、後者が増加するより度合いよりも十分に大きいため、両者を乗じた関数\(t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\) は、\(t\to\infty\) のとき、\(0\) に近づく(下記図は\(s=2+i0\) とした場合のグラフ)。
他方で、\(a<0\) とした場合には、両者を乗じた関数 \(t\left(-\frac{1}{s}e^{-st}\right)\) は、\(t\to\infty\) のとき、\(\infty\) に発散し、意味ある結果を返さない(下記図は\(s=-2+i0\) とした場合のグラフ)。
そこで、以下では、\(a>0\) の場合のみを考えることにする。この条件の下での与式\(L\{t\}\)は、第1項が\(0\) に収束し、第2項は確定値\(0\) を返し、第3項のみが残るので、\begin{eqnarray}L\{t\}
&=& -\frac{1}{s^2} \left[e^{-st}\right]_0^{\infty}\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2}\left( e^{-s\times \infty}-e^{-s\times 0}\right)\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2}\left(e^{-\infty}-e^0\right)\nonumber\\
&=& -\frac{1}{s^2} (0-1) \nonumber\\
&=& \frac{1}{s^2}\nonumber\end{eqnarray}となる。
よって、\(f(t)=t\) のラプラス変換\(L\{t\}\)(\(s\)についての関数)は、\(F(s)=\frac{1}{s^2}\)であること(p237表6-1⑤)が確認できた。
第7章 明日への序章(非線形微分方程式)
● p261
